数列中的奇数项和偶数项问题

1、1设数列an的首项a1=a，且, 记，nl，2，3，·（I）求a2，a3；（II）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；解：（I）a2a1+=a+，a3=a2=a+；（II） a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,所以b1=a1=a, b2=a3=(a), b3=a5=(a),猜想：bn是公比为的等比数列· 证明如下： 因为bn+1a2n+1=a2n=(a2n1)=bn, (nN*) 所以bn是首项为a, 公比为的等比数列·2 在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.（）证明成等比数列；（）求数列的通项公式；（I）证明：由题设可知，。从而

2、，所以，成等比数列。（II）解：由题设可得所以 .由，得 ，从而.所以数列的通项公式为或写为，。设为数列的前项和，其中是常数 （I） 求及； （II）若对于任意的，成等比数列，求的值解析：（）当， （） 经验，（）式成立， （）成等比数列，即，整理得：，对任意的成立， （2009北京文）（本小题共13分）设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（）若，求；（）若，求数列的前2m项和公式；（）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论

3、等数学思想方法本题是数列与不等式综合的较难层次题.（）由题意，得，解，得. . 成立的所有n中的最小整数为7，即. （）由题意，得，对于正整数，由，得.根据的定义可知当时，；当时，. .（）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有，即对任意的正整数m都成立. 当（或）时，得（或）， 这与上述结论矛盾！ 当，即时，得，解得. 存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，. . 已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.（）对任意实数，证明数列不是等比数列；（）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有

4、?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）（）证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有a22=a1a3,即矛盾.所以an不是等比数列.()解：因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n·（an-3n+21）=-bn又b1x-(+18),所以当18，bn=0(nN+),此时bn不是等比数列：当18时，b1=(+18) 0,由上可知bn0，(nN+).故当-18时，数列bn是以（18）为首项，为

5、公比的等比数列.()由（）知，当=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.-18，故知bn= -（+18）·（）n-1，于是可得Sn=-要使a<Sn<b对任意正整数n成立，即a<-(+18)·1（）nb(nN+) 当n为正奇数时，1<f(n)f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,于是，由式得a<-(+18),<当a<b3a时，由b-18=-3a-18，不存在实数满足题目要求；当b>3a存在实数，使得对任意正整数n,都有a<Sn<b,且的取值范围是（b-18,-3a-18）.设数列的前项和

6、为，对任意的正整数，都有成立，记。 （I）求数列与数列的通项公式；（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；（I）当时， 又数列是首项为，公比为的等比数列， 3分（II）不存在正整数，使得成立。证明：由（I）知 当n为偶数时，设 当n为奇数时，设对于一切的正整数n，都有 不存在正整数，使得成立。 8分 数列 ()求并求数列的通项公式； ()设证明：当 解: ()因为所以 一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为()由()知， -得， 所以 要证明当时，

7、成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n6时，.即当n6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，设是数列（）的前项和，且，（I）证明：数列（）是常数数列；（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项20解：（I）当时，由已知得因为，所以 于是 由得：于是由得：即数列（）是常数数列（II）由有，所以由有，所以，而表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列所以，由题设知，当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，从而是数列中的第项等差数列的前项和为（）求数列的通项与前项和；（）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的