基本图形面积的变式教学思考

1、基本图形面积的变式教学思考 【主题摘要】基本图形面积计算公式的推导一直是图形与几何领域中一个基础的关键点，非常考验学生的理解能力，思维跳跃比较大，教与学有一定的难度，学生练习的出错率也是相当高。如何进行基本图形面积计算公式推导的教学呢？根据教材编写的顺序，几十年下来都是按“平行四边形面积计算公式推导三角形面积计算公式推导梯形面积计算公式推导” 的惯式流程开展教学的。一次偶然的学习培训中，唐彩兵老师提出可以把梯形面积计算公式的推导作为平行四边形和三角形面积计算公式推导的基点，想想也有一定的道理。在教学中进行了变式教学的尝试。【关键词】基本图形面积 公式推导 变式教学 对比思考【正文】当听到这一观

2、点的时候，细细琢磨也挺有意思的，非常在理。既关注孩子的思考能力，更关注孩子的思考方法，特别是推导的能力。所以在两个班的教学过程中我采用了两种推导顺序的对比教学，感受颇多。 片段一：（梯形面积探索）（一）引入环节师：我们来看大屏幕（出示一个长方形），谁来说说看长方形的面积计算方法？生：长方形面积长×宽 字母公式：Sab师：今天，我们来探索梯形的面积计算方法（边说边课件出示直角梯形和等腰梯形）。师：梯形面积的计算方法从来没接触过，有什么困难吗？生：老师，可以把梯形转化成为已经学过的图形。师：我们已经学过哪些图形的面积计算？生：长方形（正方形）师：非常棒,善于思考！（板书：转化为长方形）（

3、二）探索环节1.师：那么怎么转化呢？根据你手中的学具，小组之间进行尝试探索。生（小组合作）师（巡视指导）2.小组之间交流汇报。方法一：两个相同的直角梯形可以拼成一个长方形。（学生能够合作完成） 上底与下底的和相当于拼成的长方形的长； 高相当于拼成的长方形的宽 根据长方形面积计算公式，可以把这个长方形的面积写成：长方形面积=长 × 宽=（上底下底）× 高 这个梯形面积正好是这个长方形的一半。推导出公式：梯形面积=（上底下底）× 高÷2方法二：把等腰梯形通过割补转化成一个长方形。（学生能够合作完成） 通过割补把长方形割补转化成一个长方形，长方形的长相当于上底

4、与下底和的一半。即：长（上底下底）÷2； 长方形的宽相当于梯形的高； 这个梯形面积这个长方形面积 长 × 宽 （上底下底）÷2× 高 （上底下底）× 高÷2方法三： 把直角梯形通过割补成一个长方形。（预设：课件演示） 沿直角梯形高的一半通过割补成一个长方形； 长方形的长相当于梯形的（上底下底） 长方形的宽相当于高的一半。即：高÷2 这个梯形面积这个长方形面积 长 × 宽 （上底下底）× 高÷2方法四：把一个普通梯形通过割补转化成一个长方形（预设：课件演示）。通过割补把一个普通梯形转化成一个长方形

5、。长方形的长相当于上底与下底和的一半。即：长（上底下底）÷2；长方形的宽相当于梯形的高； 这个梯形面积这个长方形面积 长 × 宽 （上底下底）÷2× 高 （上底下底）× 高÷23.尝试练习（略）片段二：（平行四边形面积探索）（一） 引入环节1. 复习梯形面积计算公式2. 梯形面积练习（数据简单，适合口算）（二） 探索环节1. 师：今天，我们探索平行四边形的面积计算（课件出示一个平行四边形）。2. 对比梯形和平行四边形的特点（课件）梯形：只有一组对边平行的四边形。平行四边形：两组对边分别平行且相等的四边形。师：通过延长梯形的上底，使它与

6、下底一样长，就变成了？生：平行四边形！（齐答）3. 方法探索，学生思考教师课件动态演示，学生观察思考：通过延长梯形的上底，使它与下底一样长，就变成了一个平行四边形。 上底下底，刚好是平行四边形的底 梯形的高平行四边形的高 梯形面积 平行四边形面积（上底下底）×高÷2（底底）×高÷2（上底下底）2底×高÷2（相互抵消）底×高（三）练习环节（略）片段三：（三角形面积探索）（一） 引入环节1. 复习梯形、平行四边形面积计算公式和推导过程。2. 基本练习，（数据简单，适合口算）（二） 探索环节1.师：我们探索了梯形和平行四边形面积，

7、今天我们来探索三角形的面积。当梯形的上底逐渐缩小，最后成为一个点，这时梯形变成了什么图形？生：三角形。3. 课件演示，学生观察思考4. 小组讨论，该怎么推导三角形的面积?5. 汇报交流把三角形看成是上底为0的梯形，我们可以发现：上底0 梯形下底=三角形的底梯形面积 三角形面积 （上底下底）×高÷2（0底）×高÷2 （下底底）底×高÷2以上3个片段是我在基本图形面积推导过程中进行的一次顺序颠覆式的教学尝试，以梯形面积为突破口，通过把梯形转化成已经学过的长方形，进行梯形面积公式的推导。根据梯形与平行四边形及三角形的特殊关系（平行四边形可以

8、看成上下底相等的梯形，三角形可以看成上底为0的梯形），以梯形面积公式为基点，推导出平行四边形和三角形面积计算公式。两个班的对比教学，收获挺多的。一、尝试教学后的思考：由于整个面积公式的推导进行了一次颠覆性的尝试教学，打破了教材中的教学顺序，两个班进行了两种截然不同的教学形式，许多东西发生了改变。一变是教学基点发生根本性的变化（惯式教学）主要以平行四边形面积为教学基点，以三角形面积推导为例，推导的主体是“两个相同的三角形可以拼成一个平行四边形”。我们可以看一下教材中的导图：引语：怎样把三角形转化成我们已学过的图形呢？教材中给我们提供两种方法都是借助平行四边形的平台来进行三角形面积的推导。方法一：

9、两个相同的三角形可以拼成一个平行四边形。明确两个图形见等底等高的关系，提出“三角形面积是与其等底等高的平行四边形面积的一半”的结论，根据平行四边形面积公式推导出“三角形面积底×高÷2”。方法二：沿三角形高的一半把三角形进行割补转化成一个平行四边形。提出“这个三角形与这个平行四边形面积相等”的结论，直接借助“平行四边形面积底×高”进行推导，因为这个平行四边形的底就是三角形的底，高就是三角形（高÷2）推导出“三角形面积底×高÷2”。学生只要弄明白三角形与平行四边形之间在“底”和“高”上的关系，借助“平行四边形面积底×高”就OK了

10、。（变式教学）主要以梯形面积为教学基点，同样以三角形面积推导为例，推导的主体是“三角形可以看成上底为0的梯形”。课件动态演示，移动上底的一个点，当两点重合时梯形变成了一个三角形，可以把“三角形看成上底为0的梯形”。寻找两个图形之间底和高之间的关系，梯形下底就是三角形的底，梯形高就是三角形的高。借助“梯形面积=（上底下底）×高÷2”进行三角形面积推导。三角形面积=（上底下底）×高÷2 =（0底）×高÷2 =底×高÷2两种教学基点相对比，就三角形面积公式的推导而言，以梯形面积为基点的推导方式更胜一筹。二变是推导的思维形

11、式上发生变化两种基点的推导方式犹如两条分支，在不同的推导方法中，在思维形式上发生了根本性变化。同样以三角形面积推导为例：（惯式教学）惯式的推导方法的侧重点是以学生动手实践的探究性学习为主线，以演绎推理为主。引导学生通过借助学具开展小组合作，寻找三角形与平行四边形之间的显性联系为突破口，推导出三角形面积公式。方式一：动手拼一拼，转化过程具体直观。小组成员之间，用两个相同的三角形可以拼成一个平行四边形。（一般情况下多才用两个相同的锐角三角形为主，为了多样化也可以采用两个相同的直角三角形或两个相同的钝角三角形）。通过拼一拼的操作活动，寻找出两者之间的显性关系，即：这个三角形与拼成的这个平行四边形是等

12、底等高的，并且这个三角形面积刚好是这个平行四边形面积的一半。在具体操作和小组讨论基础上，进行三角形面积公式的推导。其思维形式是建立在一步步的演绎过程中，相对而言简单有效，学生的思维深度是较浅的。方式二：割与补，有深度仍直观。割与补其实就是动手剪一剪，拼一拼，相比方式一，难度上提升了不少，但仍是建立在直观操作的过程中。学生通过剪拼，把三角形转化成平行四边形，寻找高的一半这一重要条件进行推导。（变式教学）变式的推导方法的侧重点是以学生思考的推理性学习为主线，以纯数学的角度开展推导活动。如果说惯式的推导以关注学生的感性为主，那么变式更多的是关注学生理性的思考。只有一个课件动态的演示（移动上底的一个点

13、，当两点重合时梯形变成了一个三角形。） 简单的推理“把三角形看成上底为0的梯形”。借助“梯形面积=（上底下底）×高÷2”进行三角形面积推导。三角形面积=（上底下底）×高÷2 =（0底）×高÷2 =底×高÷2从实效上讲简单明了，从数学本质而言有相当的逻辑性，难度要比惯式的推导方式深许多。需要明确的是这种类似的方式在平时教学中使用频率不是很高，学生有一定的陌生感，且难度相对要高上许多，更考验学生的思维和能力，中下学生适应性稍差一些。但是作为五六年级的学生也需要多接触类似的学习方式，从心理特点发展轨迹来看，孩子的思维方式

14、逐渐从演绎推理向逻辑推理转化，同时为了学生今后的学习考虑，这样的过渡式教学可以多一些，因为其更注重数学的本质，具有更多的逻辑性，更有数学味。不变的是基本图形面积的基本练习难点主要集中在面积计算公式的推导过程中，基本图形面积计算恰恰不是教学的难点。通过对比基本图形面积的基本练习在两种顺序的推导方式下，没有发生根本性的变化，就是引导学生运用面积公式计算基本图形的面积，解决一些常见的数学问题。解题思维程序上也没有本质上的变化，即“明确公式寻找对应数据计算面积”。二、变式教学中亟需解决的问题：变式练习怎么办？由于教材是按惯式推导方式进行编排的，这么多年下来早已形成了自己完整的学习体系，有之相配套的练习

15、体系。用变式推导方式教学按惯式推导方式进行编排的教材，难免产生一些矛盾和碰撞。在变式教学中，亟需解决的问题就是惯式推导方式过程中出现的变式练习。如：两个（ ）的三角形一定能拼成一个平行四边形。如图，阴影部分的面积是18平方厘米，平行四边形的面积是（ ）平方厘米。一个平行四边形和一个三角形的底和面积都相等，平行四边形的高是3.6厘米，三角形的高是（ ）厘米。这些题目，我们在惯式推导过程中感觉不难解决，属于推导过程中重点关注的题目（学生经历过，处理游刃）。可是在变式推导过程中，学生根本没有接触过，属于两眼抓瞎，只能靠自己的理解能力强悍与否。解决策略：策略一：变式推导过程中，植入惯式推导方式。一些在

16、变式推导方式后不能解决的问题，我们可以在基本图形面积复习的时候，植入惯式的推导方式。像遇见“两个相同的三角形可以拼成一个平行四边形”这类问题时，只能用植入惯式推导方式的方法来弥补，只不过这样的处理方式给人一种“亡羊补牢”的感觉。如：从平行四边形面积到三角形面积的推导过程“两个相同的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形面积是与它等底等高平行四边形面积的一半。”或以练习的形式植入。问题“两个相同的梯形可以拼成一个（ ）。演示过程；补充推导过程，理顺两者关系。如：从梯形面积到三角形面积的推导时，我们是通过“把三角形看成是上底为0的梯形”进行三角形面积计算的推导（如图）。在变式推导过程中，也可以植入惯

17、式的推导方式。梯形通过割补变成一个三角形，这个梯形面积=这个三角形面积，三角形的底正好是梯形的（上底下底），梯形的高就是三角形的高。三角形面积=梯形面积 =（上底下底）×高÷2 =底×高÷2策略二：反其道而行之，让变式教学进行到底。在惯式推导教学中，从平行四边形到梯形，变式教学中恰恰反其道而行之，变式教学中推导方法比较单一，为了题目的需要，也可以丰富一些，让变式教学教学到底。如平行四边形面积的推导，我们把“梯形面积是等底等高平行四边形面积的一半”转化成“平行四边形面积是等底等高梯形面积的2倍”来进行推导。两个相同的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形面积刚好是这个梯形面积的2倍。高没有发生变化，（上底下底）刚好是这个平行四边形的底 平行四边形面积=梯形面积×2 =（上底下底）×高÷2×2 =底×高通过变式教学我们发