2020版创新设计高考总复习高三文科数学人教A版第三章第2节第4课时

1、第4课时导数与函数的零点I考点聚焦突破I分类讲练.以例求法考点一判断零点的个数【例1】(2019合肥质检)已知二次函数f(x)的最小值为4,且关于x的不等式f(x) < 0 的解集为x| 1 0x& 3,x C R.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x) = f(x)-4ln x的零点个数.x解(1).f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)&0的解集为x| 1&x&3,xC R, .,设 f(x) = a(x+ 1)(x- 3) = ax2 2ax 3a,且 a>0.- f(x)min = f(1) = 4a= 4,a= 1.故函数

2、f(x)的解析式为f(x) = x22x 3.x2 2x 33(2)由(1)知 g(x)= x 4ln x=xx 4ln x-2, 34(x1) (x3)；g(x)的止乂域为(0, + °°),g 乂)=1 +x =x2，令 g'x) = 0,得 x=1,x2=3.当x变化时,g 'x),g(x)的取值变化情况如下表：x(0,1)1(1,3)3(3,+ 却gx)十0一0十g(x)/极大值N极小值当 0<x<3 时,g(x)&g(1) = 4<0,当 x>3 时,g(e5)=e5备一20 2>25 1 22=9>0.

3、又因为g(x)在(3, + °°)上单调递增，因而g(x)在(3, + oo)上只有1个零点，故g(x)仅有1个零点.规律方法利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g'x)易求,g'x)=0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解 利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势) 等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数.利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研 究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的 个数.【训练11已

4、知函数f(x)=ex1,g(x) = X+x,其中e是自然对数的底数，e=2.718 281(1)证明：函数h(x) = f(x) g(x)在区间(1,2)上有零点；(2)求方程f(x) = g(x)的根的个数，并说明理由.(1)证明由题意可得 h(x) = f(x) g(x) = ex1Jx x,所以 h(1) = e3<0,h(2) = e23巾>0,所以 h(1)h(2)<0,所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点.(2)解 由(1)可知 h(x) = f(x) g(x) = ex1Jxx.由 g(x) =而+x 知 xC 0, +oo),而h(0) = 0，则x=

5、0为h(x)的一个零点.又h(x)在(1,2)内有零点，因此h(x)在0,+oo)上至少有两个零点.V 1 111h x) = e 一g 2 1,记"x) = e 一艺 2 1,一 ， V1 3则|x)=e+4乂 2当 x (0, + 00)时,(|)&)>0,因此(|(x)在(0, + oo)上单调递增，易知Mx)在(0, +8)内至多有一个零点，即h(x)在0,+oo)内至多有两个零点，则h(x)在0,+oo)上有且只有两个零点，所以方程f(x)=g(x)的根的个数为2.考点二已知函数零点个数求参数的取值范围例2函数f(x)= ax+ xln x在x= 1处取得极值

6、.求f(x)的单调区问；(2)若y=f(x) m1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.解 函数f(x) = ax+ xln x的定义域为(0,+ 00).f' x) = a+ln x+ 1,因为f'(号a+1 = 0，解得a=1,当 a= 1 时,f(x)= x+xln x,即 f'x)=ln x,令 f' x)>0解得 x>1 ；令 f'x)<0,解得 0<x<1.所以f(x)在x=1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1,+ 8)，单调递减区间为(0,1).(2)y= f(x)m1在(0, + oo)内有

7、两个不同的零点，可转化为丫=*乂)与丫= m+1图象 有两个不同的交点.由知,f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增力(x)min=f(1)= 1,由题意得,m + 1> 1,即m>2,当 0<x<e 时,f(x) = x( 1 + ln x)<0 ；当 x>e 时,f(x)>0.当 x>0 且 x 0 时,f(x)一0；当 x- 十 00 时，显然 f(x) 一+ 00.由图象可知，m+1<0,即m<1,由可得一 2<m<1.所以m的取值范围是(一2, 1).规律方法与函数零点有关的参数范围问题，往往利

8、用导数研究函数的单调区问和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系， 进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.【训练2已知函数f(x)=ex+ax a(aCR且aw0).(1)若f(0) = 2,求实数a的值，并求此时f(x)在 2,1上的最小值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围.解 由题意知，函数f(x)的定义域为R,又 f(0) = 1 a=2,得 a= 1,所以 f(x) = exx+1,求导得 f x)i = ex-1.易知f(x)在 2,0上单调递减，在0,1上单调递增,所以当x=0时,f(x)在2,

9、1上取得最小值2.(2)由(1)知 f' x) = ex+ a,由于 ex>0,当a>0时,f'x)>0,f(x)在R上是增函数,当 x>1 时,f(x)= ex + a(x1)>0；, 一一 1当x<o时，取x=&,则 f1一 a,<1 + a1 11 i= a<0.所以函数f(x)存在零点，不满足题意.当 a<0 时，令 f' 乂) = 0,得乂= ln(-a).在(8jn( a)上f x)<0,f(x)单调递减，在(ln (a), + 8)上f x)>0,f(x)单调递增，所以当x=ln(

10、a)时,f(x)取最小值.函数 f(x)不存在零点，等价于 f(ln( a) = eln(a)+aln( a) a= 2a+aln(a)>0,解 得一e2<a<0.综上所述，所求实数a的取值范围是(e2,0).考点三函数零点的综合问题【例3】 设函数f(x) = e2x aln x.(1)讨论f(x)的导函数f' x)零点的个数；(2)证明：当 a>0 时,f(x)2a+aln 2. a解 f(x)的定义域为(0,+8)f x)= (ex ex) - (alnx)2 2e2xa(x>0). x当a0 0时,f 'x)>0f x)没有零点；当a

11、>0时，因为v= e2x单调递增,y=：单调递增，所以f'x)在(0, + 8)上单调递增.a . 一 1又f'a)>0,假设存在b满足0<b<a时,且b<1f b)<0,故当a>0时f x)存在唯一零点.证明 由(1)，可设f'x)在(0,+oo)上的唯一零点为xo,当 xC (0,X0)时,f' x)<0;当 xC (xo, + °°)B f x)>0.故f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+ 00)上单调递增，所以当x=x0时,f(x)取得最小值，最小值为f(xo).由于 2

12、e2x0_xa=o,所以 f(x0)=； + 2axo + aln ->2a+aln -.2xoaa故当 a>0 时,f(x)2a+ aln 1.规律方法1.在中，当a>0时,f'x)在(0, + oo)上单调递增，从而f，x)在(0,+8)上至多有一个零点，问题的关键是找到b,使f'b)<0.2.由知，函数f' x)存在唯一零点xo,则f(xo)为函数的最小值，从而把问题转化为证一2明 f(xo)>2a+aln J【训练3】(2018东北三省四校联考)已知函数f(x) = ln x- x- m(m< 2,m为常数).一 711, 一

13、 一(1)求函数f(x)在 匕e的取小值； e 1设x1,x2是函数f(x)的两个零点，且x1<x2,证明：x1 x2<1. 一, 1 x _(1)解 f(x) = ln x x m(m<2)的止义域为(0, 十 °°),且 f x) = = 0,. . x= 1. x当 x (0,1)时f x)>0,所以 v= f(x)在(0,1)递增;当x (1,+8)时f x)<0,所以y= f(x)在(1,+8)上递减.L . 11.且 f G尸1 一 1 m,f(e)= 1-e- m,11因为 f ；Hf(e)=-2-+ e>0, ee71函数

14、f(x)在，e的取小值为1 e m. i_e(2)证明 由(1)知 x1,x2满足 In x- x- m=0,且 0<为<1,股>1,In x1 x1 m= In x2 x2 m= 0,由题意可知 ln X2X2=m< 2<ln 2 2.又由可知f(x) = ln x- x在(1, + °°)递减，故X2>2,则 f(xi)-f芦in xlxlM53=in x2 x2 in1-1x2 x2x2 + + 2ln x2. x2人1令 g(x) = x + -+ 2ln x(x>2), xi ，,1则 g x)= 1 x2十2 x2+ 2

15、x 1 (x 1)2-<0,当x>2时,g(x)是减函数,3所以 g(x)<g(2) = -2+ln 4.333e22.562因2 in 4= ln->ln-4-= in=in1.63 4.096 . .八 ln-4->ln 1=0,g(x)<0,一一1所以当 x>2 时,f(x1) f ：<0, x2_1即 f(x1)<f x2.一一 1因为0<x1,一<1,f(x)在(0, + oo)上单调递增. x21 一所以 x«x2，故 x1x2<1.反思与感悟思维升华1 .解决函数v= f(x)的零点问题，可通过求导

16、判断函数图象的位置、形状和发展趋势， 观察图象与x轴的位置关系，利用数形结合的思想方法判断函数的零点是否存在及 零点的个数等.2 .通过等价变形，可将“函数F(x) = f(x)g(x)的零点”与“方程f(x)=g(x)的解”问题相互转化.易错防范函数y=f(x)在某一区间(a,b)上存在零点，必要时要由函数零点存在定理作为保证I分层限时训练!雪H甥霞雪|雪霆IH雪野层训练震握衽能密基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1 .已知函数f(x)的定义域为1,4,部分对应值如下表：A.1B.2D.4x-10234f(x)12020f(x)的导函数y=f'x)的图象如图所示.当1<

17、;a<2时，函数y= f(x)a的零点的个数为解析根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y= f(x)的大致图象如图所示.4.【参考答案】D2 .(2019 武汉调研)已知 f(x) = ex ax2.命题p： ?a>1,y= f(x)有三个零点，命题q： ?aC R,f(x)&0恒成立.则下列命题为真命题的是()A.pAqB.(B p)A(B q)D.pA 倒 q)C.倒 p)Aq 解析 对于命题p：当a=1时,f(x) = ex x2,在同一坐标系中作出y=ex,y=x2的图 象(图略)，由图可知v= 6>'与y= x2的图象有1个交点，；f(x) =

18、 exx2有1个零点，故命题p为假命题，= f(0)= 1, .,命题q显然为假命题.故倒p)A俾q)为真.【参考答案】B二、填空题3 .直线x=t分别与函数f(x)=ex+1的图象及g(x) = 2x 1的图象相交于点A和点B,则AB|的最小值为.解析由题意得，|AB|=|et+1 (2t1)|= |et2t+ 2|，令 h(t) = et 2t+2,则h't)(= et 2,所以h(t)在(-oo,in 2)上单调递减，在(ln 2,+ 8)上单调递增，所以 h(t)min=h(ln 2)=4 2ln 2>0,即|AB|的最小值是4 2ln 2.【参考答案】4 2ln 2ax

19、 a4 .若函数f(x) = +1(a<0)没有零点，则实数a的取值范围为.e物炸 u X aex (ax a) ex-a (x 2)解析 f x)= 2x =x-一(a<0).ee当 x<2 时f x)<0;当 x>2 时,f'x)>0,a当 x = 2 时,f(x)有极小值 f(2) = a2+1.ea若使函数f(x)没有零点，当且仅当f(2)=e2+1>0,解之得a> e2,因此e2<a<0.【参考答案】(e2,0)三、解答题5.(2019保定调研)已知函数f(x)=|x3-ax2-ax-2的图象过点A,50)(1)求函

20、数f(x)的单调递增区问；(2)若函数g(x) = f(x) 2m+3有3个零点，求m的取值范围.解(1)因为函数f(x) = 6x3-ax2-ax-2的图象过点A, 130)所以二- 一 4a4a 2 =可,解彳3a= 2, 33即 f(x) = 3x3 2x2 2x 2,所以 f'x)=x 3_ 设 h(x) = p + x(x>0),x 2.由 f'x)>0,得 x< 1 或 x>2.所以函数f(x)的单调递增区间是(一oo, 1),(2,+ oo).(2)由(1)知 f(x)极大值=f( 1)=4一2 2=-, 3 26f(x)极小值=f(2)

21、= § 2 4-2= 一 当， 33由数形结合，可知要使函数g(x)= f(x) 2m+ 3有三个零点，贝 U-16<2m3<-5,36解得一6<m<12.所以m的取值范围为6，12 j6.设函数f(x) = ln x+ m(m>0),讨论函数g(x) = f'x)微零点的个数. x3x 1 m x解 函数 g(x) = f x) 3=xf 3(x>0),令 g(x) = 0，得 m= -1x3 + x(x>0).3一2一.当m>,时，函数y=m和函数y= h(x)的图象无父点.3当m=2时，函数y=m和函数y= h(x)的图象

22、有且仅有一个交点.3当0<m<2时，函数y=m和函数y= h(x)的图象有两个交点.3综上所述，当m>2时，函数g(x)无零点；当m=2时，函数g(x)有且仅有一个零点；当 332 -0<m<3时，函数g(x)有两个布点.3能力提升题组(建议用时：25分钟)7.(2018江苏卷改编)若函数f(x) = 2x3 ax2+1(aC R)在区间 + )内有且只有一 个零点，求f(x)在1,1上的最大值与最小值的和.解 f'x) = 6x2 2ax= 2x(3x a)(a R),当a00时,f'x)>0在(0, + oo)上包成立，则f(x)在(0,

23、 + oo)上单调递增，又f(0) = 1,所以此时f(x)在(0, + oo)内无零点，不满足题意.当 a>0 时，由 f'x)>0 得 x>a,由 f'x)<0 得 0<x<a， 33则必在,a卜单调递减，在昌+8卜单调递增，又烟在(。,+8)内有且只有一 个零点，aa3所以 f a!= 器 + 1=0,得2= 3,32 7所以 f(x) = 2x3 3x2+1，则 f'x)=6x(x 1),当 xC (1,0)时f x)>0,f(x)单调递增，当x (0,1)时f x)<0,f(x)单调递减.则 f(x)max = f(0) = 1,f( 1) = 4,f(1) = 0,则f(x)min = 4，所以f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为一3.8.已知函数f(x)=ax+ ln x,其中a为常数.当a= 1时，求f(x)的单调递增区问；1当0< 一g<3时，若f(x)在区间(0,e)上的最大值为一3,求a的值; a当a= 1时，试推断方程f(x)| = lnx+ 2是否有实数根. x 4解 由已知可知函数f(x)的定义域为x|x>0,1 x当 a= 1 时,f(x)= x+ ln x(x&g