《最短路径问题(2)》教案

1、2）教案三角形三边的数量关系：三角形任意两边的差第三边 ;最短路径问题（13.4.2 造桥选址问题教学目标： 一学习目标1 .熟练应用轴对称变换知识，提高解决实际问题的能力；2 .学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题；3 .体会平移变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想二教学重点教学重点：利用平移将造桥选址的实际问题转化为两点之间，线段最短问题三教学难点 教学难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题 【二】教学设计 一课前设计1 .预习任务平移不改变图形的C、PM<QN D、不能 B时，PA+PB有最小值，最时， PB-PA 等于如图，直线AB, CD且AB /

2、CD,在直线AB上任取不同两点P、Q,过 P、 Q 分别作 CD 的垂线，垂足分为 M 、 N ，那么PM 与 QN 的大小关系为 A、PM>QNB、PM = QN确定答案：形状，大小；小于;2 .预习自测直线AB上有一点P,当点P在小值为 AB 的值；直线 AB 上有一点P， 当点 P 在AB 的值；直线 AB 上有一点P， 当点 P 在时， PA-PB 等于AB 的值；【知识点】线段的和差【数学思想】分类讨论，数形结合【思路点拨】直线AB上有一点P,此时点P与线段AB的位置关系有 两种：如图1,点在线段AB上；如图2和图3,点在线段BA的延长 线上或点在直线AB 的延长线上 .【解题

3、过程】当点P在线段AB上时，如图1, PA+PB=AB即PA+P B最小值为AB的值；当点P在线段BA的延长线上时，如图2, PB-PA =AB;当点P在线段AB的延长线上时，如图3, PA - PB =AB ;【答案】线段AB上；线段BA的延长线上；线段AB的延长线 上.如图，点A、B在直线l的同侧，在直线l上能否找到一点P,使得1 PB- PA |的值最大？【知识点】两点之间线段最短，三角形两边的差小于第三边【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时，根据 ''三角形任意两边 的差小于第三边，那么I PBPA1 <AB;当点P与A、B共线，点P 在线段BA的延长线上时，即

4、点P为直线AB与直线l的交点，那么| PB PA | =AB.【解题过程】当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时（ PB -PA 1 <AB;当点P在线段BA的延长线与直线l的交点时，如图，PB -PA=AB ，即| PB- PA | =AB ;【答案】如图，连接BA并延长交直线l于P,此时（ PB-PA |的值 最大 .二课堂设计1 .知识回顾在平面内，一个图形沿一定方向、移动一定的距离，这样的图形变 换称为平移变换简称平移 . 平移不改变图形的形状和大小 .三角形三边的数量关系：三角形两边的差小于第三边2 .问题探究探究一 运用轴对称解决距离之差最大问题活动回顾旧知，引入新知师：

5、上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦，解决了数学史中的经典问题将军饮马问题，但善于观察与思考的海伦在解决两点直线同侧一线的最短路径问题时他从另一角度发现了最大值的情况：活动整合旧知，探究新知例1.如图，A、B两点在直线l的异侧，在直线l上求作一点C,使1 AC-BC |的值最大.【知识点】轴对称变换，三角形三边的关系【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.此题的突破点是作点A（或点B）关于直 线l的对称点A'（或B'）,利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直 线A A B（AB '）与直线l交点C.【解题过程】

6、 如图 1 所示， 以直线 l 为对称轴， 作点 A 关于直线 l 的对 称点A' , A' B的延长线交l于点C,那么点C即为所求.活动类比建模，证明新知师：回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明两点直线同侧一线型时AC +BC最小的吗？试类比证明''1 AC-BC |最大的作法是否 正确性？理由：在直线l上任找一点C '（异于点C ），连接CA, C' A, C' A' , C' B.因为点A, A'关于直线l对称，所以l为线段AA'的垂直平 分线，那么有CA = CA，所以CA CB=CA' 一

7、CB = A' B.又因为点C 在 l 上，所以 C' A = C' A'.又在AA' BC'中，C' A C B = C A' C' B<A' B,所以 C' A' C' B<CA-CB.练习 点 A 、 B 均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系，如下图.假设P是x轴上使得|PA PB|的值最大的点，Q 是 y 轴上使得 QA+QB 的值最小的点，请在图中画出点 P 与点 Q.【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边，三角形任意两

8、边的和大于第三边【思路点拨】当点P 与 A 、 B 共线时，即在线段AB 的延长线上，点 P为直线AB与x轴的交点，那么此时P是x轴上使得|PA- PB|的值最大的点， 即| PA- PB ) =AB.将点A、B看成y轴同侧有两点：在y轴上求一点Q, 使得 QA+QB 最小【解题过程】延长线段 AB, AB与x轴交于点P,那么此时P是x 轴上使得|PA PB|的值最大的点，即 PA- PB | =AB ;作点A关于x轴 的对称点A' , A' B的连线交y轴于点Q,那么点Q是y轴上使得QA+ QB 的值最小的点 .【答案】如图，点 P 与点 Q 即为所求：探究二 利用平移解决造

9、桥选址问题活动结合实际，难点分解师：常说遇山开路，遇水搭桥，生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什么关系呢？如图，在笔直河岸CD上的点A处需建一座桥，连接河岸 EF,且CD / EF.显然当桥AB垂直于河岸时，所建的桥长最短.活动生活中的实际问题例 2. 如图， A 、 B 两地位于一条河的两岸，现需要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到 B 的路径 AMNB 最短？假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题：从点 A 到点 B 要走的路线是AMNB,如下图，而MN是定值，于是要使路程最短，只要 A MBN 最

10、短即可如图1，此时两线段AM 、 BN 应在同一平行方向上，平移MN至U A A',那么A A' =MN, AM+NB= A' N+NB ,这样问题就转 化为：当点N在直线b的什么位置时，A' N+NB最小？如图2,连接A', B两点爵券申六线段 A' B用短，因此，线段A' B与直线b的交点N的 位置即%前求;冲段点N处造桥MN ,所得路径A-M-N-B是最短的.、 图1【解题过程】 如图2,平移MN到AA '或者过点A作A A'垂 直于河岸，且使AA'等于河宽.连接BA'与河岸的一边b交于点N. 过点N

11、作河岸的垂线交另一条河岸a于点M.【答案】如下图，那么 MN为所建的桥的位置.图2活动几何证明上述作图为什么是最短的？请你想想.先让学生小组合作完成，进行展示、分享.证明：由平移的性质，得MN/AA',且MN= AA' , AM=A ' N, AM /A' N,所以 A、B 两地的距离:AM+MN+BN= AA ' + A ' N+ BN =AA' + A' B.如图2,不妨在直线b上另外任意取一点N',假设桥 的位置建在N' M'处，过点N'作N' M '，a,垂足为M '

12、,连接A M ' , A' N ' , N ' B.由平行知：AM ' =A' N' , AA ' = N' M ', 那么建桥后AB两地的距离为：AM' +M' N' +N' B=A' N' +AA ' +N ' B=AA ' +A' N' +N' B.在匕A N' B 中，. A' N' +N' B>A' B,.AA' +A' N' +N'

13、 B>AA' +A' B , 即AM' +M' N' +N' B>AM+MN+BN.所以桥建在 MN处，AB两地的路 程最短.【设计意图】利用平移等变换把问题转化为容易解决的问题，从而做 出最短路径的选择.练习 如图1,江岸两侧有A、B两个城市，为方便人们从A城经过一 条大江到B城的出行，今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥，且笔直的江 岸互相平行.应如何选择建桥的位置，才能使从 A地到B地的路程最短？【知识点】平移的知识，两点之间线段最短【思路点拨】从A到B要走的路线是A-M-N-B,如下图，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM

14、BN 最短即可此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC,从C至U B应是余下的路程，连接BC的 线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置， MN 即为所建的桥【解题过程】(1)如图2，过点A 作 AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽；(2)连接BC 与河岸的一边交于点 N ； (3)过点N 作河岸的垂线交另一条河岸于点 M.【答案】如图 2 所示，那么 MN 为所建的桥的位置3. 课堂总结知识梳理本堂课主要知识为两个最值问题： 1利用轴对称知识解决线段距离之差最大问题； 2利用平移、两点间线段最短解决造桥选址问题重难点归纳解决线段最值问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直

15、线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问 题 ''距离之差最大问题的两种模型：如果两点在一条直线的同侧 时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大；如果两点在一 条直线的异侧时， 先作其中一点关于直线的对称点， 转化为即可. 通常求最大值或最小值的情况，常取其中一个点的对称点来解决，而用三角形三 边的关系来推证说明其作法的正确性 造桥选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问 题三课后作业基础型 自主突破1 .如图，

16、A 、 B 两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a 表示输水总管道，直线b 表示输煤气总管道现要在这两根总管道上分别设一个连接点， 安装分管道将水和煤气输送到 A 、 B 两幢大楼， 要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短.图中，点 A'是点A关于直线 b的对称点，A' B分别交b、a于点C、D;点B'是点B关于直线a的对 称点，B' A分别交b、a于点E、F.那么符合要求的输水和输煤气分管道 的连接点依次是 A、 F 和 CB、 F 和 EC、 D 和 CD、 D 和E【知识点】最短路径问题【思路点拨】 图中隐含了两个两点同侧一线型的模型.【

17、解题过程】由轴对称的最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B'与A的连线的交点F,煤气分管道的连接点是 点A关于b的对称点A'与B的连线的交点C、应选A、【答案】 A2 . 如下图， 一面镜子 MN 竖直悬挂在墙壁上， 人眼 O 的位置与镜子MN 上沿 M 处于同一水平线 有四个物体A 、 B 、 C、 D 放在镜子前面，人眼能从镜子看见的物体有 A. 点 A 、 B、 C B. 点 A 、 B、 D C. 点 B、 C、 D D. 点 A 、 B、 C、 D【知识点】轴对称的知识【思路点拨】物体在镜子里面所成的像就是数学问题中的物体关于镜面的对称点，人眼从

18、镜子里所能看见的物体是它关于镜面的对称点，必须在眼的视线范围内如以下图示，分别作A 、 B 、 C、 D 四点关于直线MN的对称点A'、B'、C'、D'.由于C'不在/ MON内部，故人能从镜 子里看见 A 、 B、 D 三个物体【解题过程】如以下图示，分别作 A 、 B 、 C、 D 四点关于直线MN 的对称点A'、B'、C'、D'.由于C'不在/ MON内部，故人能从镜子 里看见 A 、 B 、 D 三个物体【答案】B3 .如图，在四边形 ABCD 中，/C=50° , /B=/D = 90°

19、; , E、F 分别是BC、DC上的点，当AAEF的周长最小时，/ EAF的度数为A、50B、60C、70D、80【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、三角形的外角以及三角 形内角和、四边形内角和【解题过程】.在四边形 ABCD中，/C = 50° , /B = /D = 90° , ./ BAD=130延长AB到P,使BP=AB ,延长AD至U Q,使DQ=AD ,那么点A关 于BC的对称点为点P,关于CD的对称点为点Q,连接PQ与BC相交于 点E,与CD相交于点F,如图，PQ的长度即为 AEF的周长最小值；又 . /BAD=130 , 在AAPO 中，/ P+ /Q=

20、180 - 130 = 50 . / AEF = /P+ /PAE=2/P, /AFE = /Q+/QAF=2/Q, ./AEF+/A FE=2(/P+/Q) = 2X50 = 100,./EAF= 180 - 100 =80【思路点拨】 补全图形，转化为 ''一点两线型求三角形周长最小 的问题；根据三角形的内角和等于180求出/ P+ /Q,再根据三角形的外 角以及三角形内角和知识运用整体思想解决.【答案】D4 .如图，村庄A, B在公路l的同侧，在公路l上有一个公交车站点P, 此点P使得| PB-PA )值最大，试彳出公交车站 P的位置.【知识点】两点之间线段最短，三角形任

21、意两边的差小于第三边【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时，根据 ''三角形任意两边 的差小于第三边，那么I PBPA1 <AB;当点P与A、B共线时，即 在线段BA的延长线上，点P为直线AB与直线l的交点，那么1 PB- PA | =AB.【解题过程】当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时1 PB -PA 1 <AB;当点P在线段BA的延长线与直线l的交点时，如图，PB -PA=AB ，即| PB- PA | =AB ;【答案】如图，点P 为所求公交车站的位置.5 .如图，等边 ABC的边长为2, AD是BC边上的中线，E是AD边 上的动点，F是AC边上的中点

22、，当EF+EC取得最小值时，求/ ECF的度 数.【知识点】等腰三角形的三线合一，轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】拆分出点F、点C和直线AD,构成 ''两点一线型的基 本模型是解决此题的关键，连接CF'或者连接BF与直线AD交于点E, 此时EF+EC取得最小值为CF'或者BF，但题目要求/ ECF的度数， 那么只能连接CF',根据等腰三角形''三线合一的性质求解.【解题过程】取AB得中点F',那么等边三角形AC边的中点F与点 F'关于直线AD对称；连接CF',与直线AD相交于点E,止匕时EF+EC 取得最小

23、值.因为CF'是等边 ABC的边AB上的中线，所以CF'平分/ ACB,那么/ ECF的度数是30 .作图解题之前应该忽略图中的点 E,如图1,又由 ''两点一线型的最短距离的模型得到图 2 ；【答案】/ ECF的度数为306 .如图，在 RtA ABC 中，/ ACB=90 , AC=6, BC=8, AB=10, AD 是/BAC的平分线.假设P、Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的 最小值 .【知识点】轴对称的知识、垂线段最短、角平分线的性质【数学思想】数形结合，转化【解题过程】如图，过点C作CMXAB于点M,交AD于点P,过点 P作PQ，AC于点Q

24、, AD是/BAC的平分线，PQ=PM,这时PC+PQ 有最小值，最小值为 CM的长度.AC=6, BC=8, AB=10, SzABC= 1 A B? CM=-AC? BC, /. CM= AC BC =6-8 =24 ,即 PC+PQ的最小值为 24 .2AB 1055【思路点拨】因为/BAC的对称轴是/ BAC的平分线所在的直线AD, 所以点Q的对称点在射线AB上.假设点Q关于直线AD的对称点为点M,PC+PQ =PC+PM, 又当PC、PM共线时，PC+PM的最小值为线段 CM 的最小值，根据垂线段最短，所以当CMXAB时线段CM的值最小.过点C 作CM ±AB于点M,交AD

25、于点巳过点P作PQ±AC于点Q,因为AD 是/BAC的平分线，得出PQ=PM,这时PC+PQ有最小值，最小值为 CM 的长度，再运用SAABC=-AB? CM=1AC? BC,得出CM的值，即PC+22PQ的最小值.此题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置.5能力型师生共研7 .如下图，在边长为3的等边三角形ABC中，E、F、G分别为AB、A C、BC的中点，点P是线段EF上一个动点，连接 BP、GP,求zBPG周 长的最小值.【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】要使 PBG的周长最小，而BG=1.5是一个定值，只要 使BP+P

26、G最短即可，那么转化为 ''两点一线型的最短路径问题 .连接A B交直线EF于点P即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即 PBG的周长最小.【解题过程】如图，连接 AG交EF于M. 等边 ABC, E、F、G分 别为 AB、AC、BC 的中点，AGXBC, EF/BC, 那么 AGLEF, AM= MG,.A、G关于EF对称，连接AB交直线EF于点 巳 即当P和E重合 时，止匕时BP+PG最小，即 PBG的周长最小，: AP=PG, BP=BE,.最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=3+1.5=4.5 .【答案】4.5探究型多维突破8 . 读一读： 勾股

27、定理揭示了直角三角形边之间的关系 : 在直角三角形中，两直角边a、 b 的平方和等于斜边c 的平方， 即 a2 +b2 =c2.我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为勾，较长直角边为股，斜边称为弦，所以把这个定理成为勾股定理 .例如：直角三角形的两个直角边分别为 3 、 4，那么斜边c2= a2+b2=9+16=25，那么斜边 c 为 5. 借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股定理的具体内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下面的练习：如图， A 、 B 两个村庄位于河流CD 的同侧，它们到河流的距离AC=10km， BD=30km ，且 CD=30km 现在要在河

28、流CD 上建立一个泵站P 向村庄供水，铺设管道的费用为每千米2 万元，要使所花费用最少，请确定泵站 P 的位置，并求出此时所花费用的最小值为多少？保留痕迹，不写作 法【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】根据得出作点 A关于直线l的对称点A',连接A' B, 那么A' B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，再构造直角三角 形利用勾股定理即可求出此题主要考查了用轴对称解决最短路径问题和 勾股定理的应用，解题关键是构建直角三角形【解题过程】依题意，只要在直线l上找一点P,使点P到A、B两点 的距离和最小.作点A关于直线l的对称点A',连接A

29、9; B,那么A' B 与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，且PA+PB=PA' +PB=A' B、 又过点A'向BD作垂线，交BD的延长线于点E,在直角三角形A' BE 中，A' E=CD=30, BE=BD+DE=40,根据勾股定理可得：A' B=50千米 即铺设水管长度的最小值为 50 千米所以铺设水管所需费用的最小值为： 50X2=100万元.【答案】 100 万元9 . 读一读： 勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系 : 在直角三角形中，两直角边a、 b 的平方和等于斜边c 的平方， 即 a2 +b2 =c2.我国古代学者

30、把直角三角形的较短直角边称为勾，较长直角边为股，斜边称为 ''弦，所以把这个定理成为 ''勾股定理.例如：直角三角形的两个直角边分别为3、4,那么斜边c2= a2+b2=9+16=25,那么斜边c为5.借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股 定理的具体内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下 面的练习：如图，/ AOB=30 ，点M、N分别在边 OA、OB上，且OM=1 , ON =3,点P、Q分别在边OB、OA上，那么MP+PQ+QN的最小值是.【知识点】轴对称的知识【思路点拨】点M、N分别在边OA、OB上的定点，作M关于OB的 对称点

31、M ',作N关于OA的对称点N',连接M ' N',即为MP+PQ+ QN的最小值.【解题过程】解：作M关于OB的对称点M ',作N关于OA的对称 点N',连接M' N',即为MP+PQ+QN的最小值.根据轴对称的定义可知： /N' OQ=/M' OB=/AOB=30 ,O N' =ON=3,OM' =OM=1,：/N' OM' =90 , 在 RtA M' ON中，M' N =M 12 =而.故答案为师.【答案】10自助餐10 如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，

32、现要在河边建一自来水 厂E为A村与B村供水，自来水厂建在什么地方到 A村、B村的距离和最 小？请在以下图中找出点E的位置.保留作图痕迹，不写作法【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线CD的对称点A',再连接A' B交CD于点E,即可得出答案.【解题过程】如下图，点E即为所求.11 如图，在一条笔直的公路l旁修建一个仓储基地，分别给 A、B两 个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之差 即| PBPA1最小？（保留作图痕迹及简要说明）【知识点】线段垂直平分线的知识，绝对值的知识【思路点拨】因为绝对值具有非

33、负性，即PB-AP | > 0,所以当点PA=PB时，| PB-PA |最小值为0.【解题过程】 作线段AB的垂直平分线，与直线l交于点巳 交点P 即为符合条件的点.如图，取线段 AB的中点G,过中点G画AB的垂线， 交EF于P,那么P至UA, B的距离相等.也可分别以 A、B为圆心，以大 -1于2AB为半径圆弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为 所求.【答案】如图，点P为所求公交车站的位置.12 如图，直线l外不重合的两点A、B,在直线l上求作一点C,使得 AC+BC的长度最短，作法为：作点 B关于直线l的对称点B'连接 AB'与直线l相交于点C,那么点

34、C为所求作的点.在解决这个问题时没 有运用到的数学知识或方法是A、转化思想B、三角形的两边之和大于第三边C、两点之间，线段最短D、三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角【知识点】轴对称的知识、两点之间最短【解题过程】点B和点B'关于直线l对称，且点C在l上，.CBm CB',又AB'交l与C,且两条直线相交只有一个交点，CB' +CA= A B'最短，即此时点C使CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题转化为 ''两点之间，线段最短，表达了转化的思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边.应选D、【思路点拨】利用 ''两点之间线段最短分析并验证即可.此题主要 考查了利用轴对称知识解决最短路径问题，