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文档简介
1、平面向量的内积【教学目标】知识目标:(1)了解平面向量内积的概念及其几何意义.(2)了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标:通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角【教学设计】教材从某人拉小车做功出发,引入两个向量内积的概念需要强调力与位移都是向量,而功是数量因此,向量的内积又叫做数量积在讲述向量内积时要注意:(1)向量的数量积是一个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定;(2)向量数量积的正确书写方
2、法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到,其中:(1)当<a,b>0时,a·b|a|b|;当<a,b>时,a·b|a|b|可以记忆为:两个共线向量,方向相同时内积为这两个向量模的积;方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数(2)|a|显示出向量与向量的模的关系,是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础;(3)cos<a,b>,是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础;(4)“a·b0ab”经常用来研究向量垂直问题,是推出两个向量内积坐标表示的重要基础 【教学备品】教学课件【课
3、时安排】2课时(80分钟)【教学过程】*揭示课题7.3 平面向量的内积*创设情境 兴趣导入Fs图721O 如图721所示,水平地面上有一辆车,某人用100 N的力,朝着与水平线成角的方向拉小车,使小车前进了100 m那么,这个人做了多少功?动脑思考 探索新知【新知识】我们知道,这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积如图722所示,设水平方向的单位向量为i,垂直方向的单位向量为j,则i + y j ,即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和,垂直方向上没有产生位移,没有做功,水平方向上产生的位移为s,即WFcos·s100×·10500 (J)OxijF(x,
4、y)yBAO图723ab这里,力F与位移s都是向量,而功W是一个数量,它等于由两个向量F,s的模及它们的夹角的余弦的乘积,W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量,又叫做数量积如图723,设有两个非零向量a, b,作a, b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角,记作<a,b>两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积,记作a·b, 即 a·ba|b|cos<a,b> (7.10)上面的问题中,人所做的功可以记作WF·s.由内积的定义可知a·00, 0·a0由内积的定义可以得到下面几个
5、重要结果:(1) 当<a,b>0时,a·b|a|b|;当<a,b>时,a·b|a|b|.(2) cos<a,b>.(3) 当ba时,有<a,a>0,所以a·a|a|a|a|2,即|a|.(4) 当时,ab,因此,a·b因此对非零向量a,b,有a·b0ab.可以验证,向量的内积满足下面的运算律:(1) a·bb·a(2) ()·b(a·b)a·(b)(3) (ab)·ca·cb·c注意:一般地,向量的内积不满足结合律,即
6、a·(b·c)(a·b)·c.请结合实例进行验证.*巩固知识 典型例题例1 已知|a|3,|b|2, <a,b>,求a·b解 a·b|a|b| cos<a,b> 3×2×cos3例2 已知|a|b|,a·b,求<a,b>解 cos<a,b>.由于 0<a,b>,所以 <a,b>*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题:平面向量内积的概念、几何意义?结论:两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积,记作a·
7、;b, 即 a·ba|b|cos<a, b> (7.10)a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积知识 典型例题例3 求下列向量的内积:(1) a (2,3), b(1,3);运用知识 强化练习 1. 已知|a|7,|b|4,a和b的夹角为,求a·b2. 已知a·a9,求|a|3. 已知|a|2,|b|3, <a,b>,求(2ab)·b动脑思考 探索新知设平面向量a(x1,y1),b(x2,y2),i,j分别为x轴,y轴上的单位向量,由于ij,故i·j 0,又| i |j|1,所以a
8、3;b(x1 iy1j)· (x2 iy2j) x1 x2 i i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j j x1 x2 |j|2 y1 y2 |j|2 x1 x2 y1 y2这就是说,两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和,即 a·b x1 x2 y1 y2 (7.11)利用公式(711)可以计算向量的模设a(x,y),则,即 (7.12)由平面向量内积的定义可以得到,当a、b是非零向量时, cos<a,b>. (7.13) 利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.由于aba·b0,由公式(7.11)可知a·b0
9、 x1 x2 y1 y20因此ab x1 x2 y1 y20 (7.14)利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题*巩固知识 典型例题例3 求下列向量的内积:(2) a (2,3), b(1,3);(3) a (2, 1), b(1,2);(4) a (4,2), b(2, 3)解 (1) a·b2×1(3)×37;(2) a·b2×1(1)×20;(3) a·b2×(2)2×(3)14例4 已知a(1,2),b(3,1).求a·b, |a|,|b|, <a,b&g
10、t;解 a·b(1)( 3)2×15;|a|;|b|;cos<a,b>,所以 <a,b>例5 判断下列各组向量是否互相垂直:(1) a(2, 3),b(6, 4);(2) a(0, 1),b(1, 2)解 (1) 因为a·b(2)×63×40,所以ab(2) 因为a·b0×1(1)×(2)2,所以a与b不垂直运用知识 强化练习 1 已知a(5, 4),b(2,3),求a·b2 已知a(1,),b(0, ),求<a,b>3 已知a(2, 3),b(3,4),c(1,3),求a·(bc)4. 判断下列各组向量是否互相垂直: (1) a(2, 3),b(3, 2); (2) a(2,0),b(0, 3); (3) a(2,1),b(3,4)5. 求下列向量的模:a(2, 4),b(3, 2); (2) a(2,1),b(4, 3);归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么
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