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文档简介
1、四点共圆的性质、判定及应用(一)柳州市龙城中学 谭兵一、四点共圆的概念:如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”。DABC二、四点共圆的性质:D(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;(2)圆内接四边形的对角互补;(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。三、四点共圆的判定方法:判定方法1:四点到某一定点的距离都相等 四点共圆判定方法2:从被证的四点中先选出三点作一圆,若另一点也在这个圆上 四点共圆判定方法3:若凸四边形的对角互补 四个顶点共圆判定方法4:若凸四边形的一个外角等于其邻补角的内对角 四个顶点共圆EDABCDABCABCDDCB
2、ADABCEDCBA判定方法5:共斜边的两个直角三角形 四个顶点共圆,且斜边为直径判定方法6:共底边的两个三角形顶角相等,且在底边的同侧 四个顶点共圆判定方法7:(相交弦定理的逆定理)凸四边形ABCD的对角线AC、BD交于P,若PD×BP=PC×AP 四个顶点共圆ABCD判定方法8:(割线定理的逆定理)若凸四边形ABCD其边的延长线AB、CD交于P,PD×PC=PB×PA 四个顶点共圆二、托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和 若四边形ABCD内接于圆 BD×AC = BC×AD + CD×
3、;AB托勒密定理的逆定理:如果凸四边形两组对边的积的和,等于两对角线的积此四边形必内接于圆。若BD×AC = BC×AD + CD×AB 四边形ABCD内接于圆3已知:如图所示,四边形ABCD内接于圆,CEBD交AB的延长线于EABCDE求证:AD · BEBC · DC6如图,已知在ABC中,ABAC,BD平分B,ABD的外接圆和BC交于E求证:ADEC性质1如图,在ABC中,ADBC,DEAB,DFAC求证:B、E、F、C四点共圆判定*5正方形ABCD的中心为O,面积为1989 cm2P为正方形内一点,且OPB45°,PAPB51
4、4求PB判定ABCD7已知:梯形 ABCD中,ADBC,ABCD求证:BD2BC2AB · CD托勒密定理9在ABC中,A的内角平分线AD交外接圆于D连结BD,CD求证:AD · BCBD · (AB + AC)ABCD托勒密*8如图,以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为O,连结AO,如果AB4,AO,求AC的长.*10如图,AD、BC为过圆的直径AB两端点的弦,且BD与AC相交于E。求证:AC · AE + BD · BEAB211如图,ABC内接于圆,P为上一点,PDAB于D,PEBC于E,PFAC于
5、F。求证:D、E、F三点共线。12已知:AOB中,ABOB2,COD中,CDOC3,ABODCO连接AD、BC,点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点(1)如图1,若A、O、C三点在同一直线上,且ABO60°,则PMN的形状是_,此时=_;(2)如图2,若A、O、C三点在同一直线上,且ABO2,证明PMNBAO,并计算的值(用含的式子表示);(3)在图2中,固定AOB,将COD绕点O旋转,直接写出PM的最大值例1、锐角的三条高、交于,在、七个点中能组成四点共圆的组数是() A、组 B、组 C、组 D、组 例2、如图,、四点在同一圆上,的延长线与的延长线交于点,且。(1)证明:;(2
6、)延长到,延长到,使得,证明:、四点共圆.例3、如图,在梯形中,点,分别在边,上,设与相交于点,若,四点共圆,求证:例4、在圆内接等腰三角形的底边上任取二点、,延长、分别交圆于、,求证:.例5、如图,分别是,边上的点,且不与顶点重合,已知,为方程的两根. (1)证明:,四点共圆;(2)若,求,四点所在圆的半径例6、如图,为圆的直径,为垂直于的一条弦,垂足为,弦与交于点(1)证明:、四点共圆;(2)证明:例7、如图,在平行四边形中,为钝角,且,(1)求证:、四点共圆;(2)设线段与(1)中的圆交于、求证:例8、如图所示,为的内心,求证:的外心与、四点共圆.例9、三点共线,点在直线外,分别为,的外
7、心求证:,四点共圆.例10、如图,在中,分别是,的角平分线,是与的交点,若,四点共圆,则的内切圆半径为多少?例11、如图,点是外接圆弧的中点,点、在边上,使得,。证明:、四点共圆.例12、如图, (1)求证:、四点共圆; (2)若,求线段的长 例13、在的边,上分别取,使得,又点是的外心(1)证明:,四点共圆;(2)证明:在的平分线上例14、如图,为外接圆的切线,的延长线交直线于点,、分别为弦与弦上的点,且,、四点共圆(1)证明:是外接圆的直径;(2)若,求过、的圆的面积与外接圆面积的比值例15、如图,锐角的内心为,过点作直线的垂线,垂足为,点为内切圆与边的切点(1)求证:,四点共圆;(2)若
8、,求的度数例16、如图,在正中,点,分别在边、上,且, ,相交于点,求证:(1),四点共圆;(2)【强化训练】1、 如图,是的直径,弦,的延长线相交于点,垂直的延长线于点求证:(1);(2),四点共圆2、如图,已知是的切线,为切点,是的割线,与交于,两点,圆心在的内部,点是的中点(1)证明,四点共圆;(2)求的大小3、如图,已知为半圆的直径,、分别为半圆的切线,切点分别为、,的延长线交于,的延长线交于,为垂足(1)求证:、四点共圆;(2)求证:4、如图,已知中的两条角平分线和相交于,在上,且(1)证明:,四点共圆; (2)证明:平分5、如图,已知是的直径,是的切线,割线、分别交于、,连接、 求
9、证:6、如图,与相交于、两点,圆心在上,的弦切于点,及其延长线交于,两点,过点作,交的延长线于点(1)求证:、四点共圆;(2)若,求出由四点、所确定圆的直径7、如图所示,已知切圆于,割线交圆于、,于,与的延长线相交于点,连接并延长交圆于点,连接(1)求证:,四点共圆;(2)当,时,求圆的半径8、如图,是直角三角形,以为直径的圆交于点点是边的中点,连交圆于点(1)求证:,四点共圆;(2)求证:.9、如图所示,在中,点为三角形外的一点,以为圆心,为半径的圆与边相切,切点为,圆与边相交于点,直径与边交于点,连接求证:10、如图,在中,是直角,是线段上一点,以为直径的半圆交于,连接交半圆于点,延长交于
10、(1)求证、四点共圆; (2)若 ,求 的值11、如图所示,是的直径,为延长线上的一点,是的割线,过点作的垂线,交的延长线于点,交AD的延长线于点,过作的切线,切点为求证:(1),四点共圆;(2)12、如图,已知与相切于点,为的割线,弦,与相交于点,为上一点,且。(1)求证:、四点共圆。(2)若,求的长13、如图,由外一点引的切线、,过引割线交于、。与交于。求证:.14、如图,、是的三条高,是垂心,求证:.【典例精讲】例1、在的、边上各任取一点、,过、作圆与过、作圆相交于另一点,求证:、四点共圆。例2、在平行四边形的对角线上任取一点,过作、的公垂线,作、的公垂线,、分别为垂足,求证:。例3、如
11、图所示,在中,任意延长到,再延长到,使,求证:的外心与点、四点共圆。例4、给出锐角,以为直径的圆与边的高及其延长线交于,以为直径的圆与边的高及其延长线将于,求证:,四点共圆。(第19届美国数学奥林匹克)例5、如图,从圆外一点作圆两条切线,切点分别为,与交于点,设为过点且不过圆心的一条弦,求证:,四点共圆。例6、内接于圆,引直径,过点引切线交的延长线于,连结交、于、,求证:。【强化训练】1、在中,平分交于,如图,垂直,垂足为,垂直,为垂足是中点,是中点若的外接圆与的另一个交点为,求证:、四点共圆 2、如图,是的内切圆,与切于点,与切于点,与交于点,与交于点,点是的中点(1)求证:、四点共圆;(2
12、)若,求证:是等边三角形 3、线段和圆交于、两点,且,由、分别在的两侧引圆的切线、,、为切点,求证:平分4、过的垂心与两顶点、的圆与、分别交于、,求证:。5、为的三条高的垂足三角形,为的外心,求证:。6、在平行四边形内取一点,若,求证:。【典例精讲】例1、三角形的内切圆,切、于、两点,延长和交于,求证:。例2、设为圆的弦的中点,过作弦、,连结、交于点、,求证:。例3、如图,四边形内接于一圆,的内心是,的内心是,的内心是 求证:(1)、四点共圆; (2)。例4、如图,为两个同心圆的圆心,自圆外一点引大圆的切线,其切点为,又自引小圆的切线、,求证:平分。例5、设内接于圆,弦分别交、边于点、,且,求
13、证:、四点共圆。例6、如图,在圆的直径的延长线上取一点,由引割线,并引的垂线,与、延长线的交点分别为、,求证:、四点共圆。例7、设是等腰直角三角形底边的中点,过、两点(但不过点)任作一圆交直线于点,连结交此圆于点,求证:垂直。例8、(1)如图1, 中,点,分别在线段,上运动(不与端点重合),而且,是的外心,试证明,四点共圆(2)如果将图1中的点“分离”成两个点,那么就有:如图2所示,在凸四边形中,点, 分别在线段,上运动(不与端点重合),而且,直线,相交于点,直线,相交于点,直线,相交于点当点,分别在线段,上运动(不与端点重合)时,探究的外接圆是否经过除点外的另一个定点?如果是,请给出证明,并
14、指出是哪个定点;如果不是,请说明理由 例9、两两外切,是与的切点,、分别是、与的切点,连心线交于点,交于点。求证:、四点共圆。【强化训练】1、在梯形中,分别是腰、上的点,求证:。2、如图,的内切圆分别切、于点、,是的中点,、的平分线分别与直线交于点、,证明:。3、已知是平行四边形,于,中垂线交于点,交于点,中点为。求证:。4、由圆周上任一点引弦的垂线,垂足为,再由点引过、两点的切线的垂线,垂足分别为、,求证:。5、从圆心作圆外任意直线的垂线,垂足为,从引割线交圆于、两点,过、的两切线与分别交于、两点,求证:。6、如图,在等腰三角形中,为底边上任意一点,过点作两腰的平行线分别与、相交于、两点,又点是点关于直线的对称点,求证:点在三角形的外接圆上。7、如图,它们之间的距离等于;,它们之间的距离等于;,它们之间的距离等于,求证:、六点共圆。8、已知是圆内接四边形,过点作、的垂线,垂足分别为点、,求证:平分。9、如图,在的两边,上分别取点,使得.求证:.10、如图所示,在梯形中,且,求的长11、在锐角三角形中, 不等于,是高,是上一点,连结并延长交于点,连结并延长交于点,已知、四点共圆,问:是否一定是三角形的垂心?证明你的结论。12、的重心关于边的对称点是,证明:、四点共圆的充分条件是13、为圆的
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