二次函数在闭区间上的最值-练习题带解析答案

1、个人整理资料,仅供交流学习二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况设f (x) =ax2 +bx +c(a 00),求f (x)在x w m, n上的最大值与最小值。丁 b4ac _b2 *b分析：将f(x)配方，得顶点为-b, b :、对称轴为x =上一< 2a 4a J2a当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在,上f(x)的最值：2()当上_ W卜，n时，f (x)的最小值是f|=4ac b , f (x)的最大值是 2aI 2a./ 4af

2、(m)、f(n)中的较大者。()当 一-b-更 Im, n 时 2a.b若 <m，由f(x)在m, n】上是增函数则f(x)的最小值是f(m),最大值是f (n) 2a心b若n<，由f(x)在m, n上是减函数则f(x)的最大值是f(m),最小值是f (n) 2a当a <0时，可类比得结论。二、例题分析归类：(一)、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：()轴定，区间定；()轴定，区间变；()轴变，区间定；()轴变，区间变。轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的

3、，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例.函数y = -x2 +4x -2在区间,上的最大值是，最小值是。解：函数y = -x2 +4x2 = (x 2)2+2是定义在区间,上的二次函数，其对称轴方 程是x = 2 ,顶点坐标为(，)，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在,上，如图所示。函数的最大值为f (2) = 2 ,最小值为f (0) = -2。练习.已知2x2 <3x,求函数f (x) =x2 +x +1的最值。上的二次函解：由已知2x2 W3x,可得0Mxw|,即函数f(x)是定义在区间.|0,次函数配方得f (x)=一一，、1 一 ，一,其对称轴万程x = ，顶点

4、坐标 213)一，一24/,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间0,内，如图所示。函数f (x)的最小值为f (0) = 1 ,最大值为f19O471013、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在 动区间上的最值”。例.如果函数f (x) =(x1)2+1定义在区间t, t+1 上，求f(x)的最小值。解：函数f (x) =(x -1)2 +1 ,其对称轴方程为x = 1 ,顶点坐标为(，)，图象开口向上。如图所示，若顶点横坐标在区间ft, t +1 左侧时，有1<t,此时，当x = t时，函数取得最小值 f (x)min = f(t

5、) =(t 一1)21 t 计 1 XI尸如图所示，若顶点横坐标在区间It, t +1 上时，有 t=1Mt+1,即 0EtE1。当 x = 1时，函数取得最小值f (x) min = f (1) = 1。01 t 1 t+l x如图所示，若顶点横坐标在区间It, t+1右侧时，有 t + 1<1,即 1<0。当* = 1+1时，函数取得最小值f (x)min = f (t 1) =t2 1(t-1)2 1,t 1综上讨论，f(x)min = 1, 0 _ t _12t 1 t <0Htoi2例.已知 f(x)=x 2x+3,当 x = t, t+1(tu R)时，求 f(x

6、)的最大值.解：由已知可求对称轴为x=1.2_二 f(x)min =f(t()个？1 而3, f(x)max = f(t+1)=t +2()当 t w 1 w t +1 ,即 0 w t w 1 时，.1根据对称性，若t +t ' J即'、2时，f (x)max = f=-2t + 322t t 111若即 a4'时，f(x)max = f(t+1)=t2+220 当 t +1 <1 即t <0时，f (x)max = f =t _2t 321t 2 :综上，f(x)max=.2,1t -2t+3,t <L2观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况

7、讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？ 这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间 的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它 的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨 论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称 轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个 理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：b , y,f(n),An(如图 3)f (m),"

8、b 之,(m+n)(如图 1)2a当 a >0时 f(x)max=2a 12f(x)min =f(上)，mWBn(如图4)f(n),-2 J(m + n)(如图2)2a2a 2a 2f (m), -<m(如图5)、 2af (n), -b >n(如图6)2a当 a <0时 f (x)max = « f (-2), mEPwn(如图7)f (x)min2a 2af (m),b- <m(如图 8),m),f(n)，b 1(m n)(如图 9)2a 2b 1一一 <一(m + n)(如图 10)2a 2r?i 6t ra«、轴变区间定二次函数随

9、着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这 种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例.已知x2 < 1,且a2至0,求函数f (x) = x2 +ax + 3的最值。解：由已知有 -1 < x < 1, a之2,于是函数f(x)是定义在区间1, 1上的二次函数,将f (x)配方得:. a af f(x) =x+,23- - 4二次函数f(x)的对称轴方程是x = _ a顶点坐标为22 -,3-,图象开口向上24；a由a之2可得x =-万M-1 ,显然其顶点横坐标在区间-1, 1的左侧或左端点上。函数的最小值是f (1) =4a ,最大值是f(1)=

10、4+a。例.()求f ( x) = x2 +2ax +1在区间口上的最大值。()求函数y = -x(x -a)在x亡T , 1上的最大值。解：()二次函数的对称轴方程为x = -a ,11当-a <5即a > -时,1 r.1 i当一a之,即a w 5时，f(x)max=f(2) = 4a+5；f(x)max= f(1) =2a+2。综上所述:f ( x )max1-2a 2,a < -14a 5,a22一一a 2 a -()函数y = -(x -)十 图象的对称轴万程为24aa a / ax =一,应分1E E1,1，一2222-2 <a <2, a <

11、-2和a a2这三种情形讨论，下列三图分别为()a<2;由图可知 f(x)max = f(1)a()2EaE2；由图可知 f(x)max=f(一)2()a A 2时；由图可知 f(x)max = f(1)f(-1) , a <-2(a +1) , a < -22y最大=jf(|),_2Wa W2;即 y最大=< 亍，-2WaW2J(1) , a >2a-1,a>2.轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在 动区间上的最值”。222例.已知 y =4a(x-a)(a>0),求 u=(x-3) +y 的最小值

12、。解：将y =4a(xa)代入中，得w =(X- 3)2 +4a(z-a) = x- (3- 2a)2 + 12a- Sa31 j e at +8)A为。，即0 时，"月温二八3 - 2厘)=-/3-2"鼻，即口时，/Wnm =7g)=g-3y所以-犷(05三1)(a-3)a (a >1)(二)、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。2例.已知函数f(x)=ax +2ax+1在区间3,2上的最大值为，求实数的值。2解：f(x) = a(x 1)1 -a,x -3,2()若a = 0, f (x) =1,不符合题意。()若 a >0,则

13、 f (x)max = f (2) =8a + 1一 .3由8a+1=4,得 a=e8()若 a<0 时，则 f (x)max = f (1) =1a由1 a=4,得 a = 3. .3综上知a =或a = 382x 例.已知函数f(x)=+x在区间m, n上的最小值是 m最大彳I是n ,求m, n的值。2解法：讨论对称轴 工=1中与m,mn ,n的位置关系。2f(x) f(n)=3n若空理,则(，max -f(x)min = f(m) =3m!f(x)max = f(1尸 3n 无解 f (x)min = f(m) =3m'f (x)max = f (1) =3n 左m max

14、，无解f(x)min = f (n) =3m若/ “，则fmax -)=3n,无解 f(x)min = f(n) =3m综上，m = -4, n =01,111斛析：由 f (x) = _-(x -1) + ，知 3n 三一，n M ,则m, n J (-1, 2226-f (x)- = f(n) =3n又在m,n上当x增大时f(x)也增大所以f (x)min = f (m) = 3m解得 m = -4,n = 0评注：解法利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m , n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。例.已知二次函数f(x) = ax2+(2a -1)x +

15、1在区间1 ,21上的最大值为，求实数的值。这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a>0与a<0两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函 数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：2a -11()令 f(2a-1) =3,得 a = -2a2此时抛物线开口向下，对称轴方程为x = -2,且-2更|-3 ,2 1故-1不合题意；一 22一、八1()令 f(2)=3,得 a=21此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故 a =1符合题意；2-32()右 f(一金)=3,得 a = -12此时抛物线

16、开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故a = -2符合题意。31 .2综上，a =或a =23解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参 数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处 取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程 简洁、明了。三、巩固训练函数y =x2+x+1在-1,1上的最小值和最大值分别是()(A)(B) 3410 -2函数y(B) -4=x2 +4x -2在区间1,4上的最小值是(C) -2(D)(A) -7.函数y = 8的最值为x - 4x 5(A)最大

17、值为，最小值为()最小值为，不存在最大值(B)不存在最小值，最大值为(D)不存在最小值，也不存在最大值.若函数y = 2 - Y x2 +4x,xw 0,4的取值范围是23.已知函数 f(x)=ax +(2a1)x3(aw 0)在区间一一，2上的最大值是，则实数的值 2为.如果实数x, y满足x2+y2 =1 ,那么(1 xy)(1+xy)有()，1，3()取大值为 ，取小值为 一()无取大值，取小值为 一24()最大值为，无最小值()最大值为，最小值为 一4.已知函数y=x2 -2x+3在闭区间0,m上有最大值，最小值，则m的取值范围是()()1,二)()0,2() 1,2()(-二,2.若

18、x 20, y之0,x +2y =1 ,那么2x +3y2的最小值为2222.设m二R, x1，x2是万程x 2mx+1m =0的两个实根，则 x1 + x2的最小值2.设 f(x)=x 4x 4,x wt,t+1(t w R),求函数 f(x)的最小值 g(t)的解析式。2 a.已知f (x) =x - ax + -,在区间0,1上的取大值为g(a),求g(a)的取小值。.(江苏卷)设a为实数，函数f(x)=2x2+(x a)|x a|.()若f (0)圭1,求a的取值范围；()求f (x)的最小值；()设函数h(x) =f (x),x1a,y)，直搂写出(不需给出?M算步骤)不等式h(x)上1的解集.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活 运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。()若 f 之1，则 a |a 户1 口 1a= a E-1a2 -1()当 xa时，f(x) =3x2 2ax+a2,|f(a),a-0 ,2a2,a-0,f(x)min=f/a2a2cf (-), a ：.0 一 ,a ：:0,33当x wa时,H 2-2a ,a _0二 22a , a ： 022f f (_a), a 0f (x) = x 2