二元一次不等式与平面区域

1、4 简单线性规划4.1 二元一次不等式（组）与平面区域 一名刚参加工作的新员工为自己制定的用餐标准一名刚参加工作的新员工为自己制定的用餐标准是每月是每月最少支出最少支出240240元，又知其他费用每月最少支元，又知其他费用每月最少支出出180180元，而每月可用来支配的资金为元，而每月可用来支配的资金为500500元，这名元，这名新员工可以如何使用这些钱？新员工可以如何使用这些钱？问题：问题：应该用什么不等式模型来刻画呢？应该用什么不等式模型来刻画呢？ 思考思考 如何在平面直角坐标系中，确定不等式组表示如何在平面直角坐标系中，确定不等式组表示的区域？请进入本节课的学习！的区域？请进入本节课的学

2、习！1.1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）会从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）. .2.2.了解二元一次不等式的几何意义了解二元一次不等式的几何意义. .（重点）（重点）3.3.会用平面区域表示二元一次不等式（组）会用平面区域表示二元一次不等式（组）. .( (难点）难点）思考：思考：平面直角坐标系中平面直角坐标系中, ,哪些点满足不等式哪些点满足不等式x y? ?在平在平面直角坐标系中，以二元一次方程面直角坐标系中，以二元一次方程y= =x的解为坐标的点的解为坐标的点的集合是经过原点的一条直线的集合是经过原点的一条直线l，它将直角坐标平面分，它将直角坐标平面分成三部分成三部分,

3、 ,即自身和它的两侧即自身和它的两侧. .在直在直线线l上任意一点的坐标（上任意一点的坐标（x,y）都满）都满足足y=xy=x，那么直线，那么直线l下方的任意一点下方的任意一点的坐标的坐标( (x,yx,y) )有什么特点？有什么特点？xyol:y=x探究点探究点1 1 二元一次不等式与平面区域二元一次不等式与平面区域提示：提示：在直线在直线l上任取一点上任取一点, ,如点如点A(1,1),A(1,1),过过A A作与作与y y轴轴平行的直线平行的直线l1, ,l1上所有点的横坐标都是上所有点的横坐标都是1 1，xyol:y=xA(1,1)在在l1 上，取上，取A A的下侧一点的下侧一点, ,

4、如如A A1 1(1,-1),(1,-1),显然它的横坐显然它的横坐标大于纵坐标，满足不等式标大于纵坐标，满足不等式xy.A1 (1,-1)l1不难看出，在不难看出，在l1上，点上，点A A下侧的任意一点的坐标（下侧的任意一点的坐标（x,yx,y）都满足不等式都满足不等式xy.xy.由于由于A A可在直线可在直线l上任取，所以在直线上任取，所以在直线l下方的任意一下方的任意一点的坐标（点的坐标（x,yx,y）都满足不等式）都满足不等式xy.xy.同样地，在直线同样地，在直线l上方的任意一点的坐标（上方的任意一点的坐标（x,yx,y）都满）都满足不等式足不等式xy.xyy所表示的图形是直线所表示

5、的图形是直线l下下方的平面区域，而集合方的平面区域，而集合(x,y)|xx,y)|xy0;0;(3)(3)直线直线l左上方的平面区域内的点左上方的平面区域内的点( (x,yx,y) )满足满足x-yx-y0.xy0;0;(3)(3)直线直线l另一侧的平面区域内的点另一侧的平面区域内的点( (x,yx,y) )的坐标满足的坐标满足ax+by+cax+by+c0;00表示这一直线表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当哪一侧的平面区域，特殊地，当c0c0时常把原点作为此特时常把原点作为此特殊点殊点. .想一想：想一想：x,yx,y的系数对二元一次不等式表示的区域位的系数对二元一次不等式表示的区域位

6、置有何影响？填下面的空置有何影响？填下面的空. .提示：提示：Ax+By+CAx+By+C00表示的平面区域与直表示的平面区域与直线线Ax+By+CAx+By+C=0=0的关系的关系Ax+By+CAx+By+C00A0A 0A 0B0B 0B 0 x2y+60表示的区域在直线表示的区域在直线x2y+6=0 x2y+6=0的的( )( )A.A.右上方右上方 B.B.右下方右下方 C.C.左上方左上方 D.D.左下方左下方B B【变式练习变式练习】画出不等式画出不等式2 2x xy y6060表示的平面区域表示的平面区域解析：解析：先画直线先画直线2 2x xy y6 60(0(画成虚线画成虚线

7、) )取原点取原点(0,0)(0,0)，代入，代入2 2x xy y6 6，因为因为2 20 00 06 66060，所以原点在所以原点在2 2x xy y6060表示的平面表示的平面区域内，不等式区域内，不等式2 2x xy y6060表示的区域如图阴影部分所示表示的区域如图阴影部分所示2x+y-6=02x+y-6=0【变式练习变式练习】提醒：提醒：一般地，把直线一般地，把直线l: :ax+ +by+ +c=0=0画成实线，表示平面区画成实线，表示平面区域包括这一边界直线；若把直线画成虚线，则表示域包括这一边界直线；若把直线画成虚线，则表示平面区域不包括这一边界直线平面区域不包括这一边界直线

8、. .探究点探究点2 2 二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域思考思考1.1.二元一次不等式组表示的平面区域是各个不二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集还是并集？等式表示的平面区域的交集还是并集？提示：提示：由于所求平面区域的点的坐标要同时满足不由于所求平面区域的点的坐标要同时满足不等式组中的每一个不等式，因此二元一次不等式组等式组中的每一个不等式，因此二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集集. .思考思考2.2.每一个二元一次不等式组都能表示平面上的每一个二元一次不等式组都能

9、表示平面上的一个区域吗？一个区域吗？提示：提示：不一定，当不等式组解集为空集时，不等式不一定，当不等式组解集为空集时，不等式组不表示任何平面区域组不表示任何平面区域. .例例3 3：画出以下不等式组表示的平面区域：画出以下不等式组表示的平面区域. .分析：分析：不等式组表示的平面区域是不等式不等式组表示的平面区域是不等式, , ,所表示的平面区域的公共部分所表示的平面区域的公共部分. .Oxy2x-y=011x=2x+y-1=0解解 不等式表示直线不等式表示直线x+y-1=0 x+y-1=0的上方的上方( (包括直线包括直线) )的平面的平面区域区域; ; 不等式表示直线不等式表示直线x-yx

10、-y=0=0下方下方( (包括直线包括直线) )的平面区域的平面区域; ; 不等式表示直线不等式表示直线x=2x=2左方左方( (包括直线包括直线) )的平面区域的平面区域. .所以所以, ,原不等式组表示原不等式组表示上述平面区域的公上述平面区域的公共部分共部分. .解析：解析：不等式不等式xy20表示直线表示直线xy20及其右下方的点的集合，及其右下方的点的集合，不等式不等式x2y6表示直线表示直线x2y60左下方的点的集合，不等式左下方的点的集合，不等式x0表示表示y轴及轴及y轴右方的点的集合，轴右方的点的集合，y0表示表示x轴及轴及x轴上方的点的集合所以不轴上方的点的集合所以不等式组所

11、表示的平面区域为如图所示的阴影部分等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分【变式练习变式练习】探究点探究点3 3 二元一次不等式组表示实际问题二元一次不等式组表示实际问题思考思考1.1.用二元一次不等式组表示实际问题的实质是什用二元一次不等式组表示实际问题的实质是什么？么？提示：提示：二元一次不等式组表示实际问题的实质就是将二元一次不等式组表示实际问题的实质就是将实际问题中的不等关系用不等式组表示出来实际问题中的不等关系用不等式组表示出来. .思考思考2.2.用二元一次不等式组表示实际问题中不等关系用二元一次不等式组表示实际问题中不等关系的依据是什么？的依据是什么？提示：提示：可依据实际问题

12、中有关的限制条件或由问题中可依据实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义列出所有不等式所有量均有实际意义列出所有不等式. .该厂有工人该厂有工人200200人人, ,每天只能保证每天只能保证160kWh160kWh的用电额度的用电额度, ,每天用煤不得超过每天用煤不得超过150t,150t,请在直角坐标系中画出每天甲请在直角坐标系中画出每天甲乙两种产品允许的产量范围乙两种产品允许的产量范围. .品种品种电力电力/ / kWhkWh煤煤/t/t工人工人/ /人人甲甲2 23 35 5乙乙8 85 52 2例例4 4 一工厂生产甲乙两种产品一工厂生产甲乙两种产品, ,生产每吨产品的资源

13、生产每吨产品的资源需求如下表需求如下表: :解解 设每天分别生产甲乙两种产品设每天分别生产甲乙两种产品x xt t和和y yt t. .生产生产xt t的甲产品和的甲产品和yt t的乙产品的用电量是的乙产品的用电量是(2(2x+8+8y)(kW)(kWh),h),根据条件根据条件, ,有有2 2x+8y160;160;用煤量为用煤量为(3(3x+5+5y)(t),)(t),根据条件根据条件, ,有有3 3x+5+5y150;150;用工人数为用工人数为(5(5x+2+2y)()(人人),),根据条件根据条件, ,有有5 5x+2+2y200;200;另外另外, ,还有还有x0, 0, y0.0

14、.综上所述综上所述,x, y,x, y应满足以下不等式组应满足以下不等式组甲乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，甲乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，即如图所示的阴影部分即如图所示的阴影部分( (含边界）含边界）. .-2030y/tx/to20101040502030例例5 5 某市政府准备投资某市政府准备投资1 2001 200万元兴办一所中学万元兴办一所中学. .经调经调查查, ,班级数量以班级数量以2020至至3030个班为宜个班为宜, ,每个初、高中班硬件每个初、高中班硬件配置分别为配置分别为2828万元和万元和5858万元万元. .将办学规模将办学规模( (

15、初、高中班初、高中班的班级数量的班级数量) )在直角坐标系中表示出来在直角坐标系中表示出来. .解：解：设初中设初中x个班个班, ,高中高中y个班个班, ,此时办学所需资金为此时办学所需资金为(28(28x+58+58y) )万元万元. .市政府准备投资市政府准备投资1 2001 200万元万元, ,则则2828x+58+58y1 200;1 200;班级数量是非负整数班级数量是非负整数, ,且要满足且要满足2020 x+ +y3030，即满足即满足【变式练习变式练习】投资生产投资生产A A产品时，每生产产品时，每生产100100吨需要资金吨需要资金200200万元，万元，需场地需场地2002

16、00平方米；投资生产平方米；投资生产B B产品时，每生产产品时，每生产100100米米需要资金需要资金300300万元，需场地万元，需场地100100平方米现某单位可使平方米现某单位可使用资金用资金1 4001 400万元，场地万元，场地900900平方米，用数学关系式和平方米，用数学关系式和图形表示上述要求图形表示上述要求消耗量消耗量产品产品资金资金( (百万元百万元) )场地场地( (百平方米百平方米) )A A产品产品( (百吨百吨) )2 22 2B B产品产品( (百米百米) )3 31 1分析：分析：先将已知数据列成表，如表所示：先将已知数据列成表，如表所示：然后根据此表设未知数，

17、列出限制条件，最后作图即可然后根据此表设未知数，列出限制条件，最后作图即可1不等式不等式2xy50表示的平面区域在表示的平面区域在直线直线2xy50的的()A右上方右上方B右下方右下方C左上方左上方 D左下方左下方A A解析：解析：选选A. 先作出边界先作出边界2xy50，因为这条直，因为这条直线上的点都不满足线上的点都不满足2xy50，所以画成虚线取，所以画成虚线取原点原点(0,0)，代入，代入2xy5.因为因为200550，所以原点所以原点(0,0)不在不在2xy50表示的平面区域内，不等式表示的平面区域内，不等式2xy50表示的区域如图所示表示的区域如图所示(阴影部分阴影部分)，即在直，即在直线线2xy50的右上方的右上方2.2.不等式不等式3x+2y63x+2y60 0表示的平面区域是（表示的平面区域是（ ）D D yO Ox xyO Ox xyO Ox xyO Ox xA A B BC CD DB B4 4由直线由直线x x