最值问题在经济管理中应用(经济数学建模课件(西安交通大学,戴雪峰)

1、最值问题在经济管理中的应用本段举例说明最大、最小值问题在经济管理中的应用1.最小成本问题实际问题中成本一般是产量q的函数：C=C(q),求最小成本问题即是求 C(q)的最小值问题但在实用中，经常是用平均成本 C(q) 达到最小来控制产量，所以常常是求平均成本的最小值 q例2设某企业每季度生产某种产品q个单位时，总成本函数为C(q)= aq3 - bq2 cq(a 0,b 0,c 0)(1)求使平均成本最小的产量；(2)求最小平均成本及相应的边际成本解(1)平均成本函数为C(q) 2C (q) = =aq2 -bq c (q 0)q令 C (q) =2aq b = 0,得唯一驻点 q =-b2a

2、b 又 C (q)=2a>0,故q =2就是C (x)的极小值因而是最小值2a所以，每季度产量为个单位时，平均成本最小.2a(2)当q=包时，最小平均成本为2ab b b 4ac -b2C()=a(一)2 -b() c =2a 2a 2a4 a而边际成本函数为C (q) =3aq2 -2bq - c所以当bq =一时，相应的边际成本为 2a_ . bb 2 b4ac。b2C( )=3a()2 -2 b( ) c=/2a2a2a4a由此可见，最小平均成本等于其相应的边际成本.般而言，如果平土成本C (q) =C® 可导，则令q一 qC (x) - C (q)1C (q)2=-(C

3、 (q)-C(q) =0qq当C (q)在q处取得极小值时，有C '(q) =C (q),即对于成本函数，最小平均成本等于相应的边际成本，这也证实了我们在第二章研究边际成本时的结论例3 铁路线上AB段的距离为100km，工厂C距A处为20km,AC垂直于AB(图3-16)，为了运输需要在线 AB上选定一 点D向工厂修筑一条公路.已知铁路上每km货物的运费与公 路上每km货物的运费之比为 3 : 5,为了使货物从供应站 B运 到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？解 设 AD=x(km),贝U DB=100-x(km),CD = 202 x2 = 400 x220 kmD100 km图

4、3-16由于铁路上每km货物的运费与公路上每 km货物的运费之比为 3 : 5,因此不妨设铁路 上每公里的运费为 3k,公路上每公里的运费为 5k(k为某个常数，因它与本题的解无关，所以不 必定出).设从B点到C点需要的总运费为 y,那么y=5k CD+3k DB,即y=5kV400 +x2 +3k(100-x)(0<x< 100)y =k(5x400 x2-3)现在，问题就归结为 x在0,100内取何值时y的值最小.令y,二0,得唯一驻点x=15，一.,11. .由于 yx£=400k, yx至=380k, y x二00 =500k、,1+一，其中 x=15 时,y 最

5、小，因此，当 11V 52AD=15km时，总运费最省.2.最大利润问题在产量等于销量的情况下，利润等于总收入与总成本之差，即L(x) =R(x) -C(x)若企业以最大利润为目标而控制产量，问题就转化为选择怎样的产量，使利润最大.根据极值存在的必要条件可知，L (x) =R (x) - C (x) =0即当边际收入 R(x)等于边际成本C'(x)时企业可获最大利润.例4 某厂生产服装，每天固定开支为 500元，每件服装还要花销 9元.已知需求函数 p=30-0.2寸£,其中p为每件衣服的单价 值为每天卖出衣服的件数，假设产量等于销量，问每件 衣服以多少价格出售才能获利最大，

6、并求最大利润.解 由题意可知，需求函数为q =25(30 - p)2.由此，有成本函数 C=500+9q = 500+9 25(30 - p)20<p<30收入函数 R =p q = p 25(30 -p)2利润函数 L =R-C =25p(30-p)2 -500 9 25(30 - p)2=25( p -9)(30- p)2 -500对 L(p)求导得L (p) =25(30 p) (48 3p)令 L'(p)=0 , 得 p=16 (元)，L(16)=33800 (元).根据实际问题，最大利润点一定存在，由于p=16是(0,30)内唯一的驻点，所以当每件衣服的 单价为1

7、6元时获利最大，最大利润为33800元.例5 一家工厂生产一种成套的电器维修工具、厂家规定，若订购套数不超过 300套，每套售价400元，若订购套数超过300套，每超过一套可以少付1元，问怎样的订购数量，才能使工 厂销售收入最大？解 设订购套数为q,销售收入为R(q).那么，当订购套数不超过300套时，每套售价为p=400,当订购套数超过 300套时，每套售价为p=400-1 x (q-300)=700- q.所以，工具每套售价4000 MqM300p =，700 -qq>300由此可得总收入函数为400q0<q <300R(q) = pq=)700q -q2q>300

8、令 R (q) =0 ,得驻点qi =350 ,且q? =300是不可导点.又当q >300时，R"(q) =-2<0,故q =350是极大值点.对q2 =300,当q经过q2的两 侧时，R(q)不变号，故q2=300不是极值点.故q=350是最大值点.即工厂若想获得最大销售 收入，应将定购套数控制在350套.3.最优库存问题库存在正常生产经营活动中是不可避免的.但库存太多会使资金积压，库存变质会造成浪费，库存太少又会使生产活动受到影响 ，因此，确定最优库存量是很重要的 .下面以确定型 单周期库存问题为例，说明库存问题的解法.例6某厂每年需要某种材料3000kg,这个厂对

9、该种原料的消耗是均匀的(即库存量是批量的一半).已知这种材料每kg库存费为2元，每次订货费30元,试求最经济的订货批量和全 年订购次数.解 设每次订货批量为xkg,则库存量为 二kg.库存费为？，2 = x(元)，全年订购次数为22陋，订购费为 陋30:90000，设定购费与库存费之和为C(x)，则 xxx90000.C(x) =x (0 < x s 3000 )xC (x) =1900000 =0 ,在(0,3000中得唯一驻点 x=300kg. xC (x)=1800003x10次.故x=300为极小值点，也就是最经济的定货批量为300kg，这时相应的订购次数为偏导数在经济分析中的应

10、用在本章第一节我们已说明了偏导数的经济意义.当z = f (x, y)表示经济函数时，fx(x,y)、fy(x,y)分别表示函数对自变量 x和y的边际量，下面以边际需求和价格偏弹性 为例详细说明偏导数在经济分析中的应用。1.边际需求设有A、B两种相关的商品，它们的价格分别为p1和p2 ,需求量分别为 Q1和Q2。由经济理论知道，需求量 Qi和Q2随着价格P1和p2的变化而变动，因此，需求函数可表为Q1 = Q1( Pi, p2 ) , Q2 Q2 ( pi , p2)Q.一需求量Q1和Q2关于价格p和p的偏导数，表示A、B两种商品的边际需求； 一1是 12M商品A的需求量Qi关于自身价格p1的

11、边际需求，它表示 A商品的价格p1发生变化时，A商品需求量Q1的变化率，类似地，工Q1,必，必分别表示商品A关于商品B的价格 巳、 中24 沦商品B关于商品A的价格pi及商品B关于自身价格 p2的变化率.对于一般的需求函数，若 Qi的自身价格p1下降，则Qi增加，若Q2的自身价格p2下降，则Q2增加，因此，对于所有在经济上有意义的价格p和p的值，它们的边际需求cQii 2f pi和W2都是负的.T2如果对于给7E的价格 p,和p,边际需求 2和刃2 都是负的，说明当两种商品中任 i2 7二 p2二 pi意一个价格减少，都将使需求量Qi和Q2增加，在经济学上称这两种商品是互补商品；如果对于给定的

12、价格 p和p ,边际需求 一和 一2都是正的，说明当两种商品任意一个价格i2二 p2二pi减少，都将使其中一个需求量增加，另一个需求量减少，在经济学中称这两种商品是替代商品.判定两种相关产品是否互补或替代在商品市场中有非常重要的意义。例i已知两种相关商品的需求函数分别为八a 八bQi =， Q2 =pi p2pi p2其中a >0,b >0为常数，求边际需求函数，并判断这两种商品是互补商品还是替代商品解 由题意，应求出QQ2的两个偏导 色和生，用这两个偏导的符号判定。0 a b= 一 _22- 二一2-P2 Pl P2二PlPl P2因为&0,也<0.：P2邛1所以这

13、两种商品是互补商品例2已知两种相关商品的需求函数分别为Qi=aeP2/1, Q2=beP1"2其中a >0,b >0为常数，判断这两种商品是互补商品还是替代商品解因为乌=aeP23：>0,也=bePl»A0中221所以这两种商品是替代商品.2.偏弹性与一元函数类似，我们也可以定义二元函数的弹性概念，在此只讨论在市场经济中非常重要的商品的需求弹性问题。设两种相关商品A、B的需求函数分别为Q1 = Q1 ( Pl , P2 ) , Q2 = Q2 ( Pl, P2 )当商品B的价格P2不变，而商品A的价格P1发生变化时，需求量Q1和Q2将随价格P1变化而变动，

14、此时需求量Q1和Q2对价格P1的弹性分别为E111Q1/Q1P11P1/P1Q1 力1Q2/Q2P1 ；92E21 = lim =-P1 0 1P1/ P1Q2 ; P1其中:1Q1 - Q1( P1P1, P2 ) - Q1 ( P1 , P2 )1Q2 =Q2(P1P1, P2) -Q2(P1, P2).类似地，当商品A的价格R不变，而商品B的价格P2发生变化时，需求量Qi和Q2对价格p2的弹性分别为其中Ei2=lim2Q1/Q1P22Q1pJ0p2/p2Qi金=lim2Q1/Q2p2 CQ2-P2-0 甲2 / P2 Q2 ；：P2= Qi(R, P2 +AP2) -Qi(Pi, P2)

15、，2Q2 =Q2(Pl, P2P2) -Q2(Pi, P2)通常Eii称为A商品需求量Qi对自身价格Pi的直接价格偏弹性,它表不当 A、B商品的价格为Pi和P2时，A商品价格改变i%时其销售量改变的百分数;Ei2称为A商品需求量Qi对相关价格P2的交叉价格偏弹性，它表示当A、B商品的价格为Pi和P2时，B商品价格改变i%时其销售量改变的百分数.对E2i和E22可作类似的解释.由交叉偏弹性的定义看到,利用交叉偏弹性Ei2和E2i的符号，也同样可以判别两种商品是互补商品还是替代商品例3已知两种相关商品A、B的需求量Qi、Q2和价格Pi、P2之间的需求函数分别为 Q1 = -P-2PiP2求需求的直

16、接价格偏弹性Eii , E22,交叉价格偏弹性E2i和Ei2.解因为:QiP2-:Qi i-:Pi2Pi-：P2PiQ22Pi2Pi：PiP2：P2所以 EiiPi -:Qi _ _P2P2Qi TiP22PiEi2P2PiQi ：P2=iPiE2iPi©2Q2；：Pl也Pi2Pi二 2P2E22p2 fq2Q2邛22P2-2Pi2（-丹）一P2由 Ei2 >0 和 E2i>0可知，这两种商品是替代商品最值问题在最优经济决策中的应用1.最优价格问题在生产和销售商品过程中， 商品销售量、生产成本与销售价格是互相影响的，厂家如何选择合理销售价格，才能获得最大利润，这个问题称为

17、最优价格问题，下面举例说明例4某工厂生产两种产品，当产量分别为Xi,X2时，其总成本函数为2C(xi , X2) = Xi2XiX2X2而市场对这两种产品的需求函数为Xi =40 2pi + P2 ,X2 = 15 Pi P2其中，PP2分别是这两种产品的价格。试问：工厂应怎样确定两种产品的价格，才能使所获利润为最大？解先求总收入函数R(Xi,X2)= PiXi P2X2由需求函数方程组xi = 40 - 2 Pl + P2x2 = i5 + Pi - p2解得Pi = 55 - x1 - x2P2 = 70-毛-2x2R(Xi,X2)= (55 - Xi - X2)Xi (70 - Xi -

18、 2x2)X2一 一八2=55xi 70x2 -2x1x2 -xi2-X2总利润函数为L = R -C = (55xi 70x2 一2x1 x2 - x； -X2) -(x2Xi X2 X2)22= 55x1 70x2 - 3xi x2 -2x2 - 3x2令解得又=55-3x2 4x1 =0|二 L_ _=70 '3x1 -6x2 = 0c23x1 = 8 , x2 =3A = 曰 = 4 8= = _2, Cx1二 x1 二 x2f2L:x|=-6,一 2于是 B AC = 15 <0 ,且 A=4 <0.，也是最大值点,23所以x1 =8, x2 =是极大值。当x1

19、>0,x2 >0时，这是唯一的极值点 3此时相应的产品价格为23118p1 =55 -8 - 二3314023p2 -70 -8-2 3即当两种产品的价格分别为118140 ,_ _P1 = , P2 =时，可狄利最大.33例5某企业在两个相互分离的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是p1=182Q1, p2=12 Q2其中P1和P2分别表示该产品在两个市场上的价格（单位：万元/吨），Q1和Q2分别表示该产品在两个市场上的销售量（即需求量，单位：吨） ，并且该企业生产这种产品的总成本函 数是C =2Q +5 ,其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q = Q1 + Q2

20、.（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该 企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及统一价格，使该企业的总利润最大化，并比较两种价格策略下的总利润大小分析 企业实行价格差别策略，即两个市场上的价格 R和p2可独立变动，从而问题（1） 是求总利润函数的无条件最大值问题.企业实行价格无差别策略，即两个市场上的价格 p1和 p2满足口 = p2,从而问题（2）是求总利润函数在约束条件 p1 = p2 （即2Q1 -Q2 = 6） 之下的条件最大值问题，因此可用拉格朗日乘数法解决 解 （1）根据题意，总利润函数为L =

21、R-C = p1Q1 "2Q2 -（2Q 5）2_2 =-2Q1 -Q216Q110Q2 -5aiQ1=-4Q1 16 = 0二2Q2 10 =0解得唯一驻点为 Q1 = 4 , Q2 = 5 ,则p1 = 10 （万元/吨），p2 = 7 （万元/吨）因驻点（4,5）唯一，且实际经济问题一定存在最大值，故最大值必在驻点达到，所以最 大利润为22.L=2x4 -5 +16 父4+10父5-5 = 52 (万兀)(2)若企业实行价格无差别策略，则 R = p2 ,从而有约束条件2Q1 - Q2 = 6 ,构造 拉格朗日函数，得F(Qi,Q2, ) = -2Q12 -Q| I6Q1 10

22、Q2 -5 (2Qi -Q2 -6)SF_ _= MQ +16+2九=0沁F令= 2Q2+10九=0£Q2芥=2Q1 Q2 -6 = 0岁u解得 Q1 =5, Q2 = 4,则 p1 = p2 = 8 （万元/吨）因驻点（5,4）唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点达到，所以最大 利润为22L = 2父5 -4 +165+10x4-5 = 49 （万兀）由上述结果可知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一定价的总利润2 .产量固定时的最低成本问题例6设生产某种产品需要投入两种生产要素，其投入量分别为X1和X2，价格分别为 R和p2，生产函数为Q = f （x1,x2），成

23、本函数为C = p1x1 + p2x2.当生产固定数量的产品（设为a）时，问应怎样分配两种要素的投入量，才能使成本最低解 根据题意，这是求成本函数 C = p1x1+p2x2在附加条件a - f （x1,x2）二0下的最小值问题.构造拉格朗日函数L(x1,x2) = p1x1p2x2 - 4a - f(x1,x2)Lx1 = pi 一儿fx1 =°令Lx2=p2 -九fx2=°f (x1，x2) a =0由前两个方程，解得pip2/u =fxifxp2fx2由此可见，如果产量固定，只有当两种投入量使两个边际产量与相应价格成比例时， 才可能使生产成本最低.3 .成本固定时的最

24、高产量问题例7设某产品的生产函数为y = 2ln x141nx2其中x1、x2分别是两种原料的投入量，设两种原料的单价分别为 4元和3元，现在用10000元购买两种原料，问怎样分配两种原料的投入量，才能获得最大的产量？解成本函数为C = 4x1 3x2根据题意，这就是在条件 10000-4x1 -3x2 =0的约束下，求函数y = 2ln x141nx2的最大值问题.构造拉格朗日函数L(x1,x2) =2lnx141nx2' (100004x1 3x2)解方程组比 2 八= 4九=0改1x1比 4八3=0改2x24x1 +3x2 -10000 = 08由刖两个万程得 X2 = Xi,代

25、入第三个方程，得32500Xi =PJ 3、_ 62000010000I X2 =Z9因为当X1 >0 , x2 A 0时只有一个驻点，且问题本身具有最大值，故当Xi =空° ,320000,口 -口 ,X2 =时，可获得最大产量，此时9丫4PiYx23p2即两个边际产量与相应的价格成正比，这与例 5的结论是一致的。*4.拉格朗日乘子 儿的经济意义下面以二元函数为例说明拉格朗日乘子人的经济意义.从例6和例7看到，不管是产量固定时的最低成本问题，还是成本固定时的最高产量问题，最后都归结为在约束条件 中(x, y)=C下，求生产函数z= f(X,y)的极值问题，由拉格 朗日乘数法，

26、拉格朗日函数为L(X,y, ' ) = f (x, y) C - (x, y)其中人是拉格朗日乘子，由第七节的分析，函数f (x.y)取极值的必要条件是L.XV0'4、加=九改CXcf、泮=/>.%cy中（x, y）-C =0（i）在方程组(1)中，九，x, y是未知数,C为已知.但若将C看作变量，则 九和x, y都可表为C的函数，假设由方程组(i)解出最优解九，X”和y,则V = ?C), x*=x(C), y* = y(C)从而z = f (x, y)的极值z*也可视为C的函数.* r /*Z = f（X ,y ）将z*对C求导，形式上有dz；:f dxff dy=+

27、-(2)dC fx dC y dC再将方程组(1)中前两式代入(2)式中，得dz / F ： dx ： ： dy、='()(3)dC 女 dC；:y dC若将q(x, y) =C两边对C求导，有:dx :； d dy .1；x dC；:y dC于是(3)式为生二=/dC这说明，拉格朗日乘子 A*是目标函数极值z*对约束条件之常数 C的变化率或边际值.在经济学中，也将 炉称为影子指标，随目标函数、约束条件的经济意义和度量单位不同 而有不同的经济解释.若给定产出水平为a ,约束为中(x, y) = a ,目标是使成本C = f (x, y)最小，需决策的是两种投入x,y的水平，则X*是在最

28、优投入水平时产品的边际成本，如例 5中的九”.若成本是固定的，邛(x, y)=C,目标是使产量z=f(x, y)最大，而要决策投入x, y的 水平，则 炉(是支出的边际产量，如例 6中九* = 6-单位.10000*三、最小二乘法对经济问题进行定量分析时，经常要探讨一些经济变量之间的定量关系，特别是经济变量之间的线性关系，这种关系在经济决策和经济预测方面非常重要.由于经济变量大多数呈随机性，所以它们之间的定量关系是在掌握大量统计数据的基础上总结出来的经验公式，最小二乘法是利用多元函数极值理论构造线性经验公式的一种有效方法.下面对因变量线性依赖于一个自变量的简单情形，介绍用最小二乘法构造线性经验公式的基本思想假设变量x,y之间存在一定关系，对它们进行n次统计或调查，得到 n组数据(xi,yi),(x2,y2),(xn,yn)将这n组数据看作直角坐标系中的n个点，并将它彳门y1.画在坐标平面上，称其为散点图，如图 8-13所示。如果.这些散点大致呈直线趋势，则认为x与y之间存在线性关.系，设X与Y之间的线性关系为.二. .oxy = ax b其中a, b为待定参数，下面用最小二乘法根据观测值来确定参数a和b .设当x=xi时，用函数y=ax+b算出的值为？，i=1,2,n,考虑？与实际