控制系统的时域分析法(20211109205447)

1、第三章 控制系统的时域分析法暂态响应 线性系统的稳定性典型例题分析习题重点内容1. 熟练掌握一阶、二阶系统暂态响应及暂态性能指标的计算；2. 掌握闭环主导极点的概念，3. 理解系统稳定性的概念，熟练掌握线性定常系统稳定的充要条件及劳斯稳定判据;4. 理解控制系统稳态误差的定义，熟练掌握稳态误差的计算与分析。 根本内容1 . 了解规定典型输入信号的意义；2. 了解高阶系统的组成、阶跃响应及其与闭环零点、极点的关系；了解用二阶系统 响应近似分析高阶系统性能的方法；难点通过研究二阶系统的时域响应去评价系统的性能，即稳定性、暂态性能和稳态性能。一.暂态响应控制系统时间响应的暂态分量即暂态响应。通常以阶

2、跃响应表征系统的暂态性能。1. 一阶系统的暂态响应1一阶系统的传递函数为G(s) -Ts +1式中T称为时间常数，它是表征系统惯性的一个重要参数。是一个非周期的惯性环节。t单位阶跃响应为丫(t) = 1 - e T(t - 0)是一条初始值为o，按指数规律上升到稳态值1的曲线，见图3-1。图3-1 一阶系统的阶跃响应曲线特点：(1) 由于Y(t)的终值为1，因此系统稳态误差为 0。(2) 当t=T时，Y(T)=0.632。这说明当系统的单位阶跃响应到达稳态值的63.2%时的时间，就是该系统的时间常数T。单位阶跃响应曲线的初始斜率为dy(t)dtt =01所需的时间恰好等这说明一阶系统的单位阶跃

3、响应如果以初始速度上升到稳态值 于T。性能指标:调节时间为ts=3T(s)(5%的误差带)ts =4T(s)(2% 的误差带)延迟时间为td =0.69T(s)上升时间为tr =2.20T(s)峰值时间和超调量都为0。2. 二阶系统的暂态响应二阶系统的典型传递函数为:C(s) _1R(S) _T2s22 Ts 1式中匚一一阻尼比-n 无阻尼自然振荡角频率，-n =1 T当0 :： 1时，典型二阶系统的单位阶跃响应为c(t) =1e一転七 sin(ant(1 _二2 + arctg其单位阶跃响应曲线如图 其性能指标：3-2所示上升时间峰值时间tr-2-2Mp(其中二rctg上;100%,用弧度表

4、示)超调量第三章 控制系统的时域分析法图3-2典型二阶系统的单位阶跃响曲线3. 高阶系统的暂态响应对于高阶系统，其暂态响应可以看成是由一阶和二阶系统暂态响应分量组合而成的。如果系统传递函数中距离虚轴最近的闭环极点，其实部仅有其他极点实部的1 5或更小一些，并且该闭环极点附近无闭环零点，那么可认为系统的响应主要由该极点决定。这种闭环 极点被称为闭环主导极点。通常系统的主导极点是共轭复数极点，故系统的暂态响应性能也可由相应的二阶系统暂态响应近似估计。系统特征根的分布与阶跃响应之间的关系。二线性系统的稳定性1 .系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须是稳定的。

5、所谓稳定性，是指系统受 到扰动作用后偏离原来的平衡状态，在扰动作用消失后，经过一段过度时间能否回复到原 来的平衡状态或足够准确地回到原来的平衡状态的性能。假设系统能恢复到原来的平衡状 态，那么称系统是稳定的；假设扰动消失后系统不能恢复到原来的平衡状态，那么称系统是不稳 定的。线性系统的稳定性取决于系统的内部结构，而与外部输入无关。设系统的闭环传递函数为G(s)二C(s) bsm r(s =_aosn. m4+ biS+ +bm_lS+bmnV-ais亠 亠an - an其特征方程式即闭环系统传递函数的分母多项式=0 为asn +aiSn，+ +ans+an =0线性系统稳定充分必要条件 是：系

6、统特征方程式的所有根即闭环传递函数的极点全部为负实数或为具有负实部的共轭复数，也就是所有的极点均应位于 s平面虚轴的左侧。2劳斯稳定判据2 .劳斯稳定判据指出： 线性系统稳定的充要条件是：特征方程式的各项系数都大于零，且劳斯表左端第一 列各系数都大于零。注：如果特征方程式中的系数有负的或为零，那么系统为不稳定的 如果劳斯表中第一列系数的符号发生变化，那么系统不稳定，且第一列元素正负号的改变次数等于特征方程式的根在s平面右半局部的个数。 劳斯表中两种特殊情况a劳斯表中某一行第一列的元素为零，但其余各项不为零或没有其余项。在这种情况下，可以用一个很小的正数 ；代替这个零，并继续列劳斯表。如果劳斯表

7、第一列中；上下各项的符号相同，那么说明系统存在一对虚根，系统处于临界稳定状态；如果；上下各项的符号不同，说明有符号变化，那么系统不稳定。(b)如果劳斯表中某一行中的所有元素都为零，那么说明系统存在大小相等符号相反的实根和(或)实部相反的共轭复根(包括纯虚根)。这时可以利用该行上面一行的系数构成一个辅助方程式(必为偶次)，将对辅助方程式求导后的系数列入该行，并继续列劳斯 表。s平面中这些大小相等，径向相反的根可以通过求解辅助方程式得到，而且这些根的 个数总是偶数。3.稳态误差系统的稳态误差是指，稳定系统在输入参加后，经过足够长的时间，其暂态响应已衰 减到微缺乏道时，稳态响应的期望值与实际值之间的

8、误差。稳态误差可以衡量某种特定类 型信号输入系统后的稳态精度。图3-3系统的结构图设系统的结构图如图3-3所示，在此定义误差为给定信号与反应信号之差，即E(s) =R(s) - B(s)=R(s) - H (s)C(s)系统的开环传递函数为：G(s) =G1(s)G2(s)H(s)系统的给定误差传递函数为：eG)E(s) 1一 R(s) _1 G(s)系统的扰动误差传递函数为:C(s) = G2(s)N(s) 一1 G(s)(1)给定稳态误差的计算方法 应用拉氏变换的终值定理计算sR(s) ess =lim e(t) =lim s E(s) =limss t护、/ t / T 1 +G(S)注

9、意：E(s)在S平面的右半平面及虚轴上(原点除外)必须解析。 应用静态误差系数计算与系统的型别v如果系统开环传递函数中串联的积分环节的个数为v (称为型别),那么当v等于0、1、2 时，系统分别称为 0型系统、1型系统、2型系统一。十愈高，系统的稳态精度越 高，但系统的稳定性愈差。静态误差系数分别为：位置误差系数Kp=limG(s)P sT速度误差系数Kv dim sG(s)加速度误差系数Ka =lim s2G(s)7当系统的输入信号为2ab2cr (t) = a + bt + ct 时，eSS =+SS 1+KpKvKa=lim e(t lim s En(s limsG2 (s)H(s)1

10、G(s)N(s)三典型例题分析例3-1 一阶系统结构图如题 3-4图所示。要求系统闭环增益K：.：=2，调节时间ts兰0.4 (s),试确定参数 K1, K2的值。解由结构图写出闭环系统传递函数K1(s)K1s.K1K2 s K1K2s令闭环增益K= 2 ,K2令调节时间2 二说；4，S 1K1K2得:得:K2K1= 0.5_15 。(1)(2)(3)例3-2单位反应随动系统如图 典型二阶系统的特征参数和* * ；暂态特性指标 M p和ts(500);欲使Mp =1600，当T不变时，K应取何值。3-5所示。假设K =16 ,T = 0.25s。试求:R(s)KC(s)!- *s(Ts 切图3

11、-5随动系统结构图扰动稳态误差的计算方法解：由系统结构图可求出闭环系统的传递函数为K/T“、K(s)2Ts2 s K 21 Ks 十一 S十T T与典型二阶系统的传递函数比拟于是，可2 -n(S)22s +2J.CinS+C0n2、KTK、T值，由上式可得16；0.25- 1=8(rad / s),0.2524 KT_4 M p% =e 1-20.25 二100%；me 1亠.25：100% =47%ts-3=1.5s(A=5%)n 0.25 8为使M p =16 00，由公式可求得=0.5，即应使由0.25增大到0.5，此时1 1K 屯=44T即K值应减小4倍。例3-3设二阶控制系统的单位阶

12、跃响应曲线如图3-6所示。如果该系统为单位反应控制系统，试确定其开环传递函数及闭环传递函数。图3-6单位阶跃响应曲线解：由图3-6可知本例题系统为欠阻尼系统，可以从上图直接得出Mp=200和 tp =01s。由4: *2Mp%=e 1-100% =20%t p0.1 s迫njl _呼可以解得:In (m1p)2 兀2 +1门(応)2兀In(0)2、兀 +I n()二 35.3rad / s= 0.456所以系统开环传递函数为:G(s)二2-nS(S 2 J1246.1s(s 32.2)例3-4控制系统框图如图1246.1s2 - 32.2s 1246.13-5所示。要求系统单位阶跃响应的超调量

13、M p =9.5% ,K1与的值，并计算在此情况下系统上升时间图3-7控制系统框图 解：由图可得控制系统的闭环传递函数为：tr和调整时且峰值时间tp =0.5s。试确定间 ts20。C(s) R(s) s2 +(1 +101眉十10心 系统的特征方程为 s2(1 10.)s 10K0。所以10Kcon2,2Bn =1 +101由题设条件：M p =e 00% =0.095, tp =0.5sZ-孕=0.35s调整时间ts(2%)4-jCO n= 0.85自动控制原理学习指导可解得= 0.6,- -n =7.854，进而求得iz2a 仔2n -1 ca/K1 6.15, e 0.841 10 1

14、0在此情况下系统上升时间4“0V - cos ( ) =53.1 = 0.9 2 7r3id3-5设系统的特征方程式分别为s4 2s3 3s2 4s 5 0s4 2s3 s2 2s 1 054323. s5 s4 3s3 3s2 2s 2 =0试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：解题的关键是如何正确列出劳斯表，然后利用劳斯表第一列系数判断稳定性。1列劳斯表如下4 s1353 s242 s151 s-60 s5劳斯表中第一列系数中出现负数，所以系统不稳定；又由于第一列系数的符号改变两 次，1 t -6 5,所以系统有两个根在 s平面的右半平面。2列劳斯表如下4 s11 13 s222 s0(

15、)11 s2-2/ 0 s1由于是很小的正数，仃第列兀素就是一个绝对值很大的负数。整个劳斯表中第一列元素符号共改变两次，所以系统有两个位于右半s平面的根。3列劳斯表如下5 s1324 s1323 s00由上表可以看出，s3行的各项全部为零。为了求出s3各行的兀素，将s4行的各行组成辅助方程式为、4 小2小A(s)= s + 3s +2s将辅助方程式A(s)对s求导数得dA(s)ds3二 4s 6s用上式中的各项系数作为s3行的系数，并计算以下各行的系数，得劳斯表为5 s1324s1323 s462 s3/221 s2/302s从上表的第一列系数可以看出，各行符号没有改变，说明系统没有特征根在s

16、右半平面。但由于辅助方程式 A(s)= s4+ 3s2+2=( s2+1)( s2+2)=0可解得系统有两对共轭虚根si,2= j，S3,4= j2，因而系统处于临界稳定状态。例3-6系统结构图如图 3-8所示，试确定使系统稳定的K值范围。R(s)KC(s)* s(s+1)(s + 2)$图3-8控制系统结构图解：解题的关键是由系统结构图正确求出系统的特征方程式，然后再用劳斯稳定判据确 定使系统稳定的K值范围。闭环系统的传递函数为K+3s2 +2s + K其闭环特征方程式为32/s + 3s + 2s+ K =0列劳斯表为：s3122 s3K1 s(6- K )/30 sK为使系统稳定，必须使

17、劳斯表中第一列系数全大于零，即K 0和6-K .0，因此,K的取值范围为0 : K ：6，并且系统临界稳定放大系数为Ki =6。例3-7单位反应控制系统的开环传递函数如下。,1010(s a) . . :.(1) G(s) (2) G(s) 2(a =0.5)s(0.1s+1)(0.5s +1)s2(s +1)(s +5)试求：1 静态位置误差系数Kp、静态速度误差系数Kv和静态加速度误差系数Ka ；自动控制原理学习指导2 求当输入信号为2r(t) =1(t) 4t t时的系统的稳态误差。系统的闭环传递函数为(S)=G(s)1 G(s)20032S312s220s200其闭环特征方程为 s31

18、2s220s200 。由劳斯判据可知系统是稳定的。系统为I型,可以求得静态误差为:Kp10二 lim G(s) =limsos0s(0.1s 1)(0.5s 1)=0Kv10= lim sG(s) = lim s10s)Ds 刃 s(0.1s 1)(0.5s 1)Ka1022w= lim s G(s)二 lim s0s 0SR s(0.1s 1)(0.5s 1)所以给定输入信号的稳态误差计算如下:1 KpKv Ka解：(1)首先判断系统的稳定性。(2)判断系统稳定性。系统的闭环传递函数为(s)40.51+G(s) s4 +6s3 +5s2 +10S + 5其闭环特征方程为 s4 6s3 5s2

19、 10s *5=0。由劳斯判据可知系统是稳定的。系统为n型，可以求得静态误差为：Kp =limG(s)=lim 210(s 05P T7 S2(S+1)(s+5)10(s 0.5) Kv =lim sG(s) =lim s 汇 =T7 s2(s+1)(s+5)Ka =lim s2G(s) =lim s2 汇一=1t7s2(s+1)(s+5)所以给定输入信号的稳态误差计算如下：1 KpKvAKa=2注意：该例中假设取a=2，那么由劳斯判据可知系统是不稳定的。因此不能定义静态误差系 数，也谈不上求稳态误差。例3-8设控制系统如图3-9所示，输入信号r(t)=2 - 3t，试求使ess 0.5的K值

20、取值范 围。R(s)KC(s)A 一s(s +2)(s 十7)k图3-9控制系统结构图解：稳态误差只有在系统稳定时才有意义，因此应首先判断系统的稳定性。系统的闭环传递函数为(s)二邑二 1 G(s) s3 9s214s K其闭环特征方程为 s +9s2 +14s + K =0 ,由劳斯判据可知，当0 ：K ：126时系统是稳定的。系统的开环传递函数为G(s)二s(s+2)(s+7)Kp = lim G(s) =lim p s Q / s 0s(s - 2)(s7)kKKv = lim sG(s) =lim sv s 0 / s Q s(s 2)(s7)14当输入信号为r(t) =2 3t时，系

21、统的稳态误差计算如下:233 14e$s :K的取值范围为84 ：: K 126。1 Kp Kv K由条件ess : 0.5，可求出K 84。因此四习题3-1单位反应控制系统的开环传递函数为:G(s)-s(0.1s 1)(1 )求阻尼比=0.5系数时的K值；tr、tp、ts 和 M p。(2)当K=5时，求系统的动态性能指标3-2设控制系统如图 3-10所示。如果要求系统的最大超调量Mp =15%，上升时间tr = 0.54s。试确定放大系数 K1和反应系数Kf的数值，并求出在此和情况下系统的峰值 时间tp和调整时间ts (取允许误差带为稳态值的-2%)。图3-10控制系统结构图3-3某二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-11所示。如果该系统为单位反馈控制系统，试确定其开环传递函数。3-4控制系统的特征方程