建筑力学之力系平衡培训课件

1、建筑力学之力系平衡培训课件 上一章研究了力系的简化理论及其应用。上一章研究了力系的简化理论及其应用。 本章根据力系简化的结果，首先推导出平面一般力系本章根据力系简化的结果，首先推导出平面一般力系的平衡条件和平衡方程，然后推导空间一般力系的平衡条的平衡条件和平衡方程，然后推导空间一般力系的平衡条件和平衡方程，并讨论平衡方程在工程实际中的应用。件和平衡方程，并讨论平衡方程在工程实际中的应用。 最后讨论静定与静不定（超静定）问题的概念，以及最后讨论静定与静不定（超静定）问题的概念，以及结构的计算简图。结构的计算简图。=0=RFF 22RFFFxy00 xyFF 由由3.2.1的讨论可知，平面汇交力系

2、各力作用线交于的讨论可知，平面汇交力系各力作用线交于一点，可以合成为一个合力，因此，一点，可以合成为一个合力，因此，即即（3-15）式可知，合力的大小）式可知，合力的大小FR为为= 0RF，当，当时，必有时，必有 （4-2） （4-1）反之，若（4-2）式成立，必有= 0RF 。（4-2）式称为，方程表示了平面汇交力系的解析条件，即，。 00 xyFF：首先解除简支刚架：首先解除简支刚架A、B处的约束，取分离体处的约束，取分离体ACB，受力分析，受力分析，在在B处为处为可动铰支座约束，可动铰支座约束，约束反力为约束反力为FB。A处为固定铰支座，处为固定铰支座，约束反力过铰心约束反力过铰心A，方

3、向不定。方向不定。 aaC(a)(b)FABDAFFDCABFBxy 试求例试求例2.2所示简支刚架的所示简支刚架的A、B支座反力，已知作用于支座反力，已知作用于刚架刚架C点一集中力点一集中力F。刚架的尺寸如图（。刚架的尺寸如图（a）所示。）所示。 但由于简支刚架只在但由于简支刚架只在A、B、C三点受到三点受到3个互不平行的力的个互不平行的力的作用，由三力平衡定理可知，主动力作用，由三力平衡定理可知，主动力F与与B处的约束反力处的约束反力FB的作用线交于的作用线交于D，因此，固定铰支座，因此，固定铰支座A的约束反力的约束反力FA的作用的作用线应过线应过AD连线，如图连线，如图4-1（b）所示，

4、）所示，F、FA和和FB为一个汇交于为一个汇交于D点点的的。aaC(a)(b)ABDDCABxyFAFFFB图4-10:cos450,220:sin450,2oxAAoyABBAFFFFFFFFFFF 以以A点为坐标原点，建立点为坐标原点，建立Axy平面坐标系，由（平面坐标系，由（4-2）式）式建立平衡方程并求解得建立平衡方程并求解得aaC(a)(b)ABDDCABxyFAFFFB图4-1所求得的所求得的FA为负值，为负值，说明说明FA的方向应该的方向应该指向左下方。指向左下方。M =m0=m和平衡方程和平衡方程 由作用平面为同一平面的若干力偶组成的力系称为平面力偶系。由作用平面为同一平面的若

5、干力偶组成的力系称为平面力偶系。由由3.3.2的讨论可知，平面力偶系可以合成为一个合力偶，的讨论可知，平面力偶系可以合成为一个合力偶，即，即若力偶系的合力偶之矩为零，则物体在该力偶系的作用下将不会转若力偶系的合力偶之矩为零，则物体在该力偶系的作用下将不会转动，而处于平衡。反之，如物体在平面力偶系的作用下处于平衡，动，而处于平衡。反之，如物体在平面力偶系的作用下处于平衡，则该力偶系的合力偶矩必为零。因此，则该力偶系的合力偶矩必为零。因此，即力偶系中各力偶的代数和等于零，即力偶系中各力偶的代数和等于零，有有 （4-3）式称为）式称为。 （4-3）AB图4-2(a)(b)lBAFFmBAm2112m

6、m例例4.2如图所示简支梁如图所示简支梁AB，A端为固定铰支座约束，端为固定铰支座约束，B端为可动铰支座约端为可动铰支座约束。在梁上作用了矩为束。在梁上作用了矩为m1=10kNm和和m2=20kNm的两个力偶，梁的的两个力偶，梁的跨度跨度l=5m，=30o，试求梁，试求梁A、B支座的反力。支座的反力。解：取解：取AB梁作为研究对象。梁作为研究对象。AB梁在两个力偶梁在两个力偶m1、m2和和支座反力支座反力FA和和FB的作用下的作用下处于平衡，由于梁所受到处于平衡，由于梁所受到的主动力只有力偶，故约束的主动力只有力偶，故约束反力反力FA和和FB也构成力偶，也构成力偶，应等值、反向，平行，受力应等

7、值、反向，平行，受力分析如图分析如图4-2（b）所示。）所示。AB21o5cos304 3kN3=-=FFmmo12A0:cos30 50mmmF 由力偶系的平衡方程（由力偶系的平衡方程（4-3）式得）式得AB图4-2(a)(b)lBAFFmBAm2112mm00ROM F 由第由第3章中简化结果的讨论可知，平面一般力系可以简化为主矢章中简化结果的讨论可知，平面一般力系可以简化为主矢量和主矩。由于一个力不能与一个力偶平衡，因此，量和主矩。由于一个力不能与一个力偶平衡，因此，：即即(4-4)将第将第3章中得出的主矢量和主矩的表达式（章中得出的主矢量和主矩的表达式（3-17）和式（）和式（3-18

8、）代入式（代入式（4-4）中，可得上述平衡条件的解析表达式为：）中，可得上述平衡条件的解析表达式为： 00()0 xyOFFMF（4-5） （4-5）式中，前两式是）式中，前两式是，第三式是，第三式是，是，是平面一般力系的基本形式的平面一般力系的基本形式的。（4-5）式的三个方程彼此独立，可以求解）式的三个方程彼此独立，可以求解3个未知量。个未知量。 三个方程表示了平面一般力系平衡的必要与充分的解析三个方程表示了平面一般力系平衡的必要与充分的解析条件，即：条件，即：00()0 xyOFFMF（4-5） 平面一般力系除了基本形式的平衡方程以外，还有下列平面一般力系除了基本形式的平衡方程以外，还有

9、下列两种形式的的平衡方程。两种形式的的平衡方程。 0()0()0 xABFMMFF（4-6） 其中其中A、B两矩心连线不能垂直于所选投影轴（两矩心连线不能垂直于所选投影轴（x轴）。轴）。000BAFFMMFx但但A，B两矩心连线不能两矩心连线不能垂直于所选投影轴（垂直于所选投影轴（x轴）轴） 设原力系满足二力矩式的、两式，则原力系不能简化设原力系满足二力矩式的、两式，则原力系不能简化为一个力偶，只能简化为通过为一个力偶，只能简化为通过A、B两点的一个力。两点的一个力。xF原力系满足式，则要求该力垂直于原力系满足式，则要求该力垂直于x轴，但二力矩式的附加条件是轴，但二力矩式的附加条件是A，B两矩

10、心连线不能垂直于所选投影轴两矩心连线不能垂直于所选投影轴（x轴），因此，该力只能为零。轴），因此，该力只能为零。原力系不能简化为一个力偶，简化的力原力系不能简化为一个力偶，简化的力也为零，原力系平衡。也为零，原力系平衡。()0()0()0ABCMMMFFF（4-7） 其中其中A、B、C三点不能共直线。三点不能共直线。 0)(00BAFFFCMMM其中其中，A，B，C三点三点不能共直线。不能共直线。 设原力系满足二力矩式的设原力系满足二力矩式的、两式，则原力系不能简化两式，则原力系不能简化为一个力偶，只能简化为通过为一个力偶，只能简化为通过A、B两点的一个力。两点的一个力。F原力系满足式，则要求

11、该力还必须原力系满足式，则要求该力还必须通过通过C点，但三力矩式的附加条件是：点，但三力矩式的附加条件是：A，B，C三点不能共直线。因此，该三点不能共直线。因此，该力只能为零。力只能为零。原力系不能简化为一个力偶，简化原力系不能简化为一个力偶，简化的力也为零，原力系平衡。的力也为零，原力系平衡。 平面一般力系的平衡方程虽然有上述平面一般力系的平衡方程虽然有上述3种不同的形式，但种不同的形式，但，任何，任何第四个平衡方程式都只是力系平衡的必然结果，为前第四个平衡方程式都只是力系平衡的必然结果，为前3个方程式个方程式的线性组合，因而不是独立方程，不能求解未知量。的线性组合，因而不是独立方程，不能求

12、解未知量。 在应用上述平衡方程解题时，可以针对具体问题灵活选用一种形在应用上述平衡方程解题时，可以针对具体问题灵活选用一种形式的平衡方程，力求在所建立的平衡方程中，能够一个方程式只含一式的平衡方程，力求在所建立的平衡方程中，能够一个方程式只含一个未知量，以使计算简便。个未知量，以使计算简便。 平面平行力系是各力作用线位于同一个平面且相互平行的力系，其平平面平行力系是各力作用线位于同一个平面且相互平行的力系，其平衡方程可以由平面一般力系的平衡方程直接推导出来。若取衡方程可以由平面一般力系的平衡方程直接推导出来。若取x轴与各力轴与各力作用线垂直，则有：作用线垂直，则有： ，0 xF 成为恒等式，平

13、衡方程只有两个，有以下两种形式：成为恒等式，平衡方程只有两个，有以下两种形式：00( )0yFMF 0( )0ABMFMF(4-8) (4-9) 其中其中A、B连线不能与各力平行。连线不能与各力平行。ABF图4-3(a)CqD2m1m1m 如例如例2.1中所示简支梁，中所示简支梁，A处固定铰支座约束，处固定铰支座约束，B处可动铰支处可动铰支座约束。在座约束。在AC段作用了荷载集度为段作用了荷载集度为q=5kN/m的均布荷载，在的均布荷载，在D点处作用一集中力点处作用一集中力F=10kN，=60o，各尺寸如图，各尺寸如图4-3（a）所示。试）所示。试求求A、B支座的约束反力。支座的约束反力。由例

14、由例2.1知，简支梁的受力分析如图知，简支梁的受力分析如图4-3（b）所示。简支梁所受的均）所示。简支梁所受的均布荷载布荷载q、集中力、集中力F和和A、B支座的约束反力支座的约束反力FAx、FAy、FB构成一平面构成一平面一般力系，建立平衡方程一般力系，建立平衡方程 yxABFFF图4-3(b)CFqDABA 0:cos32 10132 120kN2ABBMFFqFFq FyxABFFF图4-3(b)CFqDABA0:sin0sin10 3kN0:cos202coskxAxBAxByAyBAyBFFFFFFFFqFFFqF 20kNBF 1600FF2450045O0602m2m2m2mABC

15、ABC(b)图4-4(a)NAFNCF2FFNBF1例例4.4 梁梁AC用三根连杆支承在水平位置，受荷载如图用三根连杆支承在水平位置，受荷载如图4-4（a）所）所示。已知示。已知F1=20kN，F2=40kN，试求，试求A、B、C处的约束反力。处的约束反力。取取AC梁为研究对象，梁为研究对象，各连杆约束的约束反力通各连杆约束的约束反力通过杆轴线，画出过杆轴线，画出AC梁的受梁的受力图如图力图如图4-4所示（所示（b），），已知的主动力已知的主动力F1和和F2，未，未知的约束反力知的约束反力FNA，FNB，FNC构成一平面一般力系。构成一平面一般力系。 NC22NC0:6cos602sin604

16、029.8kNooOmFFFF F 采用二力矩式平衡方程求解，首先建立力矩方程。应尽量选采用二力矩式平衡方程求解，首先建立力矩方程。应尽量选择多个未知力的交点作为矩心，以便减少方程中的未知量，因择多个未知力的交点作为矩心，以便减少方程中的未知量，因此，先对此，先对O点建立力矩平衡方程，点建立力矩平衡方程，NAFONCF2FF060NBF1ABC2m2m2m2mNAFONCF2FF060NBF1ABC2m2m2m2mNC29.8kNF 12042sin602sin454 031.8ooBNCNANAmFFFFFkN F再取未知力再取未知力FNB的作用点的作用点B点为矩心，点为矩心，建立力矩平衡方

17、程建立力矩平衡方程20cos45cos45cos6003.5xoooNANBNAFFFFFkN最后由投影方程最后由投影方程NAFONCF2FF060NBF1ABC2m2m2m2m120:82sin606sin45403.5AooNCNBNBmFFFFFkN F 采用三力矩式平衡方程求解时，保留前两个力矩方程，采用三力矩式平衡方程求解时，保留前两个力矩方程，舍去第三个投影方程，再对未知力舍去第三个投影方程，再对未知力FNA的作用点的作用点A点建立力矩平衡方程点建立力矩平衡方程qB图4-5AABBlxy(a)(b)AAFFxyqMAB 试求图试求图4.5（a）所示悬臂梁固定支座）所示悬臂梁固定支座

18、A的约束反力。的约束反力。梁上受线荷载作用，线荷载最大集度为梁上受线荷载作用，线荷载最大集度为qB，梁长度为，梁长度为l。 取取AB梁为研究对象，梁为研究对象，画出画出AB梁的受力图如图梁的受力图如图4.5（b）所示。）所示。 以以A为坐标原点，建立为坐标原点，建立Axy坐标系，列平衡方程坐标系，列平衡方程0:0110:022xAxyAyBAyBFFFFq lFq lqB图4-5AABBlxy(a)(b)AAFFxyqMAB2( )0:1202313AABABMlMq lMq lF选选A为矩心建立力矩方程为矩心建立力矩方程 baleGGG图4-6ABCF312NAFNB 塔式起重机如图塔式起重

19、机如图4-6所示。设机身所受重力为所示。设机身所受重力为G1，且作用线距右，且作用线距右轨轨B为为e，载重的重力，载重的重力G2距右轨的最大距离为距右轨的最大距离为l，轨距，轨距AB=b，又平衡，又平衡重的重力重的重力G3距左轨距左轨A为为a 。求起重机满载和空载时均不致翻倒，平。求起重机满载和空载时均不致翻倒，平衡重的重量衡重的重量G3所应满足的条件。所应满足的条件。 1 1以起重机整体为研究对象以起重机整体为研究对象2. 起重机不致翻倒时其所受起重机不致翻倒时其所受的主动力的主动力G1、G2、G3 和约束和约束反力反力FNA，FNB组成一平面组成一平面平行力系。平行力系。3满载且载重满载且

20、载重G2距右轨最远时，距右轨最远时，起重机有绕起重机有绕B点翻倒的趋势，列点翻倒的趋势，列平衡方程：平衡方程： 2133210:()0()/BNANAMG lG eGabFbFGabG lG eb F起重机不绕起重机不绕B B点往右翻倒的条件是：点往右翻倒的条件是：0NAF其中等号对应于起重机处于翻倒与不翻倒的临界状态。其中等号对应于起重机处于翻倒与不翻倒的临界状态。baleGGG图4-6ABCF312NAFNB312GbaeGlG baGebGFaGebGbFFMNBNBA/ )(0)(:031314空载时空载时G20，起重机有绕，起重机有绕A 点向左翻倒的趋势，列平衡方程：点向左翻倒的趋势

21、，列平衡方程：起重机不绕起重机不绕A点向左翻倒的条件是：点向左翻倒的条件是：0NBF空载且平衡时空载且平衡时G3所应满足的条件为：所应满足的条件为：baleGGG图4-6ABCF312NAFNBaebGG/ )(13312GbaeGlG 起重机满载和空载均不致翻倒时，平衡重量起重机满载和空载均不致翻倒时，平衡重量G3所所应满足的条件为：应满足的条件为： aebGGbaeGlG)(1312aebGG/ )(13 在实际工程中，常遇到的研究对象不是某单个的物体，在实际工程中，常遇到的研究对象不是某单个的物体，而是由若干个物体借助某些约束按一定方式组成的系统，称而是由若干个物体借助某些约束按一定方式

22、组成的系统，称为物体系统，因此，需要研究物体系统的平衡问题。为物体系统，因此，需要研究物体系统的平衡问题。 物体系统平衡时，组成物体系统的每个物体也处于平衡。物体系统平衡时，组成物体系统的每个物体也处于平衡。因此，分析物体系统的平衡，可选择整个系统为研究对象，也因此，分析物体系统的平衡，可选择整个系统为研究对象，也可选择其中某部分或某个物体为研究对象，取出所选研究对象可选择其中某部分或某个物体为研究对象，取出所选研究对象，画出其分离体和受力图，建立相应的平衡方程，即可解出所，画出其分离体和受力图，建立相应的平衡方程，即可解出所需求解的未知量。需求解的未知量。 物体系统受到外界物体的约束称为外约

23、束；物体系统受到外界物体的约束称为外约束；物体系统内，各个物体的相互联系称为内约束。物体系统内，各个物体的相互联系称为内约束。外界物体的作用力或外约束的约束力；外界物体的作用力或外约束的约束力；内力：系统内各个物体间相互的作用力称为。内力：系统内各个物体间相互的作用力称为。 内力是成对出现，并等值、反向、共线，且同时作用在内力是成对出现，并等值、反向、共线，且同时作用在研究的物体系统上的，每对内力必然自相抵消，在研究物体研究的物体系统上的，每对内力必然自相抵消，在研究物体系统的平衡问题时，内力不应出现在受力图和平衡方程中。系统的平衡问题时，内力不应出现在受力图和平衡方程中。 内力、外力的划分是

24、相对于所取的研究对象而言的，内力、外力的划分是相对于所取的研究对象而言的，当取整个物体系统作为研究对象时，系统内部各个物体当取整个物体系统作为研究对象时，系统内部各个物体相互作用的力都是内力，但如果只取物体系统内某部分相互作用的力都是内力，但如果只取物体系统内某部分物体作为研究对象，则应将物体系统从两物体的连接处物体作为研究对象，则应将物体系统从两物体的连接处拆开，取出所需要研究的部分，这时，两部份物体间的拆开，取出所需要研究的部分，这时，两部份物体间的相互作用力就变成了所选的研究对象的外力，而应该出相互作用力就变成了所选的研究对象的外力，而应该出现在研究对象的受力图和平衡方程中了。现在研究对

25、象的受力图和平衡方程中了。 物体系统的平衡问题是静力学的重点和难点，求解时物体系统的平衡问题是静力学的重点和难点，求解时需要分清物体系统的组成方式和荷载传递规律，进行比较需要分清物体系统的组成方式和荷载传递规律，进行比较复杂的物体受力分析，并且灵活运用各类平衡方程。复杂的物体受力分析，并且灵活运用各类平衡方程。 由于组成物体系统的物体个数，连接方式、约束类型由于组成物体系统的物体个数，连接方式、约束类型等都不尽相同，工程实际中的物体系统种类繁多。但按其等都不尽相同，工程实际中的物体系统种类繁多。但按其组成方式和荷载传递规律可将物体系统归纳为组成方式和荷载传递规律可将物体系统归纳为和和三大三大类

26、。类。 有主次之分的物体系统由有主次之分的物体系统由（或称（或称）和）和（或称（或称）组成。）组成。 有主次之分的物体系统的荷载传递规律是：有主次之分的物体系统的荷载传递规律是： 研究这类物体系统的平衡问题时，应先分析次要部分，再研究这类物体系统的平衡问题时，应先分析次要部分，再分析主要部分。分析主要部分。 EABFCD图4-7qFF1m4m1m2m2m 如图如图4-7所示多跨静定梁，所示多跨静定梁，EABC 梁为主要部分，可以独立承受荷载梁为主要部分，可以独立承受荷载保持平衡，而保持平衡，而CD梁为次要部分（附属部分），单独的梁为次要部分（附属部分），单独的CD梁不能平衡，必梁不能平衡，必须

27、通过中间铰链须通过中间铰链C连接到连接到EABC梁上，依赖于梁上，依赖于EABC梁才能承受荷载，梁才能承受荷载，保持平衡。因此，保持平衡。因此，CD梁上所受的荷载梁上所受的荷载F要通过中间铰链要通过中间铰链C传递到主要部传递到主要部分分EABC梁上去，而梁上去，而EABC梁上所受的均布荷载不传递到梁上所受的均布荷载不传递到CD梁上。梁上。6m3m3m3mFqBA图4-8CD 又如，图又如，图4-8所示两跨刚架，也是有主次之分的结构，所示两跨刚架，也是有主次之分的结构，刚架刚架AB是主要部分，能够独立承受荷载维持平衡，是主要部分，能够独立承受荷载维持平衡，CD半半刚架是次要部分，依赖于刚架是次要

28、部分，依赖于AB刚架才能承受荷载和维持平刚架才能承受荷载和维持平衡。作用在衡。作用在CD半刚架上的荷载通过中间铰链约束传递到半刚架上的荷载通过中间铰链约束传递到AB刚架上。刚架上。 无主次之分的物体系统中，各个物体都不能独立承受无主次之分的物体系统中，各个物体都不能独立承受荷载，必须通过内约束的连接成为整体共同承受荷载并维荷载，必须通过内约束的连接成为整体共同承受荷载并维持平衡。持平衡。无主次之分的物体系统的荷载传递规律是：无主次之分的物体系统的荷载传递规律是： 在研究这类物体系统的平衡问题时，可选取其中任一在研究这类物体系统的平衡问题时，可选取其中任一部分分析，但通常选择荷载及约束作用较为简

29、洁的部分研部分分析，但通常选择荷载及约束作用较为简洁的部分研究。究。qaaa图4-9ABCDM如图如图4-9所示三铰刚架、图所示三铰刚架、图4-10所示的拱和所示的拱和4-11所示的组合所示的组合结构都是无主次之分的结构。结构都是无主次之分的结构。在研究这类物体系统的平衡问题时，可选取其中任一部分在研究这类物体系统的平衡问题时，可选取其中任一部分分析，但通常选择荷载及约束作用较为简洁的部分研究。分析，但通常选择荷载及约束作用较为简洁的部分研究。 GADCFEBq图4-11图4-10qCBEDA 运动机构系统指的是没有被完全约束住，而能实现运动机构系统指的是没有被完全约束住，而能实现既定运动，只

30、有当作用其上的主动力之间满足一定关系既定运动，只有当作用其上的主动力之间满足一定关系时，才会平衡的物体系统。时，才会平衡的物体系统。作用于运动机构系统的荷载传递规律是：作用于运动机构系统的荷载传递规律是： 因此，求解机构平衡问题时，通常是由已知到未知因此，求解机构平衡问题时，通常是由已知到未知依运动传动顺序逐个选取研究对象求解。依运动传动顺序逐个选取研究对象求解。例如图示曲柄滑块机构，作用在曲柄例如图示曲柄滑块机构，作用在曲柄OA上的力偶与作用在上的力偶与作用在滑块滑块B上的力上的力F必须要满足一定的条件。才能够使得机构处必须要满足一定的条件。才能够使得机构处于平衡。于平衡。 MOA图4-12

31、BF 图图4-7所示的多跨梁中，已知所示的多跨梁中，已知F=20kN，q=15kN/m。试求试求A、B、D处的约束反力。处的约束反力。 这是一个由主要部分这是一个由主要部分EABC和次要部分和次要部分CD组成的物体组成的物体系统，首先分析整体，画出整体的受力图如图系统，首先分析整体，画出整体的受力图如图4-7（b）所示。）所示。EABFCD(a)qFF1m4m1m2m2m图4-7DCFBAE图4-7(b)AFxAFyFFqFBFD 在此受力图中含有在此受力图中含有4个未知量个未知量FAx、FAy、FB及及FD，由于是，由于是平面一般力系，此研究对象只能列出平面一般力系，此研究对象只能列出3个平

32、衡方程，不能将此个平衡方程，不能将此4个未知量全部求解，故必须分开研究。个未知量全部求解，故必须分开研究。取次要部分取次要部分CD分析，分析，受力图如图受力图如图4-7（c）所示，以所示，以C为矩心，为矩心，建立平衡方程为建立平衡方程为DFC(c)图4-7FxFCyFCFD( )0:420,10kNCDDMFFF F(b)CBAEDCFBAE(d)AFxAFyFqFFqFBFDxFAyFACFxCFyBF图4-7 求得求得FD以后，可以取主要部分以后，可以取主要部分 EABC 为研究对象，也可以为研究对象，也可以取整体多跨梁为研究对象分析取整体多跨梁为研究对象分析A、B的约束反力。受力分析分别

33、的约束反力。受力分析分别如图如图4-7（b）和（）和（d）所示，从这两个图可以看出，如果取主要）所示，从这两个图可以看出，如果取主要部分部分 EABC 为研究对象，则需要在分析次要部分为研究对象，则需要在分析次要部分 CD 时，求出时，求出中间铰链中间铰链C的约束反力，如果取整体多跨梁为研究对象分析，中的约束反力，如果取整体多跨梁为研究对象分析，中间铰链间铰链C的约束属于内约束，约束力是内力，可以不必求出。的约束属于内约束，约束力是内力，可以不必求出。 AFxAFy(b)FFqDCFBAEFBFD 为简便运算，取整体作为研究对象，受力分析如图为简便运算，取整体作为研究对象，受力分析如图4-7（

34、b）所示，）所示，建立平衡方程并求解得建立平衡方程并求解得()()ABDAAD= 0:= 0() = 0:5m+4m2m-3m+5m-4m = 015+42-3+54120kN5m+15kN4m2m-20kN3m+10kN5m52.5kN4m创创创创创=创创xxyyFFMFqFFFF=FqFFFAFxAFy(b)FFqDCFBAEFBFD()()ADBBD() = 0:1-42-7+9+4 = 011+42+7941-20kN 1m+15kN4m2m+20kN7m-10kN9m37.5kN4m创创创创创-=创创MFqFFFF =-FqFFFDF2m2m2m1mqBABC(a)图4-14这也是一

35、个有主次之分这也是一个有主次之分的结构，悬臂刚架的结构，悬臂刚架ABC是主是主要部分，可以独立承受荷载，要部分，可以独立承受荷载，梁梁CD是次要部分，不能独立是次要部分，不能独立承受荷载，由铰链承受荷载，由铰链C与悬臂与悬臂刚架刚架ABC铰接，依赖悬臂刚铰接，依赖悬臂刚架的作用承受荷载。架的作用承受荷载。 如图所示平面结构，由悬臂刚架如图所示平面结构，由悬臂刚架ABC和梁和梁CD铰接而成。铰接而成。A处为固定端约束，处为固定端约束，D处为可动铰支座约束，已知处为可动铰支座约束，已知F10kN，qB =6kN/m。试求。试求A、C、D处的约束反力。处的约束反力。 首先分析整体，画出整体的受力图如

36、图首先分析整体，画出整体的受力图如图4-14（b）所示。）所示。此受力图中有此受力图中有4个未知量个未知量FAx、FAy、MA及及FD，由于对于平面，由于对于平面一般力系，一个研究对象只能建立一般力系，一个研究对象只能建立 3 个独立的平衡方程，不个独立的平衡方程，不能将此能将此4个未知量全部求解，故必须分开研究。个未知量全部求解，故必须分开研究。DAF2m图4-14(b)2m2m1mCDBqBABCCD(a)(c)AFxAFyFBFDqDFxFCyFCDAF2m图4-14(b)2m2m1mCDBqBABCCD(a)(c)AFxAFyFBFDqDFxFCyFCCB23kN/m4=qq 110:

37、2220,12310:20,22CDCDyCyDCCyMFqFkNFFFqFkN F取次要部分取次要部分CD分析，受力图如图分析，受力图如图4-14（c）所示，）所示，C点处的点处的线荷载集度：线荷载集度：以以C为矩心，建立平衡方程为为矩心，建立平衡方程为C0:0=xxFFDAF2m图4-14(b)2m2m1mCDBqBABCCD(a)(c)AFxAFyFBFDqDFxFCyFC 求得求得FD以后，可以取主要部分以后，可以取主要部分ABC为研究对象，也可以为研究对象，也可以取整体研究对象分析固定端取整体研究对象分析固定端A的约束反力。的约束反力。 如果取主要部分如果取主要部分ABC为研究对象，

38、则需要在分析次要部为研究对象，则需要在分析次要部分分CD时，求出中间铰链时，求出中间铰链C的约束反力，而且，取出的分离体的约束反力，而且，取出的分离体上，分布主动力会出现梯形分布荷载，计算较为麻烦。上，分布主动力会出现梯形分布荷载，计算较为麻烦。 如果取整体为研究对象分析，中间铰链如果取整体为研究对象分析，中间铰链 C 的约束属于内的约束属于内约束，约束力是内力，可以不必求出。并且，分布主动力仍约束，约束力是内力，可以不必求出。并且，分布主动力仍为三角形分布荷载，求解相对简单一些。为三角形分布荷载，求解相对简单一些。 DAF2m图4-14(b)2m2m1mCDBqBABCCD(a)(c)AFx

39、AFyFBFDqDFxFCyFC0:0,10 NxAxAxFFFFkAyDBAyAADBA10:40,11kN211M ()0:24440,8kN m23=+-=+创= -yFFFqFMFFqMFDAF2m图4-14(b)2m2m1mCDBqBABCCD(a)(c)AFxAFyFBFDqDFxFCyFC为简便运算，取整体为研究对象，受力分析如图：列平衡方程：为简便运算，取整体为研究对象，受力分析如图：列平衡方程： 如图如图4-8所示两跨静定刚架，自重不计。已知：所示两跨静定刚架，自重不计。已知：F=30kN，q=10kN/m。试求。试求A、B、D处的约束反力。处的约束反力。这是一个由基本部分刚

40、架这是一个由基本部分刚架AB和附属的半刚架和附属的半刚架CD所组成的所组成的系统。系统。6m3m3m3mFqBA图4-18CDCBD(b)(a)(c)FDqFAFxAFyBFyFCxFCCFyCFx 作用在附属部分作用在附属部分CD上的荷载要传递到基本部分上的荷载要传递到基本部分AB上去，故应先研究上去，故应先研究附属部分附属部分CD。拆开铰链。拆开铰链C，AB和和CD部分的受力图分别如图部分的受力图分别如图4-15（b）和（和（c）所示。）所示。 分析分析CD，以，以C为矩心，建立平衡方程为矩心，建立平衡方程6m3m3m3mFqBA图4-18CDCBD(b)(a)(c)FDqFAFxAFyB

41、FyFCxFCCFyCFx( )CDD0:33 1.5015kN=创=MFqFF( )ABCCB0:6360,0=+-=xyMFFFFFCC0:0,30kN=-=xAxxAxxFFFF= FCCy0:0,15kN=-=yAyyAyFFFF= F6m3m3m3mFqBA图4-18CDCBD(b)(a)(c)FDqFAFxAFyBFyFCxFCCFyCFxCC0:0,30kN=-=xxxFFFFCCy0:30,15kN=+-=yyDFFFqF再对基本部分再对基本部分AB建立平衡方程求解得建立平衡方程求解得aaa(a)ABCDM图4-16 如图如图4-16（a）所示三铰刚架，在顶部受荷载集度为）所示

42、三铰刚架，在顶部受荷载集度为q=20kN/m，并沿水平方向均匀分布的铅垂荷载作用，及力并沿水平方向均匀分布的铅垂荷载作用，及力偶矩为偶矩为M的力偶作用，的力偶作用，M=30kNm。已知。已知a=3m，刚架自重，刚架自重不计，试求不计，试求A、B、C处约束反力。处约束反力。 三铰刚架是一个三铰刚架是一个无主次之分的物体无主次之分的物体系统。系统。 qAAFxAFyBFxBFy(b)BCDM图4-16 首先分析整体，受力图如图首先分析整体，受力图如图4-16（b）所示，可以看出，）所示，可以看出，整体受力图中有整体受力图中有A、B支座的支座的4个未知力，但由于支座在同一个未知力，但由于支座在同一水

43、平线上，其中水平线上，其中3个未知力的作用线交于一点，故可以此交个未知力的作用线交于一点，故可以此交点为矩心，对整体刚架建立力矩平衡方程为点为矩心，对整体刚架建立力矩平衡方程为()0:6660265kNAByByMFMqF F6()0:660,55kN2BAyAyMMqFF F同样可列平衡方程同样可列平衡方程 再拆开中间铰链再拆开中间铰链C，AC部分和部分和BC部分的受力分析如图部分的受力分析如图4-16（c）、（）、（d）所示。选择）所示。选择BC部分，列平衡方程求解得部分，列平衡方程求解得CFxCFy(d)(c)qqAFxAFyBFxBFyCFxCFyBACC,DM图4-163( )0:3

44、330,35kN2cByBxBxMqFFF F00,35kNxBxCxCxFFFF0:30,5kNyByCyCyFqFFF 回到整体分析，列平衡方程回到整体分析，列平衡方程0:0,35kNxAxBxAxFFFFqAAFxAFyBFxBFy(b)BCDM图4-1635kNBxF 如图如图4-17（a）所示）所示A、B支座不在同一条水平线上的支座不在同一条水平线上的三铰刚架，顶部受最大集度为三铰刚架，顶部受最大集度为q的三角形分布荷载的作用，的三角形分布荷载的作用，已知已知q=20kN/m，a=3m，试求，试求A、B支座的约束反力。支座的约束反力。 qaaaABCDa图4-17(a) 这也是一个无

45、主次之分的物体系统，首先研究整体，受力这也是一个无主次之分的物体系统，首先研究整体，受力分析如图分析如图4-17（b）所示。由于支座不在同一水平线上，对整体）所示。由于支座不在同一水平线上，对整体建立平衡方程时，无论建立投影方程或是力矩方程，都会出现建立平衡方程时，无论建立投影方程或是力矩方程，都会出现两个未知约束反力。两个未知约束反力。 (c)qAFxAFyBFxBFyBFxBFyCFxCFyBCq(b)ABCDC图4-17如果从如果从C铰链拆开，取出铰链拆开，取出BC，受力分析，受力分析4-17（c）所示，可以看出，）所示，可以看出，BC部分部分也有也有4个未知约束反力，如果取个未知约束反

46、力，如果取AC部分也是一样的，会有部分也是一样的，会有4个未知约束反力，个未知约束反力，因此，这类题目只能建立联立平衡方程，解题时，应尽可能使建立的联立方因此，这类题目只能建立联立平衡方程，解题时，应尽可能使建立的联立方程简单一些。程简单一些。(c)qAFxAFyBFxBFyBFxBFyCFxCFyBCq(b)ABCDC图4-1712()0:22023AByBxaMFaFaqaF1( )0:023CByCBxaMFaqaFa F10kN15kNBxByFF首先对刚架整体建立平衡方程首先对刚架整体建立平衡方程（1）再对再对BC部分建立平衡方程部分建立平衡方程（2）联立（联立（1）（）（2）两式，

47、解得两式，解得(c)BCABCD(b)图4-9AFxAFyBFxBFyqBFxBFyCFxCFyCq10kN15kNBxByFF求得求得FBx和和FBy以后，可以对整体分析或者以后，可以对整体分析或者AC部分分析，以求解部分分析，以求解FAx和和FAy。0:010kN0:2065kNxAxBxAxyAyByAyFFFFFFFqaF 本题中，回到刚架整体建立平衡方程可以避免求解中间铰链本题中，回到刚架整体建立平衡方程可以避免求解中间铰链C的约束反力，并且方程更为简单一些。的约束反力，并且方程更为简单一些。 因此，对于整体建立平衡方程因此，对于整体建立平衡方程AFxAFyBFxBFyqABCD(b

48、)图4-17 厂房组合桁架受均布荷载作用，已知厂房组合桁架受均布荷载作用，已知q=20kN，尺寸，尺寸如图如图4-18（a）所示，若不计各构件重量，试求）所示，若不计各构件重量，试求1、2、3杆的杆的内力。内力。ABDGECF2132m2m2m2m2m(a)图4-18 这是一个由七根杆件组成的梁桁组合系统，这是一个由七根杆件组成的梁桁组合系统，AC和和CB是梁，是梁，其余各杆均为桁杆。各杆件之间没有基本部分与附属部分之其余各杆均为桁杆。各杆件之间没有基本部分与附属部分之分，故应选用先整体后部分的解题方案。分，故应选用先整体后部分的解题方案。图4-18(b)312FCEGDBAAFxAFyqFB

49、整体结构的受力图如图整体结构的受力图如图4-18（b）所示，可知，整体结构所受）所示，可知，整体结构所受未知约束反力有未知约束反力有FAx、FAy和和FB，对结构整体建立平衡方程可以，对结构整体建立平衡方程可以求出这三个约束反力。有求出这三个约束反力。有0:88 40,80kNABBMFqFF 330:44 220,80kNCBNNMFqFFF ABDGECFq2132m2m2m2m2m(a)图4-18(c)BECF21N3qCFxFBF其次从其次从C和和E处拆开，取处拆开，取BCE部分为研究对象，画出受力图部分为研究对象，画出受力图如图如图4-18（c）所示，建立平衡方程：）所示，建立平衡方

50、程：ABDGECFq图4-182132m2m2m2m2mE(a)(d)FFFN2N1N313130:sin450,2113kNoxNNNNFFFFF122120:cos450,80kN2oyNNNNFFFFF 以上所求杆件内力为正，表示杆件受拉，是拉杆；以上所求杆件内力为正，表示杆件受拉，是拉杆；负号表示杆件受压，是压杆。负号表示杆件受压，是压杆。最后研究三根桁杆的连结点最后研究三根桁杆的连结点D的平衡，画出受力图，的平衡，画出受力图，如图如图4-18（d），建立平面汇交力系的平衡方程：），建立平面汇交力系的平衡方程： 如图如图4-19（a）所示曲柄连杆机构，由曲柄）所示曲柄连杆机构，由曲柄O

51、A、连杆、连杆AB和滑块和滑块B组成，组成，A、B两处为铰链连接。两处为铰链连接。OA=r，AB=l。如。如忽略摩擦和物体的自重，当忽略摩擦和物体的自重，当OA与与AB在图示位置垂直时，作在图示位置垂直时，作用在滑块上的力用在滑块上的力F使系统处于平衡状态。求此时，作用曲柄使系统处于平衡状态。求此时，作用曲柄上的力偶之矩上的力偶之矩M的大小，支座的大小，支座O处的反力，连杆所受的力及处的反力，连杆所受的力及滑块滑块B对滑槽的侧压力。对滑槽的侧压力。 MOFBA(a)图4-122222cossintanllrrlrrlMOFBA(a)图4-12ABFOMFAFFFFF(b)(c)(d)OABBA

52、NABBA, 这是一个机构的平衡问题，因此须按运动传动顺序逐个这是一个机构的平衡问题，因此须按运动传动顺序逐个选取研究对象。选取研究对象。 0:cos0,/cos0:sin0,tanxBABAyNBANFFFFFFFFFFB(d)FFFBAN首先取滑块首先取滑块B为研究对象，滑块头为研究对象，滑块头B所受的力有：主动力所受的力有：主动力F，滑槽反力，滑槽反力FN及连杆（二力杆）的作用力及连杆（二力杆）的作用力FAB。受力图如图受力图如图4-19（d）所示。）所示。设连杆与水平线的夹角为设连杆与水平线的夹角为列平衡方程列平衡方程2222cossintanllrrlrrl解得解得22,BANlrr

53、FFFFll 22,BANlrrFFFFll NNrFFFl 由作用与反作用定律，由作用与反作用定律，滑块对滑槽的侧压力滑块对滑槽的侧压力MOFBA(a)ABO(b)(c)(d)FMFFFFFFOABBANABBA,A图4-12再取曲柄再取曲柄OA为研究对象。为研究对象。OA所受的力有：力偶矩为所受的力有：力偶矩为M的力偶，的力偶，连杆的作用力连杆的作用力FAB （FAB= FBA）以及轴承）以及轴承O处的反力处的反力FO，受力图，受力图如图如图4-19（b）所示。其中）所示。其中FAB与与FO构成力偶，有构成力偶，有22OABBAlrFFFFlMOFBA(a)ABO(b)(c)(d)FMFFFFFFOABBANABBA,A图4-1222()0:0,OABABABBAr lrMF rMMF rF rF rFlF以以O为矩心，建立平衡方程为矩心，建立平衡方程MOFBA(a)ABO(b)(c)(d)FMFFFFFFOABBANABBA,A图4-12 由前面的分析可知，分析物体或物体系统的平衡问题时，由前面的分析可知，分析物体或物体系统的平衡问题时，如果未知约束力的数目不多于平衡方程的数目，全部的未知力如果未知约束力的数目不多于平衡方程的数目，全部的未知力均可以由平衡