二次函数基本复习题人教新课标版

1、 (一) 二次函数的概念 二次函数、对称轴、顶点等.(二) 二次函数的图象和性质函数y=ax2 +k函数y=x2函数y=ax2函数y=a(xh)2函数y=a(xh)2k函数y=ax2 +bx+c目标几何变换二次函数的图象和性质() y=a(x-h)2+k (a¹0)的图象和性质解析式y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k图象a>0a>0a>0a>0a<0a<0a<0a<0特点顶点在原点顶点在y轴上顶点在x轴上开口方向 a>0，开口向上；a<0，开口向下. 同前同前同前形状相同抛物线的形状大小相同.越

2、大,开口越小;越小, 开口越大.同前同前同前.顶点坐标（0，0）（0，k）（h，0）（h，k）对称轴y轴y轴直线x=h直线x=h函数最值若a>0，当x=0时，y有最小值是0.若a<0，当x=0时，y有最大值是0.若a>0，当x=0时，y有最小值是k.若a<0，当x=0时，y有最大值是k.若a>0，当x=h时，y有最小值是0.若a<0，当x=h时，y有最大值是0.若a>0，当x=h时，y有最小值是k.若a<0，当x=h时，y有最大值是k.增减性若a>0，当x0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大.若a<0，当x0

3、时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小.同前若a>0，当xh时，y随x的增大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大.若a<0，当xh时，y随x的增大而增大，当x>h时，y随x的增大而减小.同前平移y=ax2+k的图象是由y=ax2的图象沿y轴向上或向下平移个单位得到的，k为正向上，k为负向下.y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象沿x轴向左或向右平移个单位得到的，h为正向右，h为负向左.y=a(x-h)2+k的图象是由y=ax2的图象沿x轴向左或向右平移个单位，h为正向右，h为负向左；再沿直线x=h向上或向下平移个单位，k为正向上，k为负向下

4、得到的. () y=ax2+bx+c (a¹0)的图象和性质图 象a>0a<01.开口方向a>0，开口向上a<0，开口向下2.形状相同抛物线的形状大小相同. 越大, 开口越小; 越小, 开口越大.3.顶点坐标4.对称轴直线5.函数最值若a>0，当时，y有最小值是.若a<0，当时，y有最大值是.6.增减性若a>0，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.若a<0，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.7.与坐标轴的交点坐标与x轴交点坐标>0与x轴有两个公共点 (x1, 0)，(x2, 0)；=0与x轴有一个

5、公共点 (, 0)；<0与x轴没有公共点.与y轴交点坐标(0，c)8.与x轴两交点A,B间的距离9.五点法作图例、x011.523y-400.50-4() a、b、c的符号对抛物线形状位置的影响a确定开口方向和开口大小.a、b共同确定对称轴位置：a，b同号对称轴在y轴左侧；a，b异号对称轴在y轴右侧；b=0对称轴是y轴.c确定与y轴交点位置：c>0与y轴交点在y轴正半轴；c<0与y轴交点在y轴负半轴；c=0抛物线过原点.确定与x轴公共点个数：>0与x轴有两个公共点(x1, 0), (x2, 0)；=0与x轴有一个公共点(, 0)；<0与x轴没有公共点.特别地a+b

6、+c=0图象过点（1，0）； a-b+c=0图象过点（-1，0）例题1、已知二次函数的解析式是. （1）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；（2）当x为何值时，函数值y=0？（3）当-3<x<3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围.解：(1) 已知二次函数的解析式是=x-10123y0-3-4-30(2) 令，解得当x = -1或3时，函数值y =0(3) 观察图象知：-4y122、（2010株洲市）已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”下图分别是当，时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 . （）3、（2010湖北省咸宁市）

7、已知抛物线（0）过A（，0）、O（0，0）、B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是（ A ）A B C D不能确定4、（2010年杭州市）定义为函数的特征数, 下面给出特征数为2m，1 m , 1 m 的函数的一些结论： 当m = 3时，函数图象的顶点坐标是（，）； 当m > 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于； 当m < 0时，函数在x >时，y随x的增大而减小； 当m ¹ 0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有（ B ）A. B. C. D. 5、(2010湖北省荆门市)二次函数yax2bxc的图象如图所示，下列结论错误的是（ B ）A. ab0B

8、. ac0C. 当x2时，函数值随x增大而增大；当x2时，函数值随x增大而减小. -11D. 二次函数yax2bxc的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2bxc0的根.6、（2010玉溪市）如图是二次函数y=ax2+bx+c (a¹0)在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断 0；+0；2-0；2+8a4ac中，正确的是（填写序号） 、 Oxy7、（2010年天津市）已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：（ D ）； 其中，正确结论的个数是A. 1 B. 2 C. 3 D. 48、（2010毕节）函数在同一直角坐标系内的图象大致是( C ) xxxxx9、（2010年兰州）抛物线

9、y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ D ）10、（2010年崇文二模）矩形ABCD中，动点E从点C开始沿边CB向点以2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位：)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ A ）(三) 二次函数y=ax2+bx+c图象的平移、翻折、旋转1、平移：a不变. 要抓顶点的平移或其它关键点的平移，这是由于函数图象的平移是整体的平移，每个点都做相同的

10、变换，还可以引申到直线、双曲线的平移在解题时，一定分清移动谁，不妨画草图. 2、翻折：要抓顶点的变化及其它关键点的变化.结论：抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线解析式是y= -ax2-bx-c 抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线解析式是y= ax2-bx+c3、绕某一定点旋转180°：要抓顶点的变化，a取相反数. 结论：抛物线y=a(x-h)2+k绕顶点旋转180°后的解析式为y= -a(x-h)2+k例题1、观察右面二次函数yax2+bx+c的图象，回答下面的问题：（1）判断a，b，c和的符号并写出顶点坐标；（2）把抛物线向下平移6个单位，再向左平

11、移2个单位，求平移后抛物线的解析式；（3）把抛物线沿x轴翻折，求翻折后抛物线的解析式.2、（2010桂林）将抛物线绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ D ） A BC D3、将抛物线绕原点O旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ D ） A. B. C. D. 4、(2010遵义市)如图，两条抛物线、与分别经过点,且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ A ） A8 B6 C10 D45、（2010毕节）把抛物线y=x+bx+c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y= x-3x5，则（ A）Ab=3，c=7 Bb=6，c=3yxOC

12、b=9，c=5 Db=9，c=216、(2010台州市)如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4），抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为 -3，则点D的横坐标最大值为（ D ） A3 B1 C5 D8 7、（2010浙江温州）如图，抛物线y=ax2+bx经过点A(4，0)，B(2，2). 连结OB，AB. (1)求该抛物线的解析式； (2)求证：OAB是等腰直角三角形；(3)将OAB绕点O按顺时针方向旋转l35°得到OAB，写出OAB 的边AB的中点P的坐标试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由.8、(2009年北京)已知

13、关于的一元二次方程有实数根，为正整数（1）求的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.解：（1）由题意：=24-8k0 k3 为正整数k=1，2，3 （2）当k=1时，方程有一根为0； 当k=2时，方程无整数根； 当k=3时，方程有两个非0的整数根. k=1，k=2不合题意舍去，k=3 当k=3时，二次函数为， 把它的图象向下平移个单位得到的图象解析式

14、为 （3）设抛物线与x轴交于A、B两点，则A（-3，0），B（1，0） 依题意翻折后的图象如图所示. 当直线(b<k)经过点A时，可得 当直线(b<k)经过点B时，可得 由图象可知b的取值范围是9、（2010年镇江市）已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点. （1）求C1的顶点坐标； （2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（-3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标； （3）若的取值范围.解：（1）轴有且只有一个公共点，顶点的纵坐标为0. C1的顶点坐标为（-1，0） （2）设C2的函数关系式为把A（-3，0）代入上

15、式得C2的函数关系式为抛物线的对称轴为轴的一个交点为A（-3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）. （3）当的增大而增大，当 (四) 确定二次函数解析式一般式：y=ax2+bx+c (a¹0)顶点式：y=a(x-h)2+k (a¹0)双根式：y=a(x-x1)( x-x2) (a¹0) 其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标确定抛物线的解析式一般需要两个或三个独立条件，灵活的选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键.例题1、（2007天津市）已知一抛物线与x轴的交点是，B（1，0），且经过点C（2，8）.（1）求该抛物线的解

16、析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.答案：（1）；（2）注：抛物线与x轴两交点的不同说法应给学生作变式练习.2、（2007上海市）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.解：（1） （2）令，得，解方程，得， 二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为注：抛物线顶点的不同说法应给学生作变式练习.3、（2007广东梅州）已知二次函数图象的顶点是，且过点（1）求二次函数的表

17、达式；（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上.解：（1） （2）证明：若点在此二次函数的图象上，则 得 =，该方程无实根 所以原结论成立4、（2010年天津市）已知二次函数()中自变量和函数值的部分对应值如下表：010则该二次函数的解析式为 （）(五) 二次函数与一元二次方程方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答.二次函数，令y=0，则得，这是一

18、个关于x的一元二次方程，它们的联系表现在：方程实根的个数、抛物线与x轴交点的个数的讨论都可转化为由根的判别式来讨论. yxO13 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，重要的是求解的思路，包括解的范围、解的精确度以及如何达到所要求的精确度等同时利用图象法求解，还可以使学生进一步理解一元二次方程和二次函数之间的关系例题1、已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 .（，）2、二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根；（2）写出不等式的解集；（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围；（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.解：（1）， （

19、2）（3） （4）3、函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c-2=0的根的情况是（ A ）A有两个不相等的实数根 B有两个异号的实数根C有两个相等的实数根 D没有实数根4、（2010年朝阳二模）已知二次函数y1=x2-x-2和一次函数y2=x+1的两个交点分别为A(-1，0)，B(3，4)，当y1y2时，自变量x的取值范围是（ A ）Ax-1或x3 B-1x3 Cx-1 Dx35、下列表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）的一个解x的范围（ C ）x6.176.186.196.20

20、y=ax2+bx+c-0.03-0.010.020.04A. 6<x<6.17 B. 6.17<x<6.18 C. 6.18<x<6.19 D. 6.19<x<6.206、已知抛物线 （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式解：（1）依题意，得， ，抛物线的顶点坐标为（2）抛物线与轴交于整数点，的根是整数，是整数是完全平方数， 取1，4，9，当时，； 当时，； 当时， 的值为2或或抛物线的解析式为或或(六) 实际问题与二次函数1、建立平面直角坐标系，求二次函数解析式，解决实际问题. 一般步骤：(1)建立适当

21、的平面直角坐标系，注意建立坐标系时以方便为原则；(2)设恰当的解析式；(3)求解析式，注意点在各象限中的符号；(4)根据解析式解决实际问题.篮圈出手处最高点例题、一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. 若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？(4, 3.05)出手处(2.5, 3.5)分析：由于篮球运行的路线是抛物线，可建立适当的直角坐标系，并把相关的数椐写成点的坐标，再利用点的坐标及待定系数法求出运行路线的

22、解析式.最后算出跳离地面的高度.解：如图建立直角坐标系.点(2.5，3.5)是这段抛物线的顶点设解析式为：（0x4）抛物线过点（4，3.05） a= -0.2（0x4）即当x=0时，y=2.25距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2米xy3.5(1.5, 3.05)-2.5O法二：如图建立直角坐标系.点(0，3.5)是这段抛物线的顶点设解析式为：（-2.5x1.5）抛物线过点（1.5，3.05） a= -0.2（-2.5x1.5）当x= -2.5时，y=2.25距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2米2、最值问题(1) 二次函数的最值应用主要体现在以下方面：解决实际问题中的最值

23、问题；探讨几何图形中相关元素的最值.(2) 利用二次函数求最值问题的一般步骤：列出函数解析式；求自变量x的取值范围；求的值；判断的值是否在x的取值范围中：若在，； 若不在，利用图象在端点处找最值或利用增减性找最值.例题1、如图，用18米长的木方做一个有一条横档的矩形窗子，窗子的宽不能超过2米. 为使透进的光线最多，则窗子的长、宽应各为多少米？解：设窗子的宽为x m，透光面积y m2. （0x2） 不符合0x2 由函数图象可知：当x=2时，y最大=12 当宽为2 m，长为6 m时，透进的光最多.注：利用图象在端点处找最值.4003006070y(件)x(元)2、某服装公司试销一种成本为每件50元

24、的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）（1）求与之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？（总利润总销售额总成本）解：（1）设，函数图象经过点（60，400）和（70，300） 解得（2）（50x70），0函数图象开口向下，对称轴是直线x=7550x70，此时y随x的增大而增大当x=70时，注：利用增减性找最值.(七) 二次函数综合题 解二次函数综合题特别是解与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而

25、求出函数解析式是解题的基础. 而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键.例题1、已知抛物线与x轴交于两点A（x1, 0），B（x2, 0）（x1x2），顶点为C.(1) 若ABC为直角三角形，求k的值；(2) 若ABC为等边三角形，求k的值. 解：(1) 作CDAB于D，则AD=DBABC为直角三角形AD=CD， 0 =4 = -4k+1 -4k+1=4 (2) 同理ABC为等边三角形CD=AD， 0 =12 = -4k+1 -4k+1=12小结：已知抛物线与x轴交于A（x1, 0），B（x2, 0）（x1x2）两点，顶点为C. (1) ABC为直角三角形； (2) ABC为等边三角形2、（2010安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（-3，1）、C（-3，0）、O（0，0）将此矩形沿着过E（-，1）、F（- ，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B、C.（1）求折痕所在直线EF的解析式；（2）一抛物线经过B、E、B三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线