高三数学试题

1、682，一+- -2xy-J1y a主0何成立, xx一.填空题：1.假设某10张奖券中有1张，奖品价值100元，有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6 张没有奖.现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值不少于其数学期望E七的概率ByOAC6.已知O是MBC外接圆的圆心，A,B,C为MBC的内角,若空殂AB+cosC，AC=2m AO,sin C sin Bm的值为答A. 1 B. sin A C. cosA D. tanA7 .已知点列An (an,bn、n w N" )均为函数y = ax(a >0,a #1)的图像上，点列Bn(n,0)满足AnBn|=ABnJ,

2、若数列>中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为(x、y正半轴于点A、B, AAOB被圆分成四8 .过圆C:(x1)2十(y -1)2 =1的圆心，作直线分别交AB有x部分(如图)，若这四部分图形面积满足 $广$¥=吊+ 5I,则直线(A) 0 条 (B) 1 条(C) 2 条(D) 3 条三.解答题：229 .已知直线y=2x是双曲线C:xy-%=1的一条渐近线，点a bA(1,0 )M (m, n)(n =0)都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P,设坐标原点为O.(1)设点M关于y轴相交的对称点为N,直线AN与y轴相交于点Q,问：在x轴上是否存在 定点T,使得

3、TP_LTQ?若存在，求出点T的坐标;若不存在，请说明理由.(2)若过点D(0,2州直线l与双曲线C交于R,S两点，且OR + oS=|rS1,试求直线l的方程.2T10 .已知双曲线C: -y2 =1,设过点A(Y400)的直线l的方向向量为e=(1,k).2(1)当直线l与双色线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；证明：当kA拳时，在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为娓.11 .已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数k,对定义域中的任意x,等k式 f (kx)= - + f (x)恒成立. 2(1)判断一次函数f(x)=ax+ b(aw

4、0)是否属于集合 M;(2)证明函数f(x) = log?x属于集合M,并找出一个常数k;(3)已知函数f (x) = loga x ( a> 1)与y=x的图象有公共点，证明f (x) = loga x M .12 .设函数f(x)和g(x)都是定义在集合M上的函数，对于任意的xM ,都有f (g(x) = g( f (x)成立，称函数f (x)与g(x)在M上互为“ H函数” (1)函数f (x) =2x与g(x) =sin x在M上互为“ H函数”，求集合M ;(2)若函数f (x) =ax( a >0且a/1)与g(x) = x+1在集合M上互为 “ H函数”，求证：a a

5、 1 ;(3)函数 f (x) =x + 2 与 g(x)在集合 M =x|x>1 且 x# 2k-3, kw N 上互为 H函数”，当0 Ex <1时，g(x) = log2(x+1),且g(x)在(-1,1)上是偶函数，求函数g(x)在集合M上的解析式.13 .设数列Ln的前n项和为Sn,且(Sn -1 f = anS(nw N*).(1)求出Si,S2,S3的值，并求出Sn及数列an 的通项公式；(2)设bn =(1广anan书(n W N1*),求数列bn的前n项和Tn ；(3)设cn =(n+1 >an (nw N * ),在数列cn中取出m(mw N*且m之3)项

6、，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列dn ,若对任意的数列dn,均有d1 + d2+|1| + dn W M ,试求 M的最小值.14 .已知数列an的各项均为正数，其前n项的和为Sn ,满足(p 1)Sn = p2-an (nWN*), 其中p为正常数，且p=1.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数M ,使得当n>M时，a1 a4 a7:'an/ >a78恒成立？若存在，求 出使结论成立的p的取值范围和相应的M的最小值；若不存在，请说明理由；1(3)右p=一 设数列bn对任思n = N * ,都有"an+b2an+b3an/+bn/a2 2一c

7、1+ bna1 =2n -1n-1,向数列bn是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说2明理由.15 .已知抛物线C : y2 =2px(p >0)上横坐标为4的点到焦点的距离等于5。(1)求抛物线的方程。(2)设直线 y =kx+b(k *0)与抛物线交于两点 A(x1，yj B(x2, y2),且 | y1 - y2 |= a(a > 0) , M 是弦AB的中点，过M做平行于x轴的直线交抛物线于点D ,得到 MBD ;在分别过弦 AD,BD的中点作平行于x轴的直线交抛物线于点E,F,得到三角形AADEQBDF ;按此方法 继续下去。解决如下问题：求证：a2 =16

8、(1”) ；计算AABD的面积S仲bd ;根据AABD的面积的计算结果，写出 k2ADE,ABDF的面积；请设计一种求抛物线 C与线段AB所围成封闭图形面积的方法，并求出封闭图形的面积。1 .假设某10张奖券中有1张，奖品价值100元，有二等奖3张，每份W价值50元；其余6张没有奖现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品打总价值2 .已知对任意的xW(-0o,0 yj(0,*Hc ),产_1,们，不等式则实数a的取值范围为(-二,8 4、. 2xyy _8小1 _y2 a20恒成立,少乎其数学期望Et的概率3 .在xOy平面上，将两个半圆弧(x-1)2+y2 =1(x之1)-1的封周而所得(x

9、 3)2+y2 =1(x23)、两条直线丫 = 1和丫 = 1围成闭图形记为D,如图中阴影部分.记 D绕y轴旋转一 成的几何体为C,过(0, y)(| y|W1)作C的水平截面,截面面积为4nj1-y2 +8元,试利用祖咂原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 。的体积值为。4 .已知y=f(x)是定义在匚上的增函数，且y = f(x)的图像关于点(6,0)对称.若实数x, y满足不等 式 f(x2 -6x)+f(y2 -8y +36) <0,贝(J x2 +y2的取值范围 .解：由对称性可知f(6)=0,由单调性可知x<6时，f(x) <0; x>6时，f(x) &g

10、t;0 ;由 y2 -8y +36 =(y -4)2 +20 >6 ,则 x2 -6x <6 ,结合草图可知y2 -8y +36至ij 6的距离不超过比x2 -6x至U 6的距离，即 y2 -8y +36 -6 <6 -(x2 -6x),整理得 x2 +y2 -6x -8y +24 «0U (x -3)2 +(y-4)2 <1,其几何意义是以(3,4)为圆心，1为半径的圆(及其内部),而x2+y2即为该区域内点到原点距离的平方，结合图形可知，故其取值范围为16,36.5 .已知一玻璃杯杯口直径6cm,杯深8cm.如图所示，其轴截面截杯壁所得曲线是抛物线的一部

11、分，一个玻璃小球放入玻璃杯中，若小球能够碰到杯底，求小球半径的范围(不记玻璃杯的玻璃 厚度).y一3,3,解：如图建系,抛物线方程为抛物线 y=8x2,xG9小圆与抛物线的接触点即为抛物线上到圆心C距离最短的点，由小球能碰到杯底,则有| CO凶CP |,设P(x,y)(x可当,3)在抛物线上,设小球的半径为r,则圆心的坐标为C(0, r),|CP l=Jx2 +(y r)2 = ly2 +(8-2r)y+r2, yw0,3,1 9由 |CP|min 4 CO|,即当 y=0 时，|CP| 最小，故(2r)«0,2 8所以 r (0, 9.16选择题：ByOCA已知O是MBC外接圆的圆

12、心，A,B,C为MBC的内角,若空殂AB+cosC，AC=2m AO,sin C sin Bm的6.值为答B A. 1 B. sin A C. cosA D. tanA解：不妨设外接圆的半径为1,如图建立直角坐标系，则有.AOB =2C, , AOC =2B ,故可设 B(cos2C,sin2C), C(cos(2 兀_2B),sin(2 兀_2B),结合诱导公式得 C(cos2B, -sin 2 B),则 AB =(cos2c _1,sin 2C), AC = (cos2B _1, _sin2B),cosB _1 cosC由AB AC =2m AO ,sin Csin BcosB_cosC得

13、 (cos2 C -1) (cos2 B -1) - -2m ,sin Csin B2 _2cosB2 _ cosC2又 cos2c =1-2sin C , cos2B=1-2sin B ,上式化为(-2sin C) +，(-2sin B)=-2m,sin Csin B整理得 m =sin C cosB +cosC sin B =sin(B+C) =sin A ,故选 B.7 .已知点列An(an,bn )(nw N")均为函数y=ax(a A0,a#1)的图像上，点列Bn(n,0)满足AnBn = ABn,| ,若数列%n中任意连续三项能构成三角形的三边，则 a的取值范围为(B )

14、5 卡 一1) Tvs +1'，75 _1 ： j 括 +1 *(A) 0, Ui,(B),1 U 1, II 2 八 2JI 2八 2 J(C)(D) g'/A'I 2 八2 JI 2 八 2 J8 .过圆C:(x-1)2+(y -1)2 =1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B, AAOB被圆分成四AB有部分(如图)，若这四部分图形面积满足 $1 + 5¥=秫+ 51,则直线(A) 0 条(B) 1 条(C) 2 条(D) 3 条三.解答题：229 .已知直线y=2x是双曲线C:、-4=1的一条渐近线，点a bA(1,0 ),M (m,nXn00)都

15、在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P,设坐标原点为O.(1)设点M关于y轴的对称点为N,直线AN与y轴相交于点Q,问：在x轴上是否存在定点 T,使得TP_LTQ?若存在，求出点T的坐标;若不存在，请说明理由.(2)若过点D(0,2沿直线l与双曲线C交于R,S两点，且OR + OSI=IRS1 ,试求直线l的方程.2_410.已知双曲线C：L_y2=1,设过点A(与乏0)的直线l的方向向量为e=(1,k).2(3)当直线l与双四线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；(4)证明：当k 时，在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为。6 .x一(1)解：双曲线C的渐近线m

16、:"士y=0,即x±J2y=0,_2，直线l的方程为x±72y+3j2=0,3 2 一，直线l与m的距离为d = $=6 .1 2(2)证法一：设过原点且平行于l的直线b:kx y =0 ,则直线l与b的距离d _3£|k|，当k a又双曲线双曲线，双曲线1 kC的渐近线方程为x 士在y=0,C的右支在直线 b的右下方,C的右支上的任意点到直线 l的距离大于66,故在双曲线C的右支上不存在点 Q,使之到直线l的距离为6 .证法二：假设双曲线右支上存在点Q(xo,yo)到直线l的距离为66 ,|kxo -yo 3 .2k|则1k2x -2y2 =2,一寸6

17、,(2)由(1)得 V。=kx。 3 2k _ 6 - 1 k2 ,设 t =3 2k _ 61 k2 ,22当 k .一 时，t =3 2k ,6 .1 k2 0,2t =3 72k -6 / +k2 =76 乂-k 71- >0 , .3k2,.1 k2将 y° =kx +t代入(2)得(1 -2k2)x2 4ktx0 -2(t2 +1) =0 (*),i，2_ 22. k , t 0, . 1 -2k ：:0, -4kt ：:0, -2(t1) <0,，方程(*)不存在正根，即假设不成立，故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为76.11.已知集合M是满

18、足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数k,对定义域中的任意x,年式 f (kx) = k + f (x)恒成立. 2(1)判断一次函数f(x)=ax+ b(aw 0)是否属于集合 M;(2)证明函数f(x) = log2*属于集合M,并找出一个常数k;(3)已知函数f (x) = loga x ( a> 1)与y=x的图象有公共点，证明f (x) = loga x C M .k解：(1)右f (x) =ax+ b M ,则存在非布吊数 k,对任息xC D均有f (kx) =akx+ b= + f (x),2k ,.k -1 =0 一一.即a(k1)x=k恒成立，得 0'无解

19、，所以f(x)正M.2k =C(2) log2(kx) = ' + log2 x ,则 log2k =k，k= 4, k= 2 时等式包成立，所以 f(x)=log2xC 22M.(3)因为y=logax( a>1)与y=x有交点，由图象知，y=啮2*与丫=：必有交点.kk设 loga k = ，则 f (kx) = loga (kx) = log a k + log a x = + f (x),所以 f (x) M . 2212 .设函数f(x)和g(x)都是定义在集合M上的函数，对于任意的xwM ,都有f(g(x) =g(f(x)成立，称函数f (x)与g(x)在M上互为“

20、H函数”.(1)函数f (x) =2x与g(x) =sin x在M上互为“ H函数”，求集合M ；(2)若函数f (x) =ax( a >0且a=1)与g(x) = x+1在集合M上互为 “ H函数”，求证：a >1 ；(3)函数 f (x) =x + 2 与 g(x)在集合 M=x|x>1 且 x= 2k-3, kN*上互为 “ H函数”，当0 gx <1时，g(x) =log2(x+1),且g(x)在(-1,1)上是偶函数，求函数g(x) 在集合M上的解析式.(1)由 f (g(x) = g( f (x)得 2sinx = sin2x化简得，2sin x(1 一co

21、sx) = 0 , sin x = 0或 cosx =12解得 x=kn 或 x=2kn , kZ ,即集合 M =xx = k* kZ2 分(若学生写出的答案是集合 M =x|x=kn,k WZ的非空子集，扣1分，以示区别。)(2)证明：由题意得，ax41 =ax+1 (a A0 且 a=1),变形得，ax(a1)=1,由于 a>0 且 a*1, 11ax ,因为 ax >0,所以'>0 ,即 a>1a Ta T(3)当-1 <x <0 ,则0 <x <1 ,由于函数g(x)在(-1,1)上是偶函数则 g(x) =g(x) =log2(

22、1 - x),所以当1<x<1 时，g(x) = log2(1 + | x|)由于f(x) =x +2与函数g(x)在集合M上“互为H函数”所以当 xM , f (g(x) = g( f(x)恒成立，g(x)+2 =g(x+2)对于任意的 x w (2n1,2n+1) ( n w N )包成立，即 g(x + 2) - g(x) = 2 ,所以gx 2(n -1) 2 -gx 2(n -1) =2,即 g(x +2n) -gx +2(n -1) =2 ,所以 g(x+2n) = g(x) + 2n ,当 xW(2n1,2n+1) (nN)时，x 2n (1,1)g(x _2n) =

23、 log2(1+1 x -2n |),所以当 xw M 时，13 .设数列an的前 n项和为 Sn,且(Sn _1 2 =anSn(nw N*).(D求出Si,S2,S3的值，并求出Sn及数列an的通项公式；(2)设 bn =(-1)n*(n+1)2anan 书(nW NW),求数列bn的前 n 项和 Tn ；（3）设cn=（n+1>an（nwN*）,在数列cn中取出m（mw N冲且m之3）项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列为,若对任意的数列h0,均有d1+d2+|+dn WM ,试求M的最小值.14 .已知数列an的各项均为正数，其前n项的和为Sn ,满足（p 1）Sn = p

24、2-an （nwN*）, 其中p为正常数，且p=1.（1）求数列an的通项公式；（2）是否存在正整数M ,使得当n>M时，a1 a4 a71an/ >a78恒成立？若存在，求 出使结论成立的p的取值范围和相应的M的最小值；若不存在，请说明理由；1（3）右p=- 设数列bn对任思n w N * ,都有b1an+b2an+b3an/+bn/a221+ bna1 =2n -1n-1,向数列bn是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说2明理由.(1分)解：（1）由题设知，（p1）a1 = p2a1,解得a1八C2(p 1)Sn p -an ,*人工/门口h1/ c 八、2 两式

25、作差得，(p -1)an+ =an -an 由，即 an+= an,(2 分)(p - 1)Sn 1 - p - an 1 ,p(3分)所以，数列an是首项为p,公比为1的等比数歹I, p所以an =pJp(4分)1 2 5-(3n-4)a a4 a7 L a3nqn(3n-5)二n(3n -5)由题意，-2pp"6（6分）所以,pj，-1当 p>1 时，0<一<1, p则"3一5）2即3n2解得19., n<8 （舍去）；7分)（5分）而a78-5n -152 <0 ,1当0<p<1 时，一>1,p解得n >8或n &

26、lt;19则 n(3n-5)2即3n2-5n -152 >0 ,（舍去）.此时存在满足题意的Mmin =8.(8分)3综上，当0 <p<1时，存在M的最小值为8,使ai a4 a7#3nN *78恒成立.(10分). 一.11. .1 一一一(3)令 n = 1 ,则 “a1 =2 1 =,因为 a1=,所以 b1 =1 .(11 分)封闭图形的面积。解:(1)由抛物线定义得:4-(-p) =5,p =222,y = 4x。y = kx + by = 4xy2/y k k。彳与大与x12：-bk， M ( k2 - kb 2k2,一),求222n 1 因为 b1an +b2a

27、n j+b3anN 十+bna2 +bna1 = 2 - n -1 .21 11 ,所以 b1an*b2an_2+b3an_3+bn_2a2+bna1=2 n (n 22) (13刀)2 2因为an的公比1 =2,所以在的两边同乘以2得， Pban+b2an°+b3anN +i+bna2 =2n n 1 ( n >2)(15分)减去得，bna1 =-,所以bn =n ( n22) , (17分)2 因为b1 =1 ,所以0是等差数列，其通项公式为bn =n . (18分)15.已知抛物线C ： y2 =2px(p >0)上横坐标为4的点到焦点的距离等于5。(1)求抛物线的方程。(2)设直线 y =kx+b(k 00)与抛物线交于两点 A(x1，yj B(x2, y2),且 | y1 -