数列培优专题

1、数列培优专题一通项的求法（1）利用等差等比的通项公式(2)累加法：例1已知数列满足，求。（3）构造等差或等比 或例2已知数列满足求数列的通项公式；例3已知数列中，,，求.练习:已知数列满足，且。（1）求；（2）求数列的通项公式。（4） 利用例4.设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：（5）累积法 转化为，逐商相乘.例5.已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项 （6）倒数变形：,两边取倒数后换元转化为。例6：已知数列an满足：，求数列an的通项公式。练习：已知数列an满足：a1，且an求数列an的通项公式；（7）递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先

2、把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例7. 已知数列中，,，求。（8）形式递推： 例8.已知数列各项都是正数，且满足：，求数列的通项公式(9) 分式线性递推数列（）其特征方程为，即，1、若方程有两相异根、，则成等比数列，其公比为；2、若方程有两等根，则成等差数列，其公差为.例9.若则称为的不动点，函数（I）求的不动点（II）数列满足，求数列的通项公式

3、练习.已知数列满足，则=（ ）A0BCD三数列求和1、等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：3、错位相减法求和 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例10.求数列前n项的和.4、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个10.5、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例11 求数列的前n项和：，6、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新

4、组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）（1）为等差数列，（2）例12 求数列的前n项和.例13等比数列的各项均为正数，且（1）求数列的通项公式.(2)设 求数列的前项和.练习1.设函数，是公差不为0的等差数列，则（ ）A、0 B、7 C、14 D、212.已知数列的通项公式，则的最大项是（ ）ABCD3. 记为不超过实数的最大整数，例如，。设为正整数，数列满足，现有下列命题：当时，数列的前3项依次为5,3,2；对数列都存在正整数，当时总有；当时，；对某个正整数，若，则。其中的真命题有_。（写出所有真命题的编号） ？4.对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的

5、上述表示中，当，a2，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.中国教#*育&出版网（1）b2+b4+b6+b8=_；（2）记cm为数列bn中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是_.5.n2(n4)个正数排成n行n列a11 a12 a13 a14 a1na21 a22 a23 a24 a2na31 a32 a33 a34 a3na41 a42 a43 a44 a4n an1 an2 an3 an4 ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24=1,a42=，a43=,求a11+a22+a33+ann=6.数列的各项为正数,其前n项和满足,则=_.7.对于项数为的有穷数列，记（），即为中的最大值，并称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的（2）设是的控制数列，