高二空间几何练习题

1、练习1一、选择题： 1a、b是两条异面直线，下列结论正确的是（ ）A过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b都平行B过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都相交C过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行D过a可以且只可以作一个平面与b平行2空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( ) 或 无法确定3在正方体中，、分别为棱、的中点，则异面直线和 所成角的正弦值为 ( ) 4已知平面平面,是内的一直线,是内的一直线,且，则:；或；且。这四个结论中，不正确的三个是( ) 5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是 ( )A. 4 B. 5 C.

2、 6 D. 86. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R） ( )A. B. C. D. 7. 直线l平面，直线m平面，有下列四个命题： (1) (2) (3) (4) 其中正确的命题是 ( )A. (1)与(2) B. (2)与(4) C. (1)与(3) D. (3)与(4)8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为，则下列不等式成立的是 ( )A. B. C. D. 9中，所在平面外一点到点、的距离都是，则到平面的距离为 ( ) 10在一个的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角，则此直线与二

3、面角的另一个平面所成角的大小为 ( ) 11. 如图,E, F分别是正方形SD1DD2的边D1D,DD2的中点,沿SE,SF,EF将其折成一个几何体,使D1,D,D2重合,记作D.给出下列位置关系:SD面DEF; SE面DEF; DFSE; EF面SED,其中成立的有: ( ). 与 B. 与 C. 与 D. 与12. 某地球仪的北纬60度圈的周长为6cm,则地球仪的表面积为( )A. 24cm2 B. 48cm2 C. 144cm2 D. 288cm2二、填空题13. 直二面角MN中，等腰直角三角形ABC的斜边BC，一直角边AC，BC与所成角的正弦值是，则AB与所成角大小为_。14. 在底面

4、边长为2的正三棱锥VABC中,E是BC中点,若VAE的面积是,则侧棱VA与底面所成角的大小为 15如图，已知矩形中，面ABCD。若在上只有一个点满足，则的值等于_.16. 六棱锥PABCDEF中，底面ABCDEF是正六边形，PA底面ABCDEF，给出下列四个命题:线段PC的长是点P到线段CD的距离；异面直线PB与EF所成角是PBC；线段AD的长是直线CD与平面PAF的距离；PEA是二面角PDEA平面角。其中所有真命题的序号是_。三.解答题:17如图，已知直棱柱中，是 的中点。求证：18如图，在矩形中，沿对角线将折起，使点移到 点，且在平面上的射影恰好在上。（1）求证：面；（2）求点到平面的距离

5、；（3）求直线与平面的成角的大小PABCD19如图,已知面,垂足在的延长线上,且(1) 记,试把表示成的函数,并求其最大值.(2) 在直线上是否存在点,使得20.正三棱锥V-ABC的底面边长是a, 侧面与底面成60°的二面角。求（1）棱锥的侧棱长； （2）侧棱与底面所成的角的正切值。21.已知正三棱柱ABC-ABC的底面边长为8，面的对角线B1C=10，D为AC的中点，（1）求证：AB/平面C1BD;（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值;（3）求直线AB1到平面C1BD的距离。22. 已知A1B1C1-ABC为直三棱柱，D为AC中点，O为BC中点，E在CC1上，ACB=90&

6、#176;，AC=BC=CE=2，AA1=6.（1）证明平面BDEAO；（2）求二面角A-EB-D的大小；（3）求三棱锥O-AA1D体积. 练习1答案一选择题：题号123456789101112答案DCCBDBCCAABC二填空题：13. 60º 14. 15. 2 16. 三.解答题: 17解：【法一】，又三棱柱是直三棱柱，所以面，连结，则是在面上的射影在四边形中，且， 【法二】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系由，易得， 所以18解：（1）在平面上的射影在上，面。故斜线在平面上的射影为。 又，又， 面（2）过作，交于。 面，面 故的长就是点到平面的距离， 面 在中，；在中，在中

7、，由面积关系，得（3）连结，面，是在平面的射影为直线与平面所成的角在中， 19(1)面,即 在和中, () ,当且仅当时,取到最大值. (2)在和中,=2, 故在存在点(如)满足,使20. (12分)解：（1）过V点作V0面ABC于点0，VEAB于点E 三棱锥VABC是正三棱锥 O为ABC的中心 则OA=，OE=又侧面与底面成60°角 VEO=60°则在RtVEO中；V0=OE·tan60°=在RtVAO中，VA=即侧棱长为（2）由（1）知VAO即为侧棱与底面所成角，则tanVAO=21解：（1）连结BC1交B1C于点E，则E为B1C的中点，并连结DE

8、D为AC中点 DEAB1 而DE面BC1D， AB1面BC1D AB1面C1BD（2）由（1）知AB1DE，则DEB或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角由条件知B1C=10， BC=8 则BB1=6 E三棱柱中 AB1=BC1 DE=5又BD= 在BED中 故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 （3）由（1）知A到平面BC1D的距离即为直线AB1到平面BC1D的距离设A到平面BC1D的距离为h，则由得即h= 由正三棱柱性质得BDC1D 则 即直线AB1到平面的距离为22. 证明： 设F为BE与B1C的交点，G为GE中点 AODF AO平面BDE=arctan-arctan或arcsin

9、1/3用体积法V=××6×h=1练习2一、选择题1已知直线a、b和平面M，则a/b的一个必要不充分条件是 （ ）Aa/M, b/M BaM，bM Ca/M, bM Da、b与平面M成等角2正四面体PABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为 （ ）ABCD3.a, b是异面直线,A、Ba, C、Db,ACb,BDb,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角为( ) A30°B60°C90°D45°4给出下面四个命题：“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是：直线a、b不相交；“直线l垂直于平面内所有直线”的充要

10、条件是：l平面；“直线ab”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面内的射影”；“直线平面”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面内的一条直线”其中正确命题的个数是 （ ） A1个 B2个 C3个 D4个5设l1 、l2为两条直线，a、为两个平面，给出下列四个命题： (1)若l1, l2，l1，l1a则a. (2)若l1a ，l2a，则l1l2 (3)若l1a，l1l2，则l2a (4)若a，l1，则l1其中，正确命题的个数是 （ ）ABCA1B1C1 A0个 B1个 C2个 D3个6三棱柱中，侧面底面，直线与底面成角，则该棱柱的体积为（ ） A B C D7已知直线面，直线面，给出下列命题：A

11、BCSEFGH (1) (2) (3)(4) 其中正确的命题个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 48正三棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，那么经过底边AC和BC的中点且平行于侧棱SC的截面EFGH的面积为（ ） A. B. C. D. 9已知平面、，直线l、m，且，给出下列四个结论：；.则其中正确的个数是（ ）A BA1 P B1D1 C1D COMA0 B1 C2 D310在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上任意一点，则直线OP与支线AM所成角的大小为（ ）A.45º B.90º C.60º D.

12、不能确定11将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得点A到点A的位置，且AC1，则折起后二面角ADCB的大小为 （ ）A. B. C. D. 12. 正方体，E、F分别是的中点，P是上的动点（包括端点），过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是 （ ） A. 线段B. 线段CF C. 线段CF和一点D. 线段和一点C二、填空题13矩形ABCD的对角线AC，BD成60°角，把矩形所在的平面以AC为折痕，折成一个直二面角DACB，连结BD，则BD与平面ABC所成角的正切值为 .14将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为 ，球的表面积为 （不

13、计损耗）.15. 四面体ABCD中，有如下命题：若ACBD，ABCD，则ADBC；若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在面ABD上的射影是ABD的外心 若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体。其中正确的序号是：_。16直三棱柱ABCA1B1C1的每一个顶点都在同一个球面上，若，ABCDFEA1B1C1D1，则A、C两点之间的球面距离为 .三、解答题17已知长方体AC1中，棱AB=BC=1，棱BB1=2，连结B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F. （1）求证A1C平面EBD；

14、（2）求点A到平面A1B1C的距离； （3）求平面A1B1CD与直线DE所成角的正弦值.ABCDBE18在平行四边形ABCD中，,沿BD将其折成二面角ABDC，若折后。（1）求二面角的大小；（2）求折后点C到面ABD的距离。A1B1C1D1ABCDF19在棱长AB=AD=2，AA=3的长方体AC1中，点E是平面BCC1B1上动点，点F是CD的中点。(1)试确定E的位置，使D1E平面AB1F。(2)求二面角B1AFB的大小。20（本小题满分14分）如图，在正三棱柱中，、分别是棱、的中点，。（）证明：；（）求二面角的大小。21如图，在直三棱柱中,，ACB90°，D是的中点。 （1）在棱上

15、求一点P，使CPBD； （2）在（1）的条件下，求DP与面所成的角的大小。ABCPEF22如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC于B，BCA=90°，PB=BC=CA=，点E，点F分别是PC，AP的中点.（1）求证：侧面PAC侧面PBC；（2）求异面直线AE与BF所成的角；（3）求二面角ABEF的平面角.练习2答案一、 选择题123456789101112DBBBBBBCCBCC二、填空题13 .14 、 15. _16 .ABCDFEA1B1C1D1三、解答题17解：（1）连结AC，则ACBDAC是A1C在平面ABCD内的射影A1CBD；又A1B1面B1C1CB，且A1C在平面B1

16、C1CB内的射影B1CBE，（2）易证：AB/平面A1B1C，所以点B到平面A1B1C的距离等于点A到平面A1B1C的距离，又BF平面A1B1C， 所求距离即为（3）连结DF，A1D，EDF即为ED与平面A1B1C所成的角.由条件AB=BC=1，BB1=2，可知， ABCDBE18解法一：设A点在面BCD内的射影为H，连结BH交CD于E，连DH，在ADB中，AB2=AD2+BD2，ADDB。又AH面DBC，BHDH。ADH为二面角ABDC的平面角。由ABCD，AH面DBC，BHCD。 易求得CE=，DE=。又RtDEHRtCEB DH=。在RtADH中，二面角ABDC的大小为。法二：在BCD中

17、，由余弦定理得。，即。=(2)由对称性成等积性知：C到面ABD的距离等于A到面BCD的距离19解：(1)建立空间直角坐标系，如图A(0，0，0)，F(1，2，0)，B1(2，0，3)，D1(0，2，3)，A1B1C1D1ABCDF设E(2，y，z) ，由D1E平面AB1F，即 E(2，1，)为所求。(2)当D1E平面AB1F时，又与分别是平面BEF与平面B1EF的法向量，则二面角B1-AF-B的平面角等于<，>。cos<，>=B1-AF-B的平面角为 或用传统法做(略) ()20（）证明：因为， ， 所以，故，因此，有； （）设是平面的法向量，因为，所以由可取；同理，是平面的法向量。设二面角的平面角为，则。21解法一：（1）如图建立空间直角坐标系 设，则 由得：由CPBD，得： 所以点P为的中点时，有CPBD （2）过D作DEB1C1，垂足为E，易知E为D在平面上的射影， DPE为DP与平面所成的角 由（1），P（4，0，z），得：，。， 即DP与面所成的角的大小为。解法二：取BC1的中点E，连接BE、DE。 显然