四点共圆的性质与判定

1、四点共圆的性质、判定及应用（一）柳州市龙城中学 谭兵一、四点共圆的概念：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。DABC二、四点共圆的性质：D（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。三、四点共圆的判定方法：判定方法1：四点到某一定点的距离都相等 四点共圆判定方法2：从被证的四点中先选出三点作一圆，若另一点也在这个圆上 四点共圆判定方法3：若凸四边形的对角互补 四个顶点共圆判定方法4：若凸四边形的一个外角等于其邻补角的内对角 四个顶点共圆EDABCDABCABCDDCB

2、ADABCEDCBA判定方法5：共斜边的两个直角三角形 四个顶点共圆，且斜边为直径判定方法6：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧 四个顶点共圆判定方法7：（相交弦定理的逆定理）凸四边形ABCD的对角线AC、BD交于P，若PD×BP=PC×AP 四个顶点共圆ABCD判定方法8：（割线定理的逆定理）若凸四边形ABCD其边的延长线AB、CD交于P，PD×PC=PB×PA 四个顶点共圆二、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和 若四边形ABCD内接于圆 BD×AC = BC×AD + CD×

3、;AB托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积此四边形必内接于圆。若BD×AC = BC×AD + CD×AB 四边形ABCD内接于圆3已知：如图所示，四边形ABCD内接于圆，CEBD交AB的延长线于EABCDE求证：AD · BEBC · DC6如图，已知在ABC中，ABAC，BD平分B，ABD的外接圆和BC交于E求证：ADEC性质1如图，在ABC中，ADBC，DEAB，DFAC求证：B、E、F、C四点共圆判定*5正方形ABCD的中心为O，面积为1989 cm2P为正方形内一点，且OPB45°，PAPB51

4、4求PB判定ABCD7已知：梯形 ABCD中，ADBC，ABCD求证：BD2BC2AB · CD托勒密定理9在ABC中，A的内角平分线AD交外接圆于D连结BD,CD求证：AD · BCBD · (AB + AC)ABCD托勒密*8如图，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB4，AO，求AC的长.*10如图，AD、BC为过圆的直径AB两端点的弦，且BD与AC相交于E。求证：AC · AE + BD · BEAB211如图，ABC内接于圆，P为上一点，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于

5、F。求证：D、E、F三点共线。12已知：AOB中，ABOB2，COD中，CDOC3，ABODCO连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点(1)如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且ABO60°，则PMN的形状是_，此时=_；(2)如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且ABO2，证明PMNBAO，并计算的值（用含的式子表示）；(3)在图2中，固定AOB，将COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值例1、锐角的三条高、交于，在、七个点中能组成四点共圆的组数是（） A、组 B、组 C、组 D、组 例2、如图，、四点在同一圆上，的延长线与的延长线交于点，且。（1）证明：；（2

6、）延长到，延长到，使得，证明：、四点共圆.例3、如图，在梯形中，点，分别在边，上，设与相交于点，若，四点共圆，求证：例4、在圆内接等腰三角形的底边上任取二点、，延长、分别交圆于、，求证：.例5、如图，分别是，边上的点，且不与顶点重合，已知，为方程的两根. （1）证明：，四点共圆；（2）若，求，四点所在圆的半径例6、如图，为圆的直径，为垂直于的一条弦，垂足为，弦与交于点（1）证明：、四点共圆；（2）证明：例7、如图，在平行四边形中，为钝角，且，（1）求证：、四点共圆；（2）设线段与（1）中的圆交于、求证：例8、如图所示，为的内心，求证：的外心与、四点共圆.例9、三点共线，点在直线外，分别为，的外

7、心求证：，四点共圆.例10、如图，在中，分别是，的角平分线，是与的交点，若，四点共圆，则的内切圆半径为多少？例11、如图，点是外接圆弧的中点，点、在边上，使得，。证明：、四点共圆.例12、如图， （1）求证：、四点共圆； （2）若，求线段的长 例13、在的边，上分别取，使得，又点是的外心（1）证明：，四点共圆；（2）证明：在的平分线上例14、如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点，、分别为弦与弦上的点，且，、四点共圆（1）证明：是外接圆的直径；（2）若，求过、的圆的面积与外接圆面积的比值例15、如图，锐角的内心为，过点作直线的垂线，垂足为，点为内切圆与边的切点（1）求证：，四点共圆；（2）若

8、，求的度数例16、如图，在正中，点，分别在边、上，且， ，相交于点，求证：（1），四点共圆；（2）【强化训练】1、 如图，是的直径，弦，的延长线相交于点，垂直的延长线于点求证：（1）；（2），四点共圆2、如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于，两点，圆心在的内部，点是的中点（1）证明，四点共圆；（2）求的大小3、如图，已知为半圆的直径，、分别为半圆的切线，切点分别为、，的延长线交于，的延长线交于，为垂足（1）求证：、四点共圆；（2）求证：4、如图，已知中的两条角平分线和相交于，在上，且（1）证明：，四点共圆； （2）证明：平分5、如图，已知是的直径，是的切线，割线、分别交于、，连接、 求

9、证：6、如图，与相交于、两点，圆心在上，的弦切于点，及其延长线交于，两点，过点作，交的延长线于点（1）求证：、四点共圆；（2）若，求出由四点、所确定圆的直径7、如图所示，已知切圆于，割线交圆于、，于，与的延长线相交于点，连接并延长交圆于点，连接（1）求证：，四点共圆；（2）当，时，求圆的半径8、如图，是直角三角形，以为直径的圆交于点点是边的中点，连交圆于点（1）求证：，四点共圆；（2）求证：.9、如图所示，在中，点为三角形外的一点，以为圆心，为半径的圆与边相切，切点为，圆与边相交于点，直径与边交于点，连接求证：10、如图，在中，是直角，是线段上一点，以为直径的半圆交于，连接交半圆于点，延长交于

10、（1）求证、四点共圆； （2）若 ，求 的值11、如图所示，是的直径，为延长线上的一点，是的割线，过点作的垂线，交的延长线于点，交AD的延长线于点，过作的切线，切点为求证：（1），四点共圆；（2）12、如图，已知与相切于点，为的割线，弦，与相交于点，为上一点，且。（1）求证：、四点共圆。（2）若，求的长13、如图，由外一点引的切线、，过引割线交于、。与交于。求证：.14、如图，、是的三条高，是垂心，求证：.【典例精讲】例1、在的、边上各任取一点、，过、作圆与过、作圆相交于另一点，求证：、四点共圆。例2、在平行四边形的对角线上任取一点，过作、的公垂线，作、的公垂线，、分别为垂足，求证：。例3、如

11、图所示，在中，任意延长到，再延长到，使，求证：的外心与点、四点共圆。例4、给出锐角，以为直径的圆与边的高及其延长线交于，以为直径的圆与边的高及其延长线将于，求证：，四点共圆。（第19届美国数学奥林匹克）例5、如图，从圆外一点作圆两条切线，切点分别为，与交于点，设为过点且不过圆心的一条弦，求证：，四点共圆。例6、内接于圆，引直径，过点引切线交的延长线于，连结交、于、，求证：。【强化训练】1、在中，平分交于，如图，垂直，垂足为，垂直，为垂足是中点，是中点若的外接圆与的另一个交点为，求证：、四点共圆 2、如图，是的内切圆，与切于点，与切于点，与交于点，与交于点，点是的中点（1）求证：、四点共圆；（2

12、）若，求证：是等边三角形 3、线段和圆交于、两点，且，由、分别在的两侧引圆的切线、，、为切点，求证：平分4、过的垂心与两顶点、的圆与、分别交于、，求证：。5、为的三条高的垂足三角形，为的外心，求证：。6、在平行四边形内取一点，若，求证：。【典例精讲】例1、三角形的内切圆，切、于、两点，延长和交于，求证：。例2、设为圆的弦的中点，过作弦、，连结、交于点、，求证：。例3、如图，四边形内接于一圆，的内心是，的内心是，的内心是 求证：（1）、四点共圆； （2）。例4、如图，为两个同心圆的圆心，自圆外一点引大圆的切线，其切点为，又自引小圆的切线、，求证：平分。例5、设内接于圆，弦分别交、边于点、，且，求

13、证：、四点共圆。例6、如图，在圆的直径的延长线上取一点，由引割线，并引的垂线，与、延长线的交点分别为、，求证：、四点共圆。例7、设是等腰直角三角形底边的中点，过、两点（但不过点）任作一圆交直线于点，连结交此圆于点，求证：垂直。例8、（1）如图1， 中，点，分别在线段，上运动（不与端点重合），而且，是的外心，试证明，四点共圆（2）如果将图1中的点“分离”成两个点，那么就有：如图2所示，在凸四边形中，点， 分别在线段，上运动（不与端点重合），而且，直线，相交于点，直线，相交于点，直线，相交于点当点，分别在线段，上运动（不与端点重合）时，探究的外接圆是否经过除点外的另一个定点？如果是，请给出证明，并

14、指出是哪个定点；如果不是，请说明理由 例9、两两外切，是与的切点，、分别是、与的切点，连心线交于点，交于点。求证：、四点共圆。【强化训练】1、在梯形中，分别是腰、上的点，求证：。2、如图，的内切圆分别切、于点、，是的中点，、的平分线分别与直线交于点、，证明：。3、已知是平行四边形，于，中垂线交于点，交于点，中点为。求证：。4、由圆周上任一点引弦的垂线，垂足为，再由点引过、两点的切线的垂线，垂足分别为、，求证：。5、从圆心作圆外任意直线的垂线，垂足为，从引割线交圆于、两点，过、的两切线与分别交于、两点，求证：。6、如图，在等腰三角形中，为底边上任意一点，过点作两腰的平行线分别与、相交于、两点，又点是点关于直线的对称点，求证：点在三角形的外接圆上。7、如图，它们之间的距离等于；，它们之间的距离等于；，它们之间的距离等于，求证：、六点共圆。8、已知是圆内接四边形，过点作、的垂线，垂足分别为点、，求证：平分。9、如图，在的两边，上分别取点，使得.求证：.10、如图所示，在梯形中，且，求的长11、在锐角三角形中， 不等于，是高，是上一点，连结并延长交于点，连结并延长交于点，已知、四点共圆，问：是否一定是三角形的垂心？证明你的结论。12、的重心关于边的对称点是，证明：、四点共圆的充分条件是13、为圆的