人教版八年级上册 第11章 三角形和多边形 讲义（Word版无答案）

1、一、三角形相关的概念一三角形的概念三角形和多边形第一局部概念总汇11 / 91、三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2、三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。3、三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。4、三角形的角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角 ,简称三角形的角。二三角形中的主要线段1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线 ,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。2、三角形的中线：在三角形中 ,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。3、三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交 ,这个角的

2、顶点和交点之间的线段 叫做三角形的角平分线。三三角形的稳定性：三角形的形状是固定的 ,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四三角形的分类1、三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形等边三角形2、三角形按角的关系分类如下：直角三角形有一个角为直角的三角形三角形锐角三角形三个角都是锐角的三角形 斜三角形钝角三角形有一个角为钝角的三角形3、把边和角联系在一起 ,又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。4、在等腰三角形中 ,相等的两边都叫腰 ,另一边叫底 ,两腰的夹角叫做顶角 ,腰和底边的夹角叫做底角。五三角形的三边关系定理及推论1

3、、三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。2、三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条线段能否组成三角形当两边时 ,可确定第三边的范围。证明线段不等关系。六三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。七三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角 ,叫做三角形的外角三角形外角的性质：性质 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 性质 3：三角形的外角和为 360 度。八三角形的面积1三角形的面积=2

4、×底×高二、多边形的有关概念一多边形：在平面内 ,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形1、内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角2、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角3、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段 ,叫做多边形的对角线.4、正多边形：各个角都相等 ,各条边都相等的多边形叫做正多边形二多边形的内角和：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于 (n - 2) · 180°三多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于 360°四多边形对角线的条数：1、从 n 边形的一个顶点出发可以引n-3条对角线 ,把多

5、边形分词n-2个三角形。2、n 边形共有条对角线。第二局部例题讲解例 1、如图 ,在ABC 中 ,BAC=90° ,B=56° ,ADBC ,DECA求ADE 的度。AEBDC【分析】：根据平行线的性质推知AED 是直角三角形；在直角ABD 中 ,利用“直角三角形的两个锐角互余的性质求得BAD=34°；然后在直角AED 中 ,利用“直角三角形的两个锐角互余的性质求得ADE 的度数【解答】：BAC=90° ,DEACDEA=180°-BAC=90°两直线平行 ,同旁内角互补ADBC ,B=56° ,BAD=34° ,

6、在ADE 中 ,DEAB ,ADE=56°变式 1、如图 ,AE ,AD 分别是ABC 的高和角平分线 ,且B36° ,C76° ,那么DAE 的度数为A、40°B、20°C、18°D、38°A【解答】ABC 中B=36° ,C=76 ,BAC=68°BAD=DAC=34 ,ADC=B+BAD=70° ,DAE=20°B D E C变式 2、如图 ,在ABC 中 ,D 是 BC 边上一点 ,1=2 ,3=4 ,BAC=63° ,求DAC 的度数。【解答】ADB=DAC+418

7、0°-1-2=DAC+4DAC=63°-1180°-1-2=63°-1+4180°-2=63°+43=43=1+21=2180°-2=63°+221=2=39°DAC=63°-39°=24°变式 3、如图 ,在ABC 中 ,BE 是ABC 的内角平分线 ,CE 是ACB 的外角平分线 ,BE、CE 交于 E 点 , 试探究E 与A 的大小关系【解答】ACD=A+ABC ,CE 平分ACD , ECD=ACD=A+ABC角平分线的定义 ,BE 平分ABC ,EBC=ABC角平分

8、线的定义 ,ECD 是BCE 的外角 ,E=ECD-EBC=A例 2、一个多边形的每一个内角都等于144o ,那么它的内角和等于( )A.1 260o B.1 440o C.1 620o D.1 800o【分析】 一个正多边形的每一个内角都相等 ,根据内角和外角互为邻补角 ,因而就可以求出外角的度 数 ,根据任何多边形的外角和都是 360° ,利用 360°除以一个内角的度数就可以知道多边形的边数 , 然后再根据多边形内角和的公式n-2*180° ,即可求出。【解答】多边形的边数是 360°÷180°-144°=360

9、76;÷36°=10 , 那么内角和是10-2×180°=1440°应选择 B变式 1、不能作为正多边形的内角的度数的是( )A120°B (128)°C144°D145°【解答】A、n-2180°=120n ,解得 n=6 ,所以 A 选项错误；B、n-2180°=12847°n ,解得 n=7 ,所以 B 选项错误； C、n-2180°=144°n ,解得 n=10 ,所以 C 选项错误；D、n-2180°=145°n ,解得 n=

10、727 ,不为整数 ,所以 D 选项正确 应选 D变式 2、两个正多边形的边数之比为 12 ,内角和之比为 38 ,求这两个多边形的边数、内角和。【解答】设小正多边形的边为 n ,大的为 2n那么(n-2)×180:2n-2)×180=3:88n-16=6n-62n=10 n=55×2=10答这两个正多边形分别为正 5 边形和正 10 边形变式 3、一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为 2520°,那么原多边形有 条边。【解答】设新多边形的边数是 n ,那么n-2180°=2520° , 解得 n=16 ,截去一个角后的多

11、边形与原多边形的边数可以相等 ,多 1 或少 1 ,原多边形的边数是 15 ,16 ,17例 3、求图 1、2、3 中 ,A+B+C+D+E 的度数。【分析】都是根据三角形内角和和外角和的性质进行解答【解答】1FGC=B+EGFC=A+DFGC+GFC+C=A+B+C+D+E=180°2FGD=B+EGFD=A+CFGD+DFG+D=A+B+C+D+E=180° (3)连接 EDA+C=ADE+CEDADE+CED+B+D+E=A+B+C+D+E=180°变式 1、如图 , DC是ABC中ACB的外角平分线 ,说明为什么BACB.【解答】BAC 是ACD 的一个外

12、角BACACD三角形的一个外角大于任意与它不相邻的内角)ECD 是BCD 的一个外角ECDB又CD 是ACB 的外角平分线ACD=ECDBACACDBBACB变式 2、如图 ,在 ABC 中 , AD BC , AE 平分 BAC , B 70° , C 30°1求 BAE 的度数；2求 DAE 的度数；A3探究：小明认为如果只知道 B C 40° ,也能得 出 DAE 的度数？你认为可以吗？假设能 ,请你写出求解过程；假设不能 ,请说明理由BDEC【解答】1.AE平分BAC ,B70° ,C 30°BAE=180°-70°

13、-30°=40°2.由1知 ,CAE=40°ADBCCAD=90°-30°=60°DAE=CAD-CAE=60°-40°=20°3.能理由如下：AE 是角平分线BAE=BAD=90°-BDAE=BAE-BAD=-(90°-B=假设B-C=40° ,那么DAE=20°变式 3、(1)如图,试研究其中 Ð1、Ð2与Ð3、Ð4 之间的数量关系； (2)如果我们把 Ð1、Ð2 称为四边形的外角,那么请你用文字描述上

14、述的关系式. (3)用你发现的结论解决以下问题:如图, AE、DE 分别是四边形 ABCD 的外角 ÐNAD、ÐMDA 的平分线, ÐB + ÐC = 240o ,求 ÐE 的度数.【解答】1解：3、4、5、6 是四边形的四个内角 ,3+4+5+6=360° ,3+4=360°-5+6 ,1+5=180° ,2+6=180° ,1+2=360°-5+6 ,1+2=3+4；2答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；3解：B+C=240° ,MDA+NAD=240

15、76; ,AE、DE 分别是NAD、MDA 的平分线 ,ADE=MDA ,DAE=NAD ,ADE+DAE=MDA+NAD=×240°=120° ,E=180°-ADE+DAE=180°-120°=60°第三局部课后作业1、等腰三角形的一个外角是 120° ,那么它是()A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形2、一个多边形的边数增加一倍 ,它的内角和增加() A. 180°B. 360°C. (n-2)·180°D.n·1803、三角

16、形的三个外角的度数比为 234 ,那么它的最大内角的度数(). A. 90°B. 110°C. 100°D. 120°4、如下图 ,在ABC 中 E、F 分别在 AB、AC 上 ,那么以下各式不能成立的是ABOC=2+6+AB2=5-A C5=1+4D1=ABC+45、如图 ,假设A=32° ,B=45° ,C=38° ,那么DFE 等于 6、将一个三角形截去一个角后 ,所形成的一个新的多边形的内角和 。7、如图, DABC 中, ÐABC和ÐACB 的角平分线 BD,CE 相交于点 O.A1假设 

17、08;ABC = 50° , ÐACB = 70° ,那么 ÐB0C = ；2假设 ÐABC = 48° , ÐACB = 64° ,那么 ÐB0C = ；3 假设 ÐA = 60o ,那么 ÐB0C = ；O4请探究 ÐA与ÐBOC的关系 .8、1如图：求A+B+C+D+E+F 的度数。BC2当图变为图时 ,求上面六个角的和。3当图变为图时 ,求上面六个角的和。9、：如图 1 ,线段 AB、CD 相交于点 O ,连接 AD、CB ,如图 ,DAB 和BCD 的平分线 AP 和 CP 相交于点 P ,并且与 CD、AB 分别相交于 M、N试解答以下问题：1在图中 ,假设D=40° ,B=30° ,试求P 的度数；写出解答过程2如果图中D 和B 为任意角 ,其他条件不变 ,试写出P 与D、B 之间数量