202X学年高中数学第二章几个重要的不等式2.3数学归纳法与贝努利不等式2.3.2数学归纳法的应用课件北师大版选修4_5

1、3 3.2 2数学归纳法的应用1.进一步掌握利用数学归纳法证明不等式的方法和技巧.2.了解贝努利不等式,并能利用它证明简单的不等式.1.用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式运用数学归纳法证明不等式的两个步骤实际上是分别证明两个运用数学归纳法证明不等式的两个步骤实际上是分别证明两个不等式不等式.尤其是第二步尤其是第二步:一方面需要我们充分利用归纳假设提供的一方面需要我们充分利用归纳假设提供的“便利便利,另一方面还需要结合运用比较法、综合法、分析法、反另一方面还需要结合运用比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法等其他不等式的证明方法证法和放缩法等其他不等式的证明方法.名师点拨从名师点拨从“

2、n=k到到“n=k+1的方法与技巧的方法与技巧:在用数学归纳法证明不等式的问题中在用数学归纳法证明不等式的问题中,从从“n=k到到“n=k+1的的过渡过渡,利用归纳假设是比较困难的一步利用归纳假设是比较困难的一步,它不像用数学归纳法证明它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样恒等式问题一样,只需拼凑出所需要的构造来只需拼凑出所需要的构造来,而证明不等式的第而证明不等式的第二步中二步中,从从“n=k到到“n=k+1,只用拼凑的方法只用拼凑的方法,有时也行不通有时也行不通,因因为对不等式来说为对不等式来说,它还涉及它还涉及“放缩的问题放缩的问题,它可能需要通过它可能需要通过“放大放大或或“缩小的过程缩

3、小的过程,才能利用上归纳假设才能利用上归纳假设,因此因此,我们可以利用我们可以利用“比比较法较法“综合法综合法“分析法等来分析从分析法等来分析从“n=k到到“n=k+1的变的变化化,从中找到从中找到“放缩尺度放缩尺度,准确地拼凑出所需要的构造准确地拼凑出所需要的构造.【做一做1-1】 设f(k)是定义在正整数集上的函数,且f(k)满足:“当f(k)k2成立时,总可推出f(k+1)(k+1)2成立.那么以下命题总成立的是()A.假设f(3)9成立,那么当k1时,均有f(k)k2成立B.假设f(5)25成立,那么当k5时,均有f(k)k2成立C.假设f(7)49成立,那么当k8时,均有f(k)42

4、,对于任意的k4,总有f(k)k2成立.答案:D2.贝努利不等式对任何实数x-1和任何正整数n,有(1+x)n1+nx.【做一做2】 设nN+,求证:3n2n.分析:利用贝努利不等式来证明.证明:3n=(1+2)n,根据贝努利不等式,有(1+2)n1+n2=1+2n.上式右边舍去1,得(1+2)n2n.3n2n成立.题型一题型二题型三题型一 用数学归纳法证明不等式 分析:利用数学归纳法证明. 题型一题型二题型三反思在利用数学归纳法证明不等式时,要注意对式子的变形,通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的方法,得出要证明的目标不等式.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型二 利用贝努利不等式证

5、明不等式 分析:用求商比较法证明an+14ab2ab+6a2b2=14a2b2=224,g(24)=44-25=224,有f(4)g(24).由此猜测当1n2(nN+)时,f(n)=g(2n).当n3(nN+)时,f(n)g(2n).下面用数学归纳法证明.(1)当n=3时,由上述计算知猜测成立;题型一题型二题型三(2)假设当n=k(k3,kN+)时,猜测成立,那么f(k)g(2k),即(a+b)k-ak-bk4k-2k+1,那么当n=k+1时,f(k+1)=(a+b)k+1-ak+1-bk+1=(a+b)(a+b)k-aak-bbk=(a+b)(a+b)k-ak-bk+akb+abk,反思利用数学归纳法解决探索型不等式问题的思路是:先通过观察、判断、猜测得出结论,然后用数学归纳法证明结论.题型一题型二题型三题型一题型二题型三12345答