2019-2020学年人教A版广东省东莞市高二第一学期期末数学试卷含解析

1、2019-2020学年高二第一学期数学期末考试试卷、选择题1 .在 ABC4内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,且b=2, B= 45。，C= 120。，则边c=()AB. . -：C 2D. 'r,2 .已知实数x, y满足，y>0,则目标函数z=x-y的最大值是()m+V<2A. 2B. 1C. - 1D. - 23.糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为一箱水的质量调','向糖水（不饱和）中再加入m克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为 （）b_ bb b+mB. " C. D, 24.已知双曲线三彳 aa

2、0由ma aa a（a>0, b>0）的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为()A. y=±二kB. 上近工C. y=±2xD.±V5M5 .已知数列an是等差数列，且 a3+a13=50, a6=19,则a2=()A. 3B. 4C. 7D. 826 .已知a, b为实数，则“ 0vabv2”是“ av二”的（）bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7 .中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一

3、个人走 378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地”，则该人第 4天走的路程为（）A 96 里B. 48 里C. 24 里D. 12 里8 .如图，已知三棱锥 O- ABC点M N分别是 OA BC的中点，点 G为线段 MN±点，且MG= 2GN 若记袍=!, CB=bi 友二，则而=（）A.B.二2B.D.则一的最大值为（）a2210.已知双曲线二,'16 9二1的左、右焦点分别为 Fi、E, P为双曲线C上一点，直线l分别与以Fi为圆心、FiP为半径的圆和以 F2为圆心、F2P为半径的圆相切于点 A B,则|AB=（ ）A

4、. _B, 6C. 8D. 10二、多项选择题：本大题共2小题，每小题 5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得 2分，有选错的得。分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.11.四边形ABCDJ接于圆 Q AB= CD= 5, AD= 3, / BCD= 60° ,下列结论正确的有 （）A.四边形ABC泗梯形B,圆O的直径为7C.四边形ABC面面积为4D. AB曲三边长度可以构成一个等差数列12 .我们通常称离心率为空工的椭圆为“黄金椭圆” .如图，已知椭圆222C：=l（a>b>0）, A, A B, B2 为顶点

5、，F1, F2 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆 C为“黄金椭圆”的有（R*A. |AiFi|, | F1F2I , | F2A2| 为等比数列B. / FiBA=90C. PF，x 轴，且 PO A2B1D.四边形 ABA2B的内切圆过焦点 Fi, F2三、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13 .抛物线x2=y上的一点M到焦点的距离为2,则点M的纵坐标是 .14 .如图，以长方体 ABCD ABGD的顶点D为坐标原点，过 D的三条棱所在的直线为坐标 轴，建立空间直角坐标系，若 西的坐标为(2, 3, 4),则k的坐标为.6G15

6、.已知命题“ ？ xC 1 , 3,不等式x2- ax+4>0”为真命题，则a的取值范围为 .16 .斐波那契数列(Fibonaccisequence ),又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契(LeonardodaFibonacci )以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这 样一个数列：1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55在数学上，斐波那契数列以如下 递推的方法定义：a1=1, a2=1, an=an1+an2 (n>3, nCN*),记其前n项和为Sn,设 a2019 = t(t 为常数)，贝 U S2017 + S016 - S20

7、15 - S2014 = (用 t 表木)，$017 - a2019=(用 常数表示).四、解答题：本大题共 6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.17 .已知 p： x2- x- 6>0, q： x2- (2m+1) x+m2+mc0.(1)若m= 2,且pAq为真，求实数x的取值范围;(2)若q是p的充分不必要条件，求实数 m的取值范围.18 .已知等比数列an满足a2=4, a3a4= 128,数列abn是首项为1公差为1的等差数列.(

8、1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和S.19 .在ABC43,内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,且 bsin B= asin A- ( b+c) sin C.(1)求角A的大小.(2)若BC边上的中线AD=2V3,且 SAA5C =2V3, 求 ABC勺周长.20 .如图，已知斜三棱柱 ABC- A1B1G中，/ BCA= 90° , AC= BC= 2, A1在底面 ABC上的射 影恰为AC的中点D,且(1)求证：A1B± AC;(2)求直线A1B与平面ABC所成角的正弦值；(3)在线段CC上是否存在点 M使得二面角 M AB-C

9、的平面角为90。？若存在，确 定点M的位置；若不存在，请说明理由.B21 .在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东莞第一高楼民盈？国贸中心2号楼(以下简称“国贸中心”)正式封顶，随着最后一方 混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了 东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？ 一周后， 两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国贸中心顶部的

10、仰角为a ,正对国贸中心前进了s米后，到达B点，在B点测得国贸中心顶部的仰角为3,然后计算出国贸中心的高度(如图 1) .11层楼(与国贸第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢中心处于同一水平面，每层约3米)楼顶天台上，进行两个操作步骤：将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为a米；正对国贸中心，将镜子前移a米，重复中的操作，测量出人与镜子的距离为a2米.然后计算出国贸中心的高度(如图2).实际操作中，第一小组测得 s=90米，4= 42° , 3= 48° ,最终算得国贸中心高度为H；第二小组测得ai=

11、1.45米，a=12米，a2=1.4米，最终算得国贸中心高度为H2；假设 他 们 测 量 者 的 “眼 高 h ”者B为 1.6米(1 )请你用所学知识帮两个小组完成计算(参考数据tan42,答案保留整数结果)；(2)你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.l交圆22.设圆x2+y2-2x-15=0的圆心为 M 直线l过点N( - 1, 0)且与x轴不重合,M于A, B两点，过点 N作AM勺平行线交 BM于点C(1)证明| CM+| CN为定值，并写出点 C的轨迹方程；(2)设点C的轨迹为曲线 E,直线l1： y = kx与曲线E交于P, Q两点，点R为椭圆C 上一点，若 PQ魅以PQ为底边的

12、等腰三角形，求 PQRT积的最小值.、单项选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1 .在 ABC4内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B= 45。，C= 120。，则边c=()A.B.-：C. 2D>. 1i,【分析】由已知利用正弦定理即可求解.解：b=2, B= 45° , C= 120° ,2 c由正弦定理可得& =V3,ginBsinC -22，解得c=&.故选：D.2.已知实数x, y满足，,则目标函数z=x-y的最大值是()A.

13、 2B. 1C. - 1D. - 2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案."戈 >3I解：由约束条件 足y>o 作出可行域如图，_x+y<2化目标函数z=x- 丫为丫=*- z,由图可知，当直线 y=x-z过A (2, 0)时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2;故选：A.3.糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为中再加入m克糖，那么糖水（不饱和）'睬黠篝*（A） 向糖水（不饱和）A.旦豆也 a a+m【分析】向糖水（不饱和）中再加入m克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜

14、，可知浓将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为 （）度变大，即可得出.解：向糖水（不饱和）中再加入m克糖,那么糖水（不饱和）将变得更甜，可知浓度变大.由题意可得:a+m故选：B.4.已知双曲线A 一 1A 丫二土一Kb2=1 ( a>0, b>0)B. - - 1的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程C. y = ± 2xD.一一，：工【分析】由题意可得 a=2b,再由双曲线的渐近线方程 y=±且x可得所求.a2解：双曲线-a2 y b31 （a>0, b>0）的实轴长是虚轴长的两倍,可得a=2b,它的渐近线方程为y= ±-x,土一x.故

15、选：A5 .已知数列an是等差数列，且 a3+ai3=50, a6=19,则a2=（）A. 3B. 4C. 7D. 8【分析】利用等差数列的通项公式即可得出.解：设等差数列an的公差为d,a3+a13= 50, a6=19,.2&+14d=50, a1+5d=19,解得 a1 = 4, d= 3,贝U a2= 4+3 = 7.故选：C.6 .已知a, b为实数，则“ 0vabv2”是“ av”的（）bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件0V abv 2 或 aw 0, b【分析】“ 0vab<2" ？ "一MaMO或 av&

16、#163; "，“ av” bbb>0或a<0, ab>2 "，由此能求出结果.解：a, b为实数，“0vabv2" ？或 av看“，ab>2"av看"? "0vabv 2 或 aw。, b>0 或 a<0,“0vabv2”是“ av旦”的既不充分也不必要条件.故选：D.7 .中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走 378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一

17、天的一半，走了 6天后到达目的地”，则该人第4天走的路程为（）A. 96 里B. 48 里C. 24 里D. 12 里【分析】根据题意，可知此人每天所走的路程形成等比数列，且公比为一，前六项和为378,所以可以可以解得首项，第 4天走的路程为第 4项可求.【解答】解析：根据题意，可得此人所走的路程形成等比数列&,其中q=/, S6= 378,则：,：,1 2解得 ai= 192,所以演192X*=24.故选：C.8 .如图，已知三棱锥 3 ABC点M N分别是OA BC的中点，点 G为线段MNk一点，且MG= 2GN若记赢三；而兀，OC=7,则而=（）B.D.【分析】利用向量三角形法则

18、、向量共线定理、平行四边形法则即可得出.一一（OB+OC）解：OG=d+MG，MG=FH，MONYm Qy=yOA=<, OH =（b+ 仁），可得：0G=故选：C.9 .已知实数 a>0, b>0,且一+2b=2,则一的最大值为（ aaB.【分析】先根据+2b=2得到=2-2b>0? 0vbv1;再代入所求结合二次函数的性A.质即可求解.解：因为实数 a>0, b>0,且+2b=2所以：=2-2b>0? 0<b<1 a=b (2 - 2b) = - 2 (b) 2+;所以当b=时,的最大值为2210.已知双曲线二''16

19、9B. 6C. 8D. 10故选：B.二I的左、右焦点分别为 Fi、F2, P为双曲线C上一点，直线l分别与以Fi为圆心、FiP为半径的圆和以 F2为圆心、F2P为半径的圆相切于点 A B,则|AB【分析】求得双曲线的a, b, c,运用直线和圆相切的性质和双曲线的定义、直角三角形的勾股定理，解方程可得所求值.22,解：双曲线 C.二的 a=4, b=3, c= 5,'16 9可得 Fi (-5, 0) , F2 (5, 0),由直线l与圆Fi,圆F2相切于A, B,可得 AFi1l , BE±l ,过F2作F2HIX AFi,垂足为H,可得 | F2H = | AB ,设|

20、 PF| =m | PE| =n,可得 m- n=2a=8,| FiH| = | AF| T BF =8,在直角三角形 FiF2H 中，可得 | F2H =AJ iFjJ2 = V102-82 = 6，故选：B.二、多项选择题：本大题共 2小题，每小题 5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得 2分，有选错的得。分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.11.四边形ABCDJ接于圆 Q AB= CD= 5, AD= 3, / BCD= 60° ,下列结论正确的有 （）A.四边形ABC师梯形B.圆O的直径为7C.四边形ABCD勺面积

21、为D. AB曲三边长度可以构成一个等差数列【分析】直接利用余弦定理三角形的面积公式的应用和圆的内接四边形的应用求出结果.解：四边形 ABC呐接于圆 Q AB= CD= 5, AD= 3, / BC960° ,所以/ DAB= 120° .如图所示：连接AC, BD在4AB计，利用余弦定理 BD= AD+Ag-2? AD? AB? cos120 = 9+25+15=49,解得BD= 7.在BCDK 利用余弦定理 BD= CD+BC-2? CD? BC? cos60 ° , o1整理得49=EC+25-2X 5X8CX二，整理得：BO 8或-3 （负值舍去）由于四边形

22、ABC呐接于圆Q设/ AD90 ,所以/ AB9兀-。，在ACDK 利用余弦定理 AC= AD+CD-2? AD? CD? cos 0 ,在ABC,利用余弦定理 AC= A宫+CB2? AB? CB? cos （兀9）,所以 9+25 - 30cos 0 = 25+64+2X 5X 8cos 0 ,整理得匚口5 9,所以。=120° ,即/ AD仔 120° ,所以AD/ BC且AB不平行CD则四边形ABC时梯形.故 A正确.设ABD勺外接圆直径为 2R=BD sin1207 。州=五32S四边形岖咋口邙号血6。”T" ABD勺三边长度分别为 3, 5, 7可以构

23、成一个等差数列，故 D正确.故选：ACD12 .我们通常称离心率为行一1的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆222C：=l（a>b>0）, A, A B, R 为顶点，F1, F2 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆 C为“黄金椭圆”的有（）A. | AiFi| , | F1F2I , | F2A2| 为等比数列B. / FiBA2=90C. PFx 轴，且 PO A2B1D.四边形 ABA2B的内切圆过焦点 Fi, F2【分析】对每个命题如果是正确的求出各个命题所在的椭圆的离心率即可.解：A中若成等比数列则（2c） 2= （a-c） （a-c）,即2c= a - c或

24、2c= c - a （舍）， 解得：刍=二不阻二,所以A不正确；B若/ FiBA=90° ,则由射影定理可得：OB2=FiO? OA,即 b2=ca,所以 c2+ac-a2=0,即 e2+e1 = 0, ec（0, 1）,解得 e=所以 B正确；C若PF_Lx轴，所以P （ - c,叱），又PO/ AB1,则斜率相等，所以上言"，即c C V?b= c,所以e= / rT 9 ，所以C不正确；D,因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，因为直线人民的方程为:圆心到直线AB的距离等于c,即bx+ay-ab=0,所以原点到直线的距离d =2+b2b由

25、题意知： t=c,又 b2=a2-c2,整理得：a2 (a2-c2) =c2 (2a2-c2) , e4- 3e2+1=0, e2c(0, 1),解得 e2=二产, 所以 e=Ep=VLl,所以D正确, 故选：BD三、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13 .抛物线x2=y上的一点M到焦点的距离为2,则点M的纵坐标是 学 . 2- 8 【分析】利用抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离.解：由抛物线方程 /事,p=,设M(x, y),准线方程为冗=看 焦点F(C春)， Z4o<5可得 MF= y+g-=2，y= 2-y =-

26、t-故点M的纵坐标为7-8故答案为：竺.14.如图，以长方体ABCB A1BCD的顶点D为坐标原点，过 D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB的坐标为(2, 3, 4),则AC1的坐标为 (-2, 3,4)_【分析】DB1= (2, 3, 4),可得B1 (2, 3, 4).进而得到 A, C坐标.解：DBi= ( 2, 3, 4) ,Bi (2, 3, 4)A (2, 0, 0) , C (0, 3, 4),AC= ( 0, 3, 4) ( 2, 0, 0) = ( 2, 3, 4), 故答案为：(-2, 3, 4),15.已知命题“ ？ xCl , 3,不等式x2-ax

27、+4>0”为真命题，则 a的取值范围为(-00， 4.【分析】命题“？ xC 1 , 3 , x2- ax+4>0"是真命题？ a<x+ (1wxw3)恒成立， x令g (x) = x+* (1<x< 3),利用基本不等式易求g (x) min=4,从而可得a的取值范围.解：当 xC1 , 3时，x2- ax+4>0恒成立，a<x+- (1wxW3)恒成立，令 g (x) = x+y1 (1wxW3),则 a< g (x) min,.n>2'邑=4 (当且仅当x=2时取“=”)，x V x , g ( x) min = 4

28、) -a<4.故答案为：(-8,4.16 .斐波那契数列(Fibonaccisequence ),又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那 契(LeonardodaFibonacci )以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这 样一个数列：1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55在数学上，斐波那契数列以如下 递推的方法定义：a1=1, a2=1, an= an-1+an-2 (n> 3, nCN*),记其前n项和为Sn,设 32019 = t (t 为常数)，则 S2017+S2016 So15 S2014 = t (用 t 表不'),So

29、17 02019= 1(用常数表示).【分析】根据斐波那契数列an满足条件，利用数列的前n项和的定义，即可得出S017+S2016 S2015 S2014 的值；根据 an= an1 + an 2 可得 an2= an - an 1 ,求出前 n 项和 a1+a2+ +an = an+2 a2 ,由此求得 S2017 a2019 的值.解：斐波那契数列an满足：a1=1,a2=1 ,an=an- 1+an-2(n>3, nC N),设a2019= t ,则：S2017+S2016 S2015 S2014=S2017 - &015+S2016 一 展014=(a2017+a2016

30、) + ( a2016+ a2015)=a2oi8+a2oi7=22019=t;根据 an= an - i+an -2 可得 an - 2= an - an -1 ,所以 ai+&+an= (a?a2) + (a4a3)+ (an+2an+i) = an+2a2= a+i 1,所以 S2017 a2019= ( a2019 R2) a2019= - R2 = 1 .故答案为：t； - 1.四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区 域内，超出指定区域的答案

31、无效.17 .已知 p： x2- x- 6>0, q： x2 (2m+1) x+n2+m0.(1)若m= 2,且pAq为真，求实数x的取值范围；(2)若q是p的充分不必要条件，求实数 m的取值范围.【分析】(1)分别求出p与q为真命题的x的取值范围，取交集得答案;(2)求解一元二次不等式化简命题q,把q是p的充分不必要条件转化为集合端点值间的关系求解.解：(1) p： (x3) (x+2) >0得*2或*>3, 当 m= 2 时，由 q： x2-5x+6w 0 为真，得 2WxW3,pA q为真，即p, q都为真,.x的取值范围为3;(2)q：x2-(2n+1)x+n2+mc

32、 0,即q：(x-n)( x m- 1) < 0, q：x< m+1,即 q： m m+1.q是p的充分不必要条件，m+1 w 2 或 m> 3,即 me 3或用0 3.综上：q是p的充分不必要条件时，m的取值范围为(-00, - 3 U 3 , +8).18 .已知等比数列an满足a2=4, a3a4= 128,数列abn是首项为1公差为1的等差数列.(1 )求数列 an和 bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Sn.【分析】（1）设等比数列的首项为 a,公比为q,运用等比数列的通项公式解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式an；由等差数列的通项公式可得bn；（2）

33、由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和.【解答】解（1）因为数列an是等比数列，故设首项为 ai,公比为q,因为a2=4, a3a4=128所以且”（24二12司,所以q3=8,解得q=2,所以ai = 2,所以数列an的通项公式为an = 2n,因为anbn是首项为1、公差为1的等差数列，所以 anbn= 1+ ( n 1) = n,因为二24所以b口嗑 t-a（2）由（1）知 §同乘二得：ySn-lZ 1 rri'l千)作差得：-二:十吗）/信严o z r-n? (y)n+1所以S/2亲.U!b+c) sin C.19 .在 ABC中，内角 A B C

34、的对边分别为 a, b, c,且bsin B= asin A-（1）求角A的大小.（2）若BC边上的中线AD=2V3,且£乙妹二二2禽，求 ABCW周长.【分析】（1）由正弦定理化简已知等式得：b2=a2-bc-c：由余弦定理得 cosA的值，结合范围A （0,兀），可求A的值.（2）方法一：由三角形的面积公式可求bc=8,在 ABD中，4ADC中，由余弦定理得2卜2斗弓2二二了424,联立方程可求 a=8, b2+c2=56, bc=8,即可解得b+c的值，从而可求AABC勺周长的值.方法二：利用三角形的面积公式可求bc=8,由（1）知b2+c2=a2-8,利用平面向量的运算可得r

35、二二. 21q知 国（杷-AC）,得48= b2+c2-bc= （b+c） 2- 3bc,联立方程即可解得 ABC勺周长，方法三：利用三角形的面积公式可求bc=8,由（1）知b2+c2=a2-8，延长AD到E,使AE= 2AD由余弦定理得 b2+c2-bc= 48,联立方程可求 ABC勺周长的值.解：（1）由已知 bsin B= asin A （b+c） sin C,由正弦定理得：b2= a2 - bc- c2,由余弦定理得:在ABC43,因为 AC （0,兀），足、A 2 .兀所以A方法一：由 j-bcsiriA=-bc=2V2,得 bc=8,由（1）知 b2=a2 bc - c2,即 b2

36、+c2=a2 8，在，B计，由余弦定理得：c久年/十（2如尸-22爪jgs/ADS, 在ADC由余弦定理得： © =令）=2而）'-於2如，一-834收,因为 cos/ADB= - cos/ADC 所以由，得 a=8, b2+c2= 56, bc=8,所以 b+c=V（b+c） 2 =Vb2+c2+2bc=V?2=sV2，所以 ABC勺周长 a+bc=8+6>/2,方法二：S回至GSi心啦,得bc=8，由（1）知 b2+c2=a2 8,亮/ 3 （足+菽得 48=b2+c2-bc= （b+c） 2-3bc ,由 得b+u=6。！，a=8,所以 ABC勺周长a+b+c=R

37、+&历,方法三：S必匚bosi必二得bc=8，由（1）知 b2+c2=a2 8,延长AD到E,使AE= 2AQ在4ABE中/ABE= 60 , AE=2AD=4a/3,余弦定理得ba + c2-2bGGos60° =（如回产，即b2+c2-bc=48, 由 得b+u=6最，a=8,所以 ABC勺周长 a+bc=8+6V2,20 .如图，已知斜三棱柱 ABO ABC中，/ BCA= 90° , AO BC= 2, A在底面 ABC上的射 影恰为AC的中点D,且/1汽.(1)求证：AiB± AC;(2)求直线AB与平面ABC所成角的正弦值；(3)在线段CiC上

38、是否存在点 M使得二面角 M AB-C的平面角为90。？若存在，确 定点M的位置；若不存在，请说明理由.B【分析】(1)方法一：作DH AC交AB于点E,分另以DEDQDA所在直线为x,y,z轴通过向量的数量积求解证明 ABLAC.方法二：证明 AG± AC.证明BCL AC BCL AD,然后证明BCL面ACCi,推出ACLBC 即可证明 AC，面ABC推出AB±AC.(2)方法一：求出面 AiBiCi的一个法向量，结合1，一,利用空间向量的数量积求解直线 AB与平面ABC所成角的正弦函数值即可；方法二：说明/ ABD即为所要求，在 RtABD中，转化求解即可.(3)方法

39、一：不存在，设 示二，8广(。= "«久)，(0入.1)求出面MAB的一个法向量，利用向量的数量积为：0,转化求解判断即可.方法二：面ABD，面ABC,推出CC与面ABD的交点N为CC与AD的交点，目栏二,HL d所以在线段CC上不存在点M满足要求.【解答】证明：（1）方法一：作 DH AC交AB于点E,分另以DE DC DA所在直线为x,y,z轴建系-L 0）, C（0,L 0）, B 1, 3, 19, 口，田 Cj。，2.近），所以，际=L -爪），AC广 ,脏）,布,码二。+3-：3=0,所以 AiB± AC.方法二：在 RtADA中，仙=1，AD=dJ得

40、 AA=2, a AiAD= 60°所以四边形ACCi为菱形，得AG1 AC.又 BCL AC BCL AiD, AS AiD= D, AC, AD?面 ACCA ,所以 BC，面 ACCA,因为AC?面ACCAi,所以AGXBC又因为 ACn BC= C, AiC, BC?面 ABC所以AC，面ABQ因为 AB?面ABC所以 AB± AC.（2）方法一：因为面 ABC/面ABC所以面ABC的一个法向量为=（0, 0, 1）,因为与B=（2, 1, 一百），所以&逆皿二-西，|1力1二也+1比二2&',设线 AiB 与平面 ABC 所成角为a, gi

41、nCl = |eos<C Ai B ? m.，4方法二：因为面AiBC/面ABC所以线AB与平面AiBC所成的角等于 AiB与面ABC所成的角，所以/ A BD即为所要求.在 RtABD中，3玉,%B=2&，sinZ AD线AiB与平面ABC所成角的正弦值为（3 ）方法一：不存在，设而三，记二S,"如、C ,（0W入W1）5B ；二靛二（2, 2, 0）, A1 = A1C+CM=（O» 人十 I,第卜 ,设面MAB的一个法向量为p=（xf yf工）,%廿0=2"K)I 7可布二0(I+lJy+(V3 X-Vs)S=Q L戊；:我f 八 r X 4-

42、1、 T f X +1n-，击TZR，mFRh" 1所以不存在点M满足要求.方法二：面 ABD）±面ABC,CC与面 ABD的交点N为CC与AD的交点，NC 1且前一节，所以在线段CC上不存在点M满足要求.21 .在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东莞第一高楼民盈？国贸中心2号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识

43、测量验证一下？ 一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国贸中心顶部的仰角为a ,正对国贸中心前进了s米后，到达B点，在B点测得国贸中心顶部的仰角为3,然后计算出国贸中心的高度（如图 1） .11层楼（与国贸第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢中心处于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为a米；正对国贸中心，将镜子前移a米，重复中的操作，测量出人与镜子的距离为a2米.然后计算出国贸中心的

44、高度（如图2）.实际操作中，第一小组测得 s=90米，4= 42° , 3= 48° ,最终算得国贸中心高度为H；第二小组测得ai=1.45米，a=12米，a2=1.4米，最终算得国贸中心高度为H2;假设 他 们 测 量 者 的 “眼 高 h ”者B为 1.6米（1 ）请你用所学知识帮两个小组完成计算（参考数据：tan42 0 -0.9 ,答案保留整数结果）；（2）你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.【分析】（1）第一小组：在 RtABCID RtACD中求得BC AC由AC- BC= s,可得CDCDtan Cl tan P二S,可求解CD的值，可得 H的值，第二小组：先求得 EQ FQ由EQ-FCQ= a,得a 一不¥ -2=gL,可求PQ进而可求 H的值.h（2）逐一分析两种方案的优点和不足即可.CD解：（1）第一小组：在 Rt BCD中得，BC七稔-；