重点高中数学：柯西不等式

1、精心整理类型一：利用柯西不等式求最值例1.求函数y=5=1 + J10-的最大值解：卜1之。且10-2形0,函数的定义域为底口/，且丁之。,y = 5 x g+< 6+(处 xD3 +(>/5 = 6 4_127即'一万时函数取最大值，最大值为6后 法二：卜1之。且1。-2也0, .函数的定义域为了£【加心51一5师石一2石T.匚 ：；由 2"-1 S。- 2i Wx-lQlO- 2工,得 5J10 - 21- 2&- i > 0127127即5J10-21>24-1>0,解得27 27时函数取最大值，最大值为6也.当函数解析式

2、中含有根号时常利用柯西不等式求解【变式1】设d3eR且/+从=10,求%+6的最大值及最小值。 V '利用柯西不等式得3' +办，。'+1')?(如邙吗10/10之(加+6，故最大值为10,最小值为-10【变式2】已知工JER, 3/+2 £6 ,求2x+y的最值.法一：由柯西不等式(2x +y)2 水阚2 +(0yq. +(力+ 2 + 2y峭 +$ w 于是2x+y的最大值为 后，最小值为一向.法二：由柯西不等式|2x + y住屣西南+ (# =小储+ 2©于是2计7的最大值为 底,最小值为一山.【变式3】设2x+3y+5z=29,求函数

3、="%+ 1 + *，+ 4 +收+ 6的最大值.根据柯西不等式精心整理精心整理精心整理3x40=0+1+1) (2x+l)+(3j+4) + (5z + 6)>(lxV2x+l+1x + 4+ lxV5 + 6)2故/21 + 1 +小伊+4 +收+ 6匕2.收0_37 _28 _22当且仅当2x+1=3y+4=5z+6,即工6915时等号成立，此时，乂丽二2折变式 4:设3/1 , 0, ?2) , b ?(x , y, z),若 x2?y2?z2?16,则 &b 的最大值为【解】V a 7(1, 0, Q, b Xx , y, z) a . b ?x?2z由柯西不

4、等式1 2 0：(2)2j(x2：y222)：(x：02z)2:5：16：(x：2z)2: 4.5：x：4.5 4 %,5?a. b?4V5,故a. b 的最大值为 475：变式 5：设 x, y, z，H 若 x2?y2?z2%,则 乂，"y之最小值为 时，（x , y, z） ?22222_2_2-解(x *2y(2z)Xxy?z)1?(?2)2?4.9?36一一. -xx*2y ?2z取小值为？6,公式法求（x , y, z）此时一=-2-2222 (-2)2223-2x二4y=3' z-4变式6:设x,y,z R r若 2x -3y +z =3 ,则 x2 +(y -

5、1)2 + z2之最小值为解析：x2 +( y -1)2 +c cc cc cc c 36 一 ，一 18z2 22 +( -3)2 +121 >(2x -3v + 3 + z)2x2 + (v-1)2 + z21 >-36 .最/Ml18 z4( ) j-(4x y u z) x ( y ) z j -1473；t72.一7精心整理变式7：设a, b, c均为正数且a7b?c?9,则“十"9+16之最小值为 a b c解：（.a 3.b 4,c)2 <(- 9 )(a :b：c)b、- ca b c4 9 1624 9 16 81? (_+_+_). 9?(2?3

6、?4)为1? +？一？9a b ca b c 92+(1)2 +(J)2j±(1+2+3)2变式8:设a,b,c均为正数，且a+2b+3c = 2,则工十？+3之最小值为 a b c解：:( .a)2 ( 2b)2 (,一 3c)2j( . 2 3.(_+_)之18 ,最小值为18b c ) a(1)2 (2)2 (7 . 3)2变式9:设x, y, z?R且 +- = 1 ,求x?y?z之最大、小值：1654222【解】 + = 1由柯西不等式知165442 ? ( J5)222卜?)2 +(管)2 +(3)2 十卜x -14.(丁). S-2+ 2(-z-1)225?1 ?(x?

7、y?z?2)2?5?|x?y?z»2?5?x?y?z?2(?5. .故x?y攵之最大值为7,最小值为3 类型二：利用柯西不等式证明不等式基本方法：（1）巧拆常数（例1） （2）重新安排某些项的次序（例2）（3）改变结构（例3） （4）添项（例4）22291>例1.设a、b、e为正数且各不相等，求证:a+b B+匕 c+a=(a+ i +c) + (c + a)()1+a+b b+c c+a又a、b、c各不相等5>(1+1 + 1)2 = 9222911>a+b b+c 匕 + 1a + b+c 。例2. a、。为非负数，d+b=1,无1a R,求证：（&/+

8、历）（市1+（3）2瓦/+就J=（仪可+方）（4+加1）=S + 5）柄二柄即+如）网+晒）之瓦电a+b b+c c+j a+b+c例 3.若 d>6>C,求证：白一 h b-c a -c解：,人“，m-”。，.所证结论改为证,吸)之4(")(Ha-b b-c闫+-*吐+占“+代4精心整理:a-b b-c a-c4 + & + 白 ) 3例 4. she R ,求证：b +c c+a a + b 2+ 1 + 1 + +1 = (i + b + e)(- 左端父形方+fc + a汽h>1只需证此式 2即可。a b c . . a. i. c,: + + +

9、3 = ( + 1)+( +1) + ( b+c c+a a+bb+ca+ca+b=(b+G + (c+H+S+b)K+ J2£? + c c+a a+b、1 门12 9 abc 93N (1 + 1 + 1) =一一1b之 J1 =-22 b+c a+c a+b 22【变式1】设a,b,c为正数，求证：6+卜+1 Jl" +f +2+1,即 J/+/E之a + "同理庐万，也叁+。，4 - 一+ +/ +。 + 而V之企($+6+c).F + 2 4【义式21设a,b,c为正数，求证：b c a(右+方+帝力后+ 1+石小3小L 4b 4 1 4LJ 4ba2

10、b2 c22(ii-)g+占+心)之 q+6+)hf于是 b c aIP 5 c【变式3】已知正数满足s+3+c-l证明1 1 1、+ _L +)> +(: c + a a +b ,4-1)= g + 3+c)(-H -+ )b+c c+a a+b7+历八感+8+c) . - r.Js/./'.J1r| r ) , & 产产,持上面二个同向/、等式相加得，+5 +c卜&+-1=/y>a+b+c a3/+川+J +?>3。4a / 3 13（一+1+/）=曰5+2?可解：I= （+）+&+4又因为在此不等式两边同乘以2, 精心整理13 12 7

11、3丫 三丫 , 3丫f+/- 口 + 必 + c' a+b + cJ / / ) J + M +- >abbc+ca再加上小+F+J得：("2户任+y+引精心整理类型三：柯西不等式在几何上的应用6. ABC的三边长为a、b、c,其外接圆半径为 R,求证:精心整理(a2 +b2 +c3)(smiJ4 + sma£ sin3C)>36AAR证明:由三角形中的正弦定理得于是左边=【变式】A1 AR 同理血叮一手1 _4R 汕k三瓠叮+的"sinaC.)336炉ABC之三边长为4, 5, 6, P为三角形内部一点,的距离分别为x, y, z,求了 +7

12、 +z的最小值。= (式£一2)(£-2)(£一4 =二二 w m U be三边15 币 一一, 4x+5y+6z= _由柯西不等式(4x+5y+6z) 2>(x2+y2+z2)(4 2+52+62)22515ax704>(x 2+y2+z2) x 77n x2+y2+z2 > 44 0柯西不等式i =1,2- n)等号当且仅当a1 =a2 ="*" =an =0或R =kaj时成立（k为常数,利用柯西不等式可处理以下问题:1）证明不等式2.2例2:已知正数a, b, c满足a +b + c = 1证明a3 +b3 +c332

13、一证明： a b c = a2a13 13 12b2b2c2/3a23| b2'2+3c2l.a b c 1又因为a2 +b2+c2至ab +bc+ca在此不等式两边同乘以2,再力口上a2 +b2+c2得:a b c 三 3 a2 b2 c22*i2.2223,33 c 2, 223,33* (a +b +c ) <(a +b +c 卜3(a +b +c )故2 +b +c 至2)解三角形的相关问题例3设p是|_ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是ABC外接圆的半径，证明,.X、y . z _ 1- % a229x z例5.在实数集内解方程 x y z 4

14、SI18x+6y 24y =39(-8 2 +62 +(-24 2 >(-8x + 6y-24y f 又(-8x+6y -24y 2 =392,. (x2 + y2+z2 )(-8 j +62 +(-24 j = (-8x + 6y-24z j即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得二 =工=三,它与8x+6y 24y =39联立，可得一8 6 一 24 b2 c22R证明： 、x . y j z = . ax11十一+一b cczJ- £ Jax + by +记 S 为ABC 的面积，则 ax+by+cz = 2S=2Uabc=c4R 2R3)求最值解：2b2 3c2 6d2 :j 1112 3 6例4已知实数a,b,c ,d满足a+b + c + d =3 , a2 +2b2