高一：零点问题的解题方法

1、课题谈函数与方程(零点问题)的解题方法解题技能篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想(1)函数零点的定义对于函数yf(x) (xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x) (xD)的零点(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解也可以说：如果函数yf(x)在区

2、间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根提醒此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数(3)几个等价关系函数yf(x)有零点 方程f(x)0有实数根 函数yf(x)的图象与函数y0(即x轴)有交点推广：函数yf(x)g(x)有零点 方程f(x)g(x)0有实数根 函数yf(x)g(x)的图象与y0(即x轴)有交点 推广的变形：函数yf(x)g(x)有零点 方程f(x)g(x)有实数根 函数yf(x)的图象与yg(x)有交点1函数的零点是函数yf(

3、x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数yf(x)与x轴的交点，而是yf(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)0有根的函数yf(x)才有零点2若函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>03若函数yf(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么yf(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个(4)二次函数yax2bxc (a>0)的图象与零点的

4、关系b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有： 1函数零点的求解与所在区间的判断；2判断函数零点个数；3利用函数的零点求解参数及取值范围考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1(2015·温州十校联考)设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)【解析】法一：f(1)ln 11210，f(2)ln 20，f(1)·f(2

5、)0，函数f(x)ln xx2的图象是连续的，函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)【答案】B2(2015·西安五校联考)函数yln(x1)与y的图象交点的横坐标所在区间为()A(0，1)B(1，2)C(2，3) D(3，4)【解析】函数yln(x1)与y的图象交点的横坐标，即为函数f(x)ln(x1)的零点，f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)ln 210，f(2)ln 30，f(x)的零点所在区间为(1，2)【答案】B3函数

6、f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_【解析】求函数f(x)3x7ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)1ln 2，由于ln 2ln e1，所以f(2)0，f(3)2ln 3，由于ln 31，所以f(3)0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n2【答案】24(2015·长沙模拟)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内【解析】本题考查零点的存在性定理依题意得f(a)(a

7、b)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(cb)(ca)0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内【答案】A5(2014·高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1，3B3，1，1，3C2，1，3D2，1，3【解析】令x0，则x0，所以f(x)f(x)(x)23(x)x23x求函数g(x)f(x)x3的零点等价于求方程f(x)3x的解当x0时，x23x3x，解得x13，x21；当x0时，x23x3x，解得x32【答案】D确定函数f(x)零点所在区间的方法(1)解

8、方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断1已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0，1)B(1，2) C(2，4) D(4，)【解析】因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log240，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)【答案】C2方程log3x

9、x3的根所在的区间为()A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4)【解析】法一：方程log3xx3的根即是函数f(x)log3xx3的零点，由于f(2)log3223log321<0，f(3)log33331>0且函数f(x)在(0，)上为单调增函数函数f(x)的零点即方程log3xx3的根所在区间为(2，3)法二：方程log3xx3的根所在区间即是函数y1log3x与y23x交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示由图知方程log3xx3的根所在区间为(2，3)【答案】C3(2015·武汉调研)设a1，a2，a3均为正数，123，则函数f(x)的两个零点分别位

10、于区间()A(，1)和(1，2)内B(1，2)和(2，3)内C(2，3)和(3，)内D(，1)和(3，)内【解析】本题考查函数与方程利用零点存在定理求解当x(1，2)时，函数图象连续，且x1，f(x)，x2，f(x)，所以函数f(x)在(1，2)上一定存在零点；同理当x(2，3)时，函数图象连续，且x2，f(x)，x3，f(x)，所以函数f(x)在(2，3)上一定存在零点，故选B【答案】B考向二、判断函数零点个数1已知函数f(x)满足f(0)1，且f(0)2f(1)0，那么函数g(x)f(x)x的零点个数为_【解析】f(0)1，c1，又f(0)2f(1)0，f(1)1b1，b当x0时，g(x)

11、2x20有唯一解x1；当x0时，g(x)x2x1，令g(x)0得x或x2(舍去)，综上可知，g(x)f(x)x有2个零点【答案】22(2013·高考天津卷)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2C3 D4【解析】由f(x)2x|log0.5x|10，可得|log05x|x设g(x)|log0.5x|，h(x)x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点【答案】B3(2015·高考天津卷)已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为()A2B3C4

12、 D5【解析】分别画出函数f(x)，g(x)的草图，观察发现有2个交点【答案】A4若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0，1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是_【解析】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数yf(x)log3|x|有4个零点【答案】4判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须

13、结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点1(2015·淄博期末)函数f(x)xln(x1)1的零点个数是_【解析】函数f(x)xln(x1)1的零点个数，即为函数yln(x1)与yx1图象的交点个数在同一坐标系内分别作出函数yln(x1)与yx1的图象，如图，由图可知函数f(x)xln(x1)1的零点个数是2【答案】22若定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且x1，1时，f(

14、x)1x2，函数g(x)则方程f(x)g(x)0在区间5，5上的解的个数为()A5 B7C8 D10【解析】依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数yf(x)与函数yg(x)的图象，结合图象得，当x5，5时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f(x)g(x)0在区间5，5上的解的个数为8【答案】C考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围1(2014·合肥检测)若函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点，则实数a的取值为()A0B C0或D2【解析】当a0时，函数f(x)x1为一次函数，则1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a0时，函数f(x)ax2x1为二次函

15、数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2x10有两个相等实根14a0，解得a综上，当a0或a时，函数仅有一个零点【答案】C2(2014·洛阳模拟)已知方程|x2a|x20(a0)有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是()A(0，4)B(4，) C(0，2)D(2，)【解析】依题意，知方程|x2a|x2有两个不等的实数根，即函数y|x2a|的图象与函数yx2的图象有两个不同交点如图，则2，即a4【答案】B3已知函数f(x)log2xx，若实数x0是方程f(x)0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值为()A恒为负 B等于零C恒为正 D不小于零【解析】在同一坐标系中作出

16、ylog2x和yx的图象，由图象知f(x1)0【答案】A4(2014·高考江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0，3)时，f(x)若函数yf(x)a在区间3，4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_【解析】当x0，3)时，f(x)，由f(x)是周期为3的函数，作出f(x)在3，4上的图象，如图函数yf(x)a在区间3，4上有互不相同的10个零点，即函数yf(x)，x3，4与ya的图象有10个不同交点，在坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的图象如图，可知当0a时满足题意【答案】5(2015·湖北八校联考)已知xR，符号x表示不超过x的最大整数，

17、若函数f(x)a(x0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是()A BC D【解析】当0x1时，f(x)aa；当1x2时，f(x)aa；当2x3时，f(x)aa；f(x)a的图象是把y的图象进行纵向平移而得到的，画出y的图象，如图所示，通过数形结合可知a【答案】A已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解1(2015·莱芜一模)已知函数f(x)则函数f

18、(x)的零点为()A，0B2，0C D0【解析】当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0【解析】D2已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_【解析】画出f(x)的图象，如图由函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得：0m1，即m(0，1)【答案】(0，1)3已知函数f(x)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_【解析】要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x0时，方程2xa0，即2xa必有一根，此时0a1；当x>0时，方程x23axa0有两个不等实

19、根，即方程x23axa0有2个不等正实根，于是a，故a1【答案】必记结论有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号1(2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()Aycos x Bysin xCyln x Dyx21【解析】ycos x是偶函数，且存在零点；ysin x是奇函数；yln x既不是奇函数又不是偶函数；yx21是偶函数，但不存在零点【答案】A2函数f(x)2xa的一个零点在区间(1

20、，2)内，则实数a的取值范围是()A(1，3) B(1，2)C(0，3)D(0，2)【解析】由题意知f(1)·f(2)0，即a(a3)0，0a3【答案】C3(2016·东城期末)函数f(x)exx2的零点所在的区间是()A BC(1，2) D(2，3)【解析】f0，f(1)e0，零点在区间上【答案】B4(2014·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f(x)3ax12a在区间(1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是()AB(，1)CD(，1)【解析】当a0时，f(x)1与x轴无交点，不合题意，所以a0；函数f(x)3ax12a在区间(1，1)内是单调函数，所以f(1)

21、·f(1)0，即(5a1)(a1)0，解得a1或a【答案】B5f(x)是R上的偶函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x2，则函数yf(x)|log5 x|的零点个数为()A4B5 C8D10【解析】由零点的定义可得f(x)|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点【答案】B6(2014·开封模拟)偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且当x0，1时，f(x)x1，则关于x的方程f(x)lg(x1)在x0，9上解的个数是()A7 B8 C9 D10【解析】依题意得f(x2)f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的函数在平面直角坐标系中画出函

22、数yf(x)的图象与ylg(x1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图像在区间0，9上的公共点共有9个，因此，当x0，9时，方程f(x)lg(x1)的解的个数是9【答案】C7(2014·南宁模拟)已知函数f(x)ln x3x8的零点x0a，b，且ba1，a，bN*，则ab_【解析】f(2)ln 268ln 22<0，f(3)ln 398ln 31>0，且函数f(x)ln x3x8在(0，)上为增函数，x02，3，即a2，b3ab5【答案】58已知函数yf(x) (xR)满足f(x2)f(x)，当x1，1时，f(x)|x|，则yf(x)与ylog7x的交点的个数

23、为_【解析】因为f(x2)f(x)，所以yf(x)为周期函数，其周期为2在同一直角坐标系中，画出函数yf(x)和ylog7x的图象如图，当x7时，f(7)1，log771，故yf(x)与ylog7x共有6个交点【答案】69若函数yf(x)(xR) 满足f(x2)f(x)且x1，1时，f(x)1x2；函数g(x)lg|x|，则函数yf(x)与yg(x)的图象在区间5，5内的交点个数共有_个【解析】函数yf(x)以2为周期，yg(x)是偶函数，画出图象可知有8个交点【答案】810(2015·高考湖南卷)已知函数f(x)若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_【

24、解析】令(x)x3(xa)，h(x)x2(xa)，函数g(x)f(x)b有两个零点，即函数yf(x)的图象与直线yb有两个交点，结合图象(图略)可得a0或(a)h(a)，即a0或a3a2，解得a0或a1，故a(，0)(1，)【答案】(，0)(1，)1(2014·高考山东卷)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()AB C(1，2)D(2，)【解析】先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)kx过A点时斜率为，故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为

25、【答案】B2若函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是()A(2，) B C(1，) D(0，1)【解析】函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，就是函数yax(a0且a1)与函数yxa(a0且a1)的图象有两个交点，由图1知，当0a1时，两函数的图象只有一个交点，不符合题意；由图2知，当a1时，因为函数yax(a1)的图象与y轴交于点(0，1)，而直线yxa与y轴的交点一定在点(0，1)的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a1【答案】C3(2015·高考天津卷)已知函数f(x)函数g(x)bf(2x)，其中bR若函数yf(x

26、)g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A B C D【解析】函数yf(x)g(x)恰有4个零点，即方程f(x)g(x)0，即bf(x)f(2x)有4个不同的实数根，即直线yb与函数yf(x)f(2x)的图象有4个不同的交点又yf(x)f(2x)作出该函数的图象如图所示，由图可得，当b2时，直线yb与函数yf(x)f(2x)有4个交点【答案】D4已知函数f(x)满足f(x)1，当x0，1时，f(x)x，若在区间(1，1内，函数g(x)f(x)mxm有两个零点，则实数m的取值范围是()AB C D【解析】当x(1，0时，x1(0，1因为函数f(x)1，所以f(x)11.即f(x)函数g(x)f(x)mxm在区间(1，1内有两个零点等价于方程f(x)m(x1)在区间(1，1内有两个根，令ym(x1)，在同一坐标系中画出函数yf(x)和ym(x1)的部分图象(图略)，可知当m时，函数g(x)f(x)mxm有两个零点【答案】A5(2014·高考天津卷)已知函数f(x)若函数yf(x)a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为_【解析】画出函数f(x)的图象如图所示函数yf(x)a|x|有4个零点，即函数y1a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a0)当a2时，函数f(x)的图象与函数y1a|x|的