曲线和方程-教案

1、曲线和方程 教学目标1.使学生了解曲线的点集与方程的解集之间的关系，从而掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”这两个概念.2.使学生掌握证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0的方法和步骤.3.通过曲线和方程概念的知识形成过程，培养学生合情推理能力、数学交流能力、探索能力，确立“数形结合”的思想方法，并进一步提高逻辑思维能力.教学重点与难点对“曲线的方程”、“方程的曲线”定个中两个关系的理解.教学过程师：解析几何重要内容之一是利用代数方法来研究几何中曲线的问题.即通过建立坐标系，利用平面内点和有序实数对之间一一对应关系，建立曲线的方程，并通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质.为此，在第二章“圆锥曲线

2、”的第一节，先建立曲线和方程的关系.这里，先看上堂课后留的两个思考题.(板书)例1 (1)画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l，并写出其方程.(2)画出函数y=2x2(-1x2)的图象C.(选择二位学生自制的计算机软盘或投影片，请二位学生各自操作，展示在投影仪上.取较好的解答定格，如图2-1.)师：这二位同学解答很好.请大家对照直线l及方程，对照抛物线的一倍分C及方程，谈谈符合某种条件的点的集合L和C分别与其方程是怎样地联系起来的？(鼓励学生观察、联想，进行数学交流.学生讨论后选其两个回答，再口述一遍.)生甲：如果M(x2 / 100,y0)是l上的任意一点，它到两个坐标轴的距离一定相

3、等，因此x0=y0，那么它的坐标(x0,y0)是方程x-y=0的解；反过来，如果(x0,y0)是方程x-y=0的解，即x0,y0，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条平分线l上.为此把直线l与方程x-y=0密切地联系了起来.生乙：如果点M(x0,y0)是C上的点，那么(x0,y0)一定是y=2x2的解；反过来，如果(x0,y0)是方程y=2x2的解，那么以它为坐标的点一定在C上.师：学生甲的回答清楚地说明了直线l完整地表示方程x-y=0，而方程x-y=0完整地表示了直线l.但学生乙的回答是否完满，请同学们思考，发表见解，并用最短的语言写在投影片上.(老师巡视后选一张投影展示

4、定格.)学生乙的回答忽略了-1x2，从而点集C与方程y=2x2的解的集合G无法建立一一对应关系.师：请这位同学进一步阐明自己的见解.生：就本题而言，如(3，18)G，但P(3，18)C.方程漏掉了制约条件-1x2.为此正确的理解是：如果点M(x0,y0)是C上的点，那么(x0,y0)一定是y=2x2(-1x2)的解；反过来，如果(x0,y0)是方程y=2x2(-1x2)的解，那么以它的坐标为点一定在C上.师：这样的见解才确切地反映了点集C与方程y=2x2(-1x2)的解集G是一一对应的.从而，抛物线的一部分C完整地表示了方程y=2x2(-1x2)，而方程y=2x2(-1x2)完整地表示了C.现

5、在我们来考虑以下这个问题：点集C还是抛物线的一部分，方程却是y=2x2，不加任何制约条件.那么，此时的点集C与方程的解集是一个什么样的关系呢?(鼓励学生勇于探索，为合理推理铺垫.学生讨论后口答.)生丙：曲线C上的任一点P的坐标(x0,y0)一定是y=2x2的解；但若(x0,y0)是y=2x2的解，以它为坐标的点不一定在C上，有一部分在y=2x2(x-1或2的图象上.师：回答得很好.我们再来考虑一个问题：点集C是抛物线y=2x2，而方程还是y=2x2(-1x2).它们的关系又是怎样呢?(进一步引导学生积极参与并多向思维.学生口答.)生丁：曲线C上点的坐标不一定是y=2x2(-1x2)的解；而以y

6、=2x2(-1x2)的解为坐标的点却一定在C上.师：以上两个问题反映了点集C与方程的解集不是一一对应的两种截然不同的不完整的关系.那么怎样才能使点集C与方程的解是一一对应的呢?为了研究方便，从曲线是点按照某种条件运动所成的轨迹的意义来说，我们也把直线看成曲线.在平面直角坐标系中，点和有序实数对(x,y)联系起来，而二元方程f(x,y)=0的任一个解恰是一个有序实数对.现在我们一起归纳一下要具备的条件(学生讨论、口答).师：同学们讨论得很好.曲线C和二元方程f(x,y)=0应具备以下两个条件：1.若P(x0,y0)C,则f(x0,y0)=0成立；2.若f(x0,y0)=0,则P(x0,y0)C.

7、本节课的“曲线的方程”与“方程的曲线(图形)”的定义是这样(老师操作计算机或投影片定格)：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x0,y0)=0的解建立了如下的关系：1. 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2.以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形).师：我们已经给曲线的方程、方程的曲线下了定义.这堂课例1的第(1)小题，方程x-y=0是l的方程，而l是方程x-y=0的曲线；第(2)小题，方程y=2x2(-1x2)是曲线C的方程，而C是方程y=2x2(-1x2)的曲线.同学们再举3

8、个例子，每个例子画一条曲线，写一个方程.第1个例子满足定义中的两个条件；第2个例子满足定义中第1个条件，不满足第2个条件；第3个例子不满足定义中第1个条件，满足第2个条件.(鼓励学生进行思维训练，强化概念记忆.选一位同学构造的例题板书.)生：(板书)师：(与学生一起评议)例1符合定义中的两个条件，y=|x|是曲线C的方程，C是方程y=|x|的曲线；例2中，曲线C的方程不是Y=x，C也不是方程y=-x的曲线，如果确定方程，那么曲线上遗漏了坐标是方程解的第三象限的点如果确定曲线，那么方程缺少了制约条件x0；第3个例子，y=4-x2不是C的方程，C也不是y=4-x2的曲线.如果确定方程，曲线上混有坐

9、不是方程解的点(以原点为圆心，2为半径而圆在x轴下方的部分).如果确定曲线，那么方程x2+y2=4增添了制约条件y0(以上叙述在师生多次数学交流中进行).师：同学们对上面后两个例子，就定曲线变方程和定方程变曲线分别构造两个例子，使其符合“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义，写在投影片上.(选正确与有错误的解答各一份.先展示有错的，进行纠正；后展示正确的定格.)师：通过上面例题的研究，同学们掌握了“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义，要牢记定义中的1、2两者缺一不可，当且仅当两者都满足时，能才称为“曲线的方程”和“方程的曲线”.下面研究“证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0”的方法和步骤，请看

10、例2(老师操作计算机或投影展示).例2 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25，并判断点M1(3，-4)，M2(-25，2)是否在这个圆上.师：请同学们研究，证明应从何着手?(大家讨论后回答)生：应从以下两方面着手：1.圆上任一点M(x0,y0)满足x20+y20=25；2.以方程x20+y20=25的解(x0,y0)为坐标的点在圆上.师：同学回答得很好，请大家阅读理解课本第50页例1，学会证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0的方法和步骤.(进一步培养学生的阅读、思考、逻辑思维能力.)师：现在我们再一起看一下本例题的证明过程.(老师操作计算机或投影片展示)证明：1.设M

11、(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点的距离等于5，所以x20+y20=25，也就是x2 0+y2 0=25. 即(x0,y0)是方程x20+y20=25的解.2.设(x0,y0)是方程x2+y2=25的解，那么x20+y2 0=25.两边开方取算术根，得x20+y20=5，即点M(x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M(x0,y0)是这个圆上的一点.由1、2可知，x2+y2=25是以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程.师：现在请一位同学归纳一下证明已知曲线的方程的方法和步骤.生：用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0.证明中分两个步骤；第

12、一步，设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.师：这位同学的回答正确归纳了证明的两个步骤，要记住最后应加以总结，使证明更完美.现在我们再来看两个例题，同学们把解答写在投影片上.(老师操作计算机或投影片，先展示例3，解答后再展示例4.)例3 求曲线y=x2关于直线y=x的对称图形的方程.(选两个同学的投影片)1.解 y=x2关于直线y=x的对称图形的方程为y=x.2.解：由可知y=x2关于直线y=x的对称图形的方程为y2=x.师：第一个同学的解答是错误的，遗漏了对称图形中x轴下

13、方图象的方程.而第二位同学通过画出曲线y=x2关于直线y=x的图象，写出了其方程.看来证明某已知曲线的方程是f(x,y)=0是必不可少的，证明课下研究.例4 求曲线y=x3-x关于点(1，2)的对称曲线的方程.(选一个同学的投影片)解 设y=x2-x关于点(1，2)的对称曲线上任一点M(x,y)，则M关于点(1，2)的对称点M(2-x,4-y)，因为M在曲线y=x3-x上，所以4-y=(2-x)3-(2-x)即为所求的对称曲线的方程.师：这位同学把所求曲线上的点转移到已知曲线上去，方法很好，也是今后求曲线的方程的基本方法.但是，我们这一堂课还要提出的问题是如何证明曲线y=x3-x关于点(1，2

14、)的对称曲线的方程为4-y=(2-x)3-(2-x)呢?证明也留作课下研究.“曲线和方程”这一节，我们准备用两节课.这一堂课，着重研究了“曲线的方程”、“方程的曲线”这两个概念，以及必须具备的两个条件，这是我们用代数的方法研究几何问题的基础.下一堂课，我们将着重研究证明曲线C的方程及重要性.为此，我们留以下作业：书面作业：课本第51页练习，解答写在书本上；研究作业：(板书)1.证明曲线y=x2关于y=x的对称图形的方程是y2=x.2.证明曲线y=x3-x关于点(1，2)的对称曲线的方程是4-y=(2-x)3-(2-x).研究作业的解答请同学们储存在软盘内或写在投影片上.设计说明1.“曲线的方程

15、”这一节，按教参要求是两课时，鉴于本节在解析几何中的重要地位，教案设计是第一堂课着重引出“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念；第二堂课着重研究证明某曲线C的方程是f(x,y)=0.由于在2.2节“求曲线的方程”中，指出了求曲线的方程的5个步骤，而课本中特别指明：“除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，步骤(5)可以省略不写”.同学们高兴的是步骤(5)可以省略不写，而忽略了“同解变形过程”及“如有特殊情况，可适当予以说明”.在提倡素质教育的今天，对学生应用能力的要求日益加强.就目前高中数学对学生的要求，已经到了某已知曲线经过多次平移，再求关于某已知点(带字母参数的)的对称曲线的方程，并加以证明

16、.这样，高中数学中的8种基本对称关系：关于x轴、关于y轴、关于直线y=x、关于直线y=-x、关于直线x=(0)、关于直线y=b(b0)以及关于原点、关于除原点外的任一个定点(t,r)的对称曲线的方程的求法及证明已放到了教学日程上.那么这些问题放哪儿解决?由于这些问题在前一阶段的教学中已有了不同程度的渗透，所以在这一节中系统解决较好.为此，设计了例3和例4，为下一堂课铺垫，也为学生在学习“坐标变换”后解决某已知曲线经过多次平移，再求关于某已知点(或某已知直线)的对称曲线的方程，并加以证明打下良好的基础.关于除此之外的第9种对称关系，即除上述提到前8种对称关系外的任一直线Ax+by+C=0的对称曲

17、线的方程则可在以后的学习中适时介绍.2.在锐意创新的时代，着重培养学生掌握数学的基本思想和提高学生的数学能力是本教案的出发点.在高中数学教学中，作为数学思想应向学生渗透、掌握、强化的有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想及运动变换思想.不是所有的课都能把这些思想自然地溶纳进去，但由于“曲线与方程”这一节在教材中的特殊地位，它把高中数学中的解析几何和代数这两个单科紧紧连在一起，为此能把以上数学思想溶纳大半，这不能不引起我们的高度重视.几何，原始的展现是形.解析几何，主要体现用数学研究形.为此，这一节教材中的“数形结合”应是涉及到数学思想中最多的一个，尽管侧重于用“数”研究“形”，同时对学生用“形”来研究“数”，解决某些代数问题起到了有益的启迪.由于曲线C中有很多的代数中函数的图象，曲线C是点按某种条件运动而成的，所以在这一节的教学中应对函数与方程思想、运动变换思想加以足够的重视.在本教案中例1的直线l和抛物线的一部分C在计算机显示中均以点运动所成的轨迹出现.并与代数中一