一元二次方程之判别式法与韦达定理

1、实用文档一元二次方程之判别式法与韦达定理(一)知识点梳理一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a、b、c属于R, aw0)根的判别， =b2-4ac ,不仅用来 判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积， 求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解 一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。1、一元二次方程根的判别式：,：=b2 -4ac(1)当A> 0时之 方程有两个不相等的实数根；(2)当

2、A =0时。方程有两个相等的实数根；(3)当A < 0时y方程没有实数根，无解；(4)当A >。时之 方程有两个实数根(5)根的判别式= b24ac的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。2、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)：2 . 一b(1)右x1, x2是一兀二次万程ax + bx + c = 0的两个根，那么：x1 + x2 = -一，acx1 x2 =一 a(2)以两个数x1,x2为根的一元二次方程 (二次项系数为1)是：x2 (x1+ x2)x + x1x2 = 03、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着

3、广泛的应用：(1)已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。(2)不解方程，求某些代数式的值。(3)已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。(4)已知两数和与积，求这两个数。(5)二次三项式的因式分解。0注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件0。a : 0例题讲解例1、当k为何值时，关于x的方程x2 (2k1 )x = k2+2k+3：两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根。例2、m为何值时，关于x的方程mx2-3mx+m+5 = 0有两个相等的实数根？并 求出这时方程的根。例3、已知方程x2 +3x -1 = 0的两实数根为口、P,不解方程求下列各式的值。(1) o

4、t2+P2; (2) ot3P+otP3; (3) ;a P(4) y1淖1); (5) a -P; (6) 3口2+4日2+3日2例4、 已知关于x的方程x (k+2)x+2k=0(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根。(2)若等腰三角形的一边长为 1,另两边长恰是这个方程的两个根，求三角形的周长。文案大全走进中考专题训练一、填空题：1 .关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0的两根为xi, X2,则xi+X2=, xiX2= ；若方 程 x2+px+q=0 的两根为 ot,P,则 ctP =, a + P =。2,若方程 2x(x+3)=1的两根分别为xi,x2,则 xi+x2

5、=,xix2=,xi2x2+ xix22=,2 244xi + x 2 =, + =oxix23 .关于x的一元二次方程2x2 _3x_a2 +i=0的一个根为2,则a的值为。4 .已知一元二次方程 x2-ax-2a =0的两根之和为4a3,则两根之积为 。5 .当m 时，一元二次方程 x2 4x-m=0有实根；当 m 时，两根同为正；当m时，两根异号。一i i . 一6 .以，为根的一元二次方程为 。237 .已知xi, x2是方程x2 +6x+3 = 0的两个实数根，则 上 +曳的值为。 xi x28 .如果一元二次方程 x2 mx + 6 = 0的两个根分别比一元二次方程y2 + my

6、+ 6 = 0的两个根均大5,则m的值为。二、解答题：9 .不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：22(i) -2x 3=0(2) x -7x-3=0(3) 3x(x-2)=5i0. k取何值时，方程kx2- (2k+i) x+k=0, (i)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等 的实数根；(3)无实数根.11 .已知关于x的方程x2 +(m+2)x+2m_1=0 .(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解。12 .已知关于x的方程x2 -(2m+1)x+m2-4 = 0,如果方程的两个不相等的实数根的平 方和等于15,求m的值

7、。13 .已知关于x的一元二次方程 x22xa=0.(1)如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；112, ,一(2)如果此方程有两个实数根为 x1, x2,且满足_2 ,求a的值。14 .设xb x2是关于x的一元二次方程x2+2ax十a2+4a - 2 = 0的两个实数根，当 a为22何值时，x1 +x2有最小值？最小值是多少？自我检测1 .方程（m+2 x 1 m" +3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）A. mr ± 2B. m=2C. m=- 2D. m=± 22 .已知关于x的方程x2- （mi 3） x+m2=0有两个不相等的实数根，

8、则m的最大整数值4是（）A. 2B. 1C. 0D. - 13 . k为实数，则关于 x的方程x2+2 （k+1） x+k1=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定4,已知关于x的方程（2m1） x2- 8x+4=0有两个实数根，则非负整数m的值为（）A. 1B, 2C. 1 或 2D, 0、1、25 .对任意实数 m关于x的方程（m2+1） x22mx+m+4=0一定（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定6 .若关于x的一元二次方程kx22x+1=0有实数根，则k的取值范围是（）A. k<1B, k&

9、lt;1C. k<1 且 kw0 D. kW1 且 kw。7 .若方程3x2 ax+2b =0的两根和为4,积为一2,则a, b分别为（）A. 12 与-3B . 4 与3 C. 12 与3D . 4 与38 .已知一元二次方程 ax2+bx+c=0,若a+b + c = 0 ,则该方程一定有一个根为（）9 .试证明：关于 x的方程（a2 8a+20） x2+2ax+1=0,不论a取何值，该方程都是一元二次 方程.一元二次方程之判别式法与韦达定理（二）走进中考专题训练一、填空题1 .若方程（m- 1） x1m1 +1 2x=3是关于x的一元二次方程，则 m=2 .对于方程（m- 1）x2

10、+ （m+1） x+3m+2=0,当m时，为一元一次方程；当 m时为一元二次方程.3 . 一元二次方程 ax2+bx+c=0至少有一个根为零的条件是 .5 .如果m为任意实数，则一元二次方程x2mx+1 n2+m+2 =0的解的情况是 .236 . k<1时，关于x的方程2 （k+1） x2+4kx+2k 1=0的根的情况是 .7 .若x=a （aw2）是关于x的一元二次方程（k1） x2+2kx+k+3=0的一个实数根，则 k的 取值范围是.8 .若关于 x的方程（m 1） x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根，则A =,贝U m的取值范围是 .二、选择题9 .方程（m+2）x

11、 1 ml +3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）A .± 2B. m=2C. m=- 2D. m=± 210 .已知关于x的方程lx2 （ m 3） x+m2=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值4是（）A . 2B. 1C. 0D. - 111 . k为实数，则关于 x的方程x2+2 （k+1） x+k1=0的根的情况是（）A.有两个不相等白实数根 B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定12 .已知关于x的方程（2m-1） x28x+4=0有两个实数根，则非负整数m的值为（）A. 1B, 2C. 1 或 2D. 0、1、213 .对任意实数 m关于x

12、的方程（R+1） x22mx+m+4=0一定（）A.有两个不相等白实数根 B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定14 .已知关于x的方程（b+c） x2+ <2 （ac） x 3 （a c） =0有两个相等的实数根，则4以a、b、c为三边长的三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.不能确定15 .若关于x的方程x2- （ J2k +4 ） x+k=0有两个不相等的实数根，则化简k+2+ v'k2 -4k+4 的值为（）A. 4B. 2kC. - 4D. 2k16 .若关于x的一元二次方程 kx22x+1=0有实数根，则k的取值范围是（）A. k<

13、1B. k< 1 C. k<1 且 kw0 D. k<1 且 kw0三、解答题17 .解关于 x 的方程 2x2+ (3mi-n) x 2m2+3mn- n2=0.18 .若两个关于 x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0有一个公共根，求 a的值.19 .试证明：关于 x的方程(a28a+20) x2+2ax+1=0,不论a取何值，该方程都是一元二次 方程.21 .方程x2- (k+1) x+1k=0能否有相等的实数根.若有请求出来.4 21122 .已知一兀一次方程(ab 2b) x +2 (b a) x+2aab=0有两个相等的头数根，求 一十 a b的值.自我检测

14、1.下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（A.x2 2x _3 =0 B.2x 2x 3 = 0C.2x2-2x-3 = 0 D.23x 6x 1 = 02.如果一元二次方程x2 +3x2 = 0的两个根为X、x2 ，那么x1 + *2与x1x2的值分别为D.A. 3,2B.3,-2C. 3, -2 -3, 223 .如果万程2x 6x + 3 = 0的两个实数根分别为 xP x2 ,那么x1x2的值是A. 3B. -3C. -3D.-224 .如果x1、x2是方程x2 3x+1 = 0的两个根，那么 的值等于（xix2A. -3B. 3C.D.5 .已知关于x的方程x2 （k+2）x+6 k =0有两个相等的正实数根， 则k的值是（A. 2B. -10C. 2 或10 D. 2<56 .若方