余弦函数的图像与性质 教学设计

1、余弦函数的图像与性质【教学目标】1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.【知识梳理】问题1:余弦函数的图像的作法(1)平移法:余弦函数y=cos x的图像可以通过将正弦曲线y=sin x的图像向 平移 个单位长度得到(如图). (2)五点法:余弦曲线在0,2上起作用的五个关键点分别为 . 问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间(1)定义域为 ;(2)值域为 ;(3)单调增区间为 ,减区间为 .问题3:余弦

2、函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中心(1)周期T= ;(2)偶函数;(3)对称轴为 (4)对称中心为 . 问题4:余弦函数的复合函数f(x)=Acos(x+)(A>0,>0)的对称轴、对称中心和单调区间(1)当x+=+k时,即 为对称中心;(2)当x+=k时,即 为对称轴;(3)当x+-+2k,2k时,求得x属于的区间为 区间;当x+2k,+2k时,求得x属于的区间为 区间.(注:以上kZ)【典型例题】要点一余弦函数的图像及应用例1画出ycos x(xR)的简图，并根据图像写出：(1)y时x的集合；(2)y时x的集合解：用“五点法”作出ycos x的简图(1)过点作x轴的

3、平行线，从图像中看出：在，区间与余弦曲线交于，点，在，区间内，y时，x的集合为.当xR时，若y，则x的集合为(2)过，点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于，kZ，kZ点和，kZ，)，kZ点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当y时x的集合为：.规律方法：利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的完整性跟踪演练1求函数f(x)lg cos x的定义域解由题意，x满足不等式组，即，作出ycos x的图像结合图像可得：x.要点二：余弦函数单调性的应用例2求函数ylog (cos 2x)的增区间解：由题意得cos 2x>0且

4、ycos 2x递减x只须满足：2k<2x<2k，kZ.k<x<k，kZ.ylog (cos 2x)的增区间为，kZ.规律方法：用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小跟踪演练2：比较下列各组数的大小(1)sin 46°与cos 221°；(2)cos与cos.解：(1)sin 46°cos 44°cos 136°，cos 221°cos 41°cos 139°.180°>139

5、76;>136°>0°，cos 139°<cos 136°，即sin 46°>cos 221°.(2)coscoscoscos，coscoscoscos.0<<<，且ycos x在0，上递减，cos<cos，即cos<cos要点三：余弦函数值域(最值)例3：求下列函数的值域(1)ycos2xcos x；(2)y.解：(1)y2.1cos x1，当cos x时，ymax.当cos x1时，ymin2.函数ycos2xcos x的值域是.(2)y1.1sin x1，12sin x3，1

6、，4，13，即y3.函数y的值域为.规律方法：求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：sin x，cos x的有界性；sin x，cos x的单调性；化为sin xf(y)或cos xf(y)利用|f(y)|1来确定；通过换元转化为二次函数跟踪演练3求函数ycos2x4sin x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合(提示：sin2cos21)解：ycos2x4sin x1sin2x4sin xsin2x4sin x1(sin x2)25.当sin x1，即x2k，kZ时，ymax4；当sin x1时，即x2k，kZ时，ymin4.所以ymax4，此时x的取值集合是；ymin4，此时x的取值集

7、合是.一、选择题1函数ycosx(0x)的值域是()A1,1B，1C0，D1,0答案B解析函数ycosx在0，上是减函数，函数的值域为cos，cos0，即，12函数ycos2x3cosx2的最小值为()A2B0CD6答案B解析y2，当cosx1时，y最小0.3函数ycosx|cosx|，x0,2的大致图像为()答案D解析ycosx|cosx|，故选D.4方程|x|cosx在(，)内()A没有根B有且仅有一个根C有且仅有两个根D有无穷多个根答案C解析在同一坐标系中作函数y|x|及函数ycosx的图像，如图所示发现有2个交点，所以方程|x|cosx有2个根5已知函数f(x)sin(x)1，则下列命

8、题正确的是()Af(x)是周期为1的奇函数Bf(x)是周期为2的偶函数Cf(x)是周期为1的非奇非偶函数Df(x)是周期为2的非奇非偶函数答案B解析由f(x2)f(x)可知T2，再f(x)sin(x)1cosx1，f(x)cos(x)1cosx1f(x)6函数y的定义域是()ARBx|x2k，kZCx|x2k，kZDx|x，kZ答案A解析要使函数有意义，则需3cosx>0，又因为1cosx1，显然3cosx>0，所以xR.二、填空题7函数ycosx在区间，a上为增函数，则a的取值范围是_答案(，0解析ycosx在，0上是增函数，在0，上是减函数，只有<a0时，满足已知条件，a

9、(，08比较大小：cos_cos()答案>解析coscoscos，coscoscos，由ycosx在0，上是单调递减的，所以cos<cos，所以cos>cos.三、解答题9若函数f(x)absinx的最大值为，最小值为，求函数y1acosbx的最值和周期解析(1)当b>0时，若sinx1，f(x)max；若sinx1，f(x)min，即解得此时b1>0符合题意，所以y1cosx.(2)当b0时，f(x)a，这与f(x)有最大值，最小值矛盾，故b0不成立(3)当b<0时，显然有解得符合题意所以y1cos(x)1cosx.综上可知，函数y1cosx的最大值为，最

10、小值为，周期为2.一、选择题1将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是()Acos0<cos<cos1<cos30°<cosBcos0<cos<cos<cos30°<cos1Ccos0>cos>cos1>cos30°>cosDcos0>cos>cos30°>cos1>cos答案D解析在0，上，0<<<1，又余弦函数在0，上是减少的，所以cos0>cos>cos>cos1>0.又cos<0，所以cos0>cos

11、>cos>cos1>cos.2函数f(x)xcosx的部分图像是()答案D解析由f(x)xcosx是奇函数，可排除A，C.令x，则f()cos<0.故答案选D.二、填空题3若cosx，且xR，则m的取值范围是_答案(，3解析|cosx|1，|2m1|3m2|.(2m1)2(3m2)2.m3，或m.m(，3.4设f(x)的定义域为R，最小正周期为.若f(x)则f_.答案解析T，kTk·(kZ)都是yf(x)的周期，fffsinsin.三、解答题5利用余弦函数的单调性，比较cos()与cos()的大小分析利用诱导公式化为0，上的余弦值，再比较大小解析cos()coscos，cos()coscos.因为0<<<，且函数ycosx，x0，是减函数，所以cos>cos，即cos()<cos()6求下列函数的定义域(1)y；(2)ylg(2sinx1)解析(1)要使y有意义，需有cos(sinx)0，又1sinx1，而ycosx在1,1上满足cosx>0，xR.y的定义域为R.(2)要使函数有意义，只要即由下图可得cosx的解集为x|2kx2k，kZsinx>的解集为x|2k<x<2k，kZ它们的交集为x|2kx<2k，kZ，即为函数的定义域7函数f(x)acos