博弈论的数学模型

1、博弈论的数学模型 作者： 竺可桢学院01混合班 王大方 何霈 邹铭摘要博弈论现在得到了广泛的应用，涉及到人的决策问题都可以用博弈论的模型加以解释。本文首先用数学的方法表述实际生活中的博弈行为，并导出一般情况下的博弈的结果，进而讨论一些不同的外部约束条件对博弈过程的影响。我们用经济学中的垄断竞争现象作为博弈问题的一个实例，讨论生产者在不同状态下的决策，进而分析双方共谋的动机和可能性。 （一）基本博弈模型的建立一, 博弈行为的表述博弈的标准式包括：1 1 博弈的参与者。2 2 每一个参与者可供选择的战略集。3 3 针对所有参与者可能选择的战略组合，每一个参与者获得的利益在n人博弈中，用Si为参与者

2、i的可以选择战略空间，其中任意一个特定的纯战略为si，其中任意特定的纯战略为si，siSi，n元函数ui（s1，s2，sn）, 当n个博弈者的决策为s1，s2，sn时,表示第I各参与者的收益函数。二, 博弈的解当博弈进入一个稳定状态时，参与者选择的战略必然是针对其他参与者既定战略的最优反应，在此状态下没有人愿意单独背离当前的局势。这个局势叫纳什均衡： 在n个参与者标准式博弈，G= S1，S2，Sn；u1，u2，un中，若战略组合s1*，s2*，sn*满足对每一个参与者i，si*是针对 s1*，s2*，si-1*，si+1*sn*的最优反应战略，目标战略组合s1*，s2*，sn*为该博弈的纳什均

3、衡。即：ui s1*，s2*，si-1*，si*，si+1*sn*ui s1*，s2*，si-1*，si，si+1*sn*，对一切siSi均成立。纳什于1950年证明在任何有限个参与者，且每个参与者可选择的纯战略为有限个的博弈中，均存在纳什均衡。（包括混合战略）混合战略指认某种概率分布来取一个战略空间中的战略，在本文中不加讨论。在一般情况中，纳什证明保证了我们的均衡分析有意义。三, 博弈实例：单阶段博弈古诺竞争在古诺竞争中，少数厂商通过改变产量来控制价格，以使他们的收益最大化。我们作如下假设：1 1 厂商生产的商品是相同的，消费者没有对某家厂商的偏好。2 2 市场上价格与供给量的函数为p=a-

4、bQ，且供给增加不会导致过剩，而仅仅使价格降低，即厂商可以将生产的产品全部售出。3 3 厂商都是理性的，即面对既定的情况都做出决策使自己利益最大化。4 4 信息是完全的，每个厂商都知道其他厂商时理性的，且每个厂商知道别人是理性的这一事实为所有参与者的共识。 （二）博弈模型的求解与讨论 为了简单起见，我们从一家企业的情况做起：只有一家企业时，目标收益函数u=Q（a-bQ）针对max u 的解为Q0=a/2b，u0=a2/4b当有两家企业时，设产量分别为Q1，Q2，则 p=a-b（Q1+Q2） u1（Q1，Q2）=p*Q1=Qa-b（Q1+Q2） u2（Q1，Q2）=p*Q2=Qa-b（Q1+Q2

5、）纳什均衡点Q1*，Q2*为方程组 / =0 （1） /=0 （2） 的解。整理，得到 2bQ1+bQ2=a （3） bQ1+2bQ2=a （4）解得 Q1*=Q2*=a/3b，对应的u1=u2=a2/9b纳什均衡点是一个极值点，一旦达到该点时双方都没有率先改变的动机。 下面我们讨论纳什均衡点的孤立性，即在对方初始决策不在纳什均衡时，双方能否通过理性的利益最大化策略使博弈形势变化至纳什均衡点。 (1)式表示厂商1的最优函数，在给定对方产量Q时它根据（1）来使自己收益最大， 由(3)式, 厂商最优函数为Q1=（a-bQ2）/2b同样（2）时表示厂商（2）的最优函数，由（4）式，厂商2的最优函数为

6、Q2=（a-bQ1）/2b 这是两条直线，如图，交点E为纳什均衡点。 AB为厂商1的最优函数，CD为厂商2的最优函数， 当双方的初始选择点为A，即Q1=0，Q2=a/b，A在厂商1最优函数上，故厂商1不会改变，但厂商2针对Q1=0的最有点为C，于是双方的决策点转移到C，在C点厂商1会调整自己的产量时双方决策点到F，然厂商2又会调整策略到CD上，以此类推，最后将到达E点，在第一象限的任何初始选择点，按以上分析双方都能经过一系列调整到达E点。在完全信息的假设下，上面这一系列的调整过程在任何一方决策之前就能被预测到，任何一个厂商都回绝的任何一个异于E点的决策都不是在给定条件下最好的选择，于是双方会不

7、约而同的按E点做出产量决策。但是当Q1=Q2=1/2 * a/2b （5） 时双方才能获得最大收益。Q1=Q2=1/2 * a2/4b （6）这一方面说明纳什均衡点并不是一个最好的决策点，另一方面也说明与独家垄断比起来两家厂商的竞争提高了社会效应，社会总产量从a/2b增加到了2/3 * a/b=2a/3b。当厂商数增加至n家时，模型变为 p=a-b*ni=1Qi （7） ui=p*Qi，i=1，2，n (8) / =0 I=1,2n (9)由归纳法可证明（9）可化为方程组（以矩阵形式表示） = a/b * (1) 由线性代数分析可知，该方程组有唯一非零解Q1*=Q2*=Qn*=a/(n+1)b

8、,ui*=a2/(n+1)2b社会总产量为na/（n+1）b。这说明h厂商垄断竞争也必有纳什均衡点，同样方法可证明纳什均衡点不是孤立的，于是理智的各方均会按均衡点做产量决策。另外n越大，竞争越彻底，社会总产量越高。当n很大时，总产量趋于a/b，此时价格p为0，这时价格p为0，此时这个模型不适用。因为在n较小，（一般小于5）时垄断厂商才有能力通过自己的产量来控制价格。厂商们的整体最好选择是Q1*=Q2*=Qn*=a/2nb, 分别能获得收益，a2/4nb。显然n越大，厂商们理性博弈的结果和他们的最好选择点间的差距越大。 （三）多阶段博弈与共谋以上可以看出，作为博弈者的厂商很有必要共谋限制产量，但

9、最好的选择点是不稳定的，率先违约的一方都能获取额外利润，因此需要一些条件来约束双方的行为。另外共谋只有在长期过程中才有效益，双方需要不断检查是否已经违约，并决定自己是否要违约，每次这样的过程就是上文的单阶段博弈。这里的信息条件为每企业在n阶段可以观察的前n-1阶段博弈结果。规则为一旦对方违约，自己就违约，且永不守约，这为双方所共识。我们新引入一个时间贴现因子v，0v1,用来计算以后阶段收益的现值，如已知下一阶段收益为R，则折合到当阶段相当于收益为vR。一开始双方约定共同生产a/4b，每阶段收益为a2/8b，一直守约，双方的收益为a2（1+v+v2+）/8b=a2/8（1-v）b （10）对先违

10、约的一方，根据对方a2/4b的产量，由（3）和（4），它的最优产量为3a/8b，该阶段收益为a-b（3/8+1/4）a/b*3/8*a/b=9a2/64b （11）此后双方都明白共谋破裂，均按a/3b的均衡产量生产。设一方在N阶段违约，则收益为a2（1+v+v2+vN-1）/8b+9vN/64*a2/b+vN+1*a2/（1-v）ab （12）（12）-（10），得 vN/64-vN+1/72（1-v）*a2/b解得 当v 式 (16) , B就没有动机在第一阶段背离。 如果B在第一阶段不合作，在第二阶段合作，第三阶段不合作，则他的各阶段期望收益为 u1= 5P/36+(1-P)/9 u2=5

11、/48 u3=5P/36+(1-P)/9 总期望收益为P/18+47/144 恒小于（16）式，此时B也没有动机在第一阶段背离。 综上，只要A有20%的可能为投桃报李型的，B在前两阶段就没有背离合作的动机。 对于A，一旦他在第一阶段就背离合作，那么自第二阶段起A为理性的就成为博弈双方的共识，此时他的期望收益为5/36+1/9+1/9=13/36 而A如果始终合作，其均衡收益为1/8+1/8+1/9=13/36 所以在三阶段时A是否要背离合作无所谓，不过这只是由于本问题数据特殊性的巧合。多阶段的扩展 从上面的三个阶段扩展就可以看出，随着阶段数的增多，每个博弈者更多的会考虑长久的收益情况，而非眼前

12、。这意味着之需要一个很小的信誉概率P，就有可能约束对方不发生背叛的行为。 当共有T阶段博弈时,我们可以用归纳法证明理性的双方在从1到T-2阶段选择合作，而在T-1和T阶段按照上文讨论的两回合博弈行动。假设任何t(tT)博弈中上述假设均成立。 如果A在tT-1的任意阶段不合作，则他是理性的便在以后的阶段成为共识，他在t期的收益为5/36，以后均为1/9，总收益为 （t-1）/8 + 5/36 + (T-t)/9 而A的均衡收益为从1到T-2阶段每一阶段均为1/8，T-1的收益为5/36，最后一期为1/9。显然提前违约的收益小于均衡收益。 对于B, 由两阶段博弈可知, B没有在前T-2阶段合作，T

13、-1阶段不合作的动机，B只可能再tT-3的阶段背离合作。 一旦B在t阶段背离合作, 则无论投桃报李的还是理性的A都将在t+1阶段不合作, 于是在前t+1阶段B无法确认A是否为理性，从t+2阶段起双方的博弈等同于一个T-(t+1)阶段的博弈。 由归纳假设，这后一部分博弈中双方会合作到T-2阶段，然后按照上文的两阶段博弈进行。B的总收益为 u= 1/8 * (t-1) + 5/36 + 5/48+T-2-(t+2)+1*1/8 + P/8 +(1-P)*5/48 +5P/36 + (1-P)/9 这小于B从1到T的均衡收益（T-2）/8+ P/8+ 5(1-P)/48 + 5P/48 + (1-P

14、)/9 所以B也没有只背离一次的动机。 更为一般的情况是在前（T-3）次博弈中B有多次的背离与合作，则按以上方法多次使用归纳法，可以发现获得的期望收益更少。其根本原因是率先背约者无法判断对方的真正类型，所以无法保证自己的利益能够最大化，而一旦约定破裂后修复的成本很高，使得背信弃义的额外收益比双方合作来的少。 （ 5/36+5/48）2*1/8 ) 这样的模型就使得共谋更有约束力。 小结与进一步的研究本文主要为静态博弈问题建立了数学模型，并用他分析了一个实例：垄断市场上的古诺竞争和共谋。在静态博弈中，数学上的极大值就是博弈的均衡解。理性决策迫使人们的行为向利益极大值点移动，而信息问题是理性决策最重要的前提条件，可以说不同的信息条件可以推导出不同的理性决策。本文讨论的是最完美的信息假设：完全信息。它不仅指双方彼此了解对方的情况，而且彼此知道对方了解自己情况这一事实，以此类推，等等，最后形成了一个无穷的递归链。最后讨论的投桃报李模型不是完全信息的，但是它也有一套为双方所共知的评判标准来约束双方的决策。总之，本文讨论的模型是双方都知道规则的情况下进行的博弈，这是一个对实际博弈相当理想化的简化。在这样的简化下，如何妥善的处理无穷信息递归链，是个有待进一步研究的问题。而就垄断这个经济问题本身而言，本模型最大的理想化就是价格与供给量成一次函数关系，进一步可将这个函数关系拟合得更符合实际，