函数的内容及发展历程

1、函数的内容及发展历程班级：高二（9）班 成员：马睿、王雨佳、龙桃、杨丹、曹鹏指导教师：雍国强 完成时间：2008年8月30日文章概要：对函数的基本内容进行概括与分析，并对函数的发展史以及对函数发展有杰出贡献的数学家的功绩进行介绍。正文：历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非 凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清 晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用（一）马克思曾经认为，函数概念来源于代数

2、学中不定方程的研究由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源 （二）早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体

3、的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义。 1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来表示变量间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念

4、进行了明确定义，贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为yx。当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子，取名为解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数” 18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”，而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”现在看来这都是函数的表达方式，是函数概念的外延（三）函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾例如，偏微分方程在工程技术中有广泛应用，但由于

5、没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建立1833年至1834年，高斯开始把注意力转向物理学他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论，使得函数作为数学的一个独立分支而出现了，实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究 后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数“这个定义虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步” 在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张

6、函数不必局限于解析表达式1822年， 他在名著热的解析理论中说，“通常，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以 任何方式一个挨一个”在该书中，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数其中富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起了很大的震动原来，在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义 1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数

7、是这样的一个数，它对于每个x都有确定的值，并且随着x一 起变化函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的”这个 定义建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分 1837年，德国数学家狄里克莱（Dirichlet）认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，所以他的定义是：“如果对于x的每一值，y总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数” 根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）： f（x）= 1（x为有理数）， 0（x为无理数

8、） 在这个函数中，如果x由0逐渐增大地取值，则f（x）忽0忽1在无论怎样小的区间里，f（x）无限止地忽0忽1因此，它难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题但是不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个f（x）仍是一个函数 狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义 （四） 生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐矛盾，本世纪20年代，人类开始研究微观物理现象1930年量子力学问世了，在量子力学中需要

9、 用到一种新的函数-函数， 即（x） 0，x0， ,x=0 且 -函数的出现，引起了人们的激烈争论按照函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把“”作为数另外，对于自变量只有一个点不为零的 函数，其积分值却不等于零，这也是不可想象的然而，-函数确实是实际模型的抽象例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力从理论上讲，车 辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点x=0处的压强是 P（0）=压力接触面=10= 其余点x0处，因无压力，故无压强，即P（x）=0.另外，我们知道压强函数的积分等于压力，即 函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展

10、，产生了新的现代函数定义：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一 个函数，记为y=f（x）.元素x称为自变元，元素y称为因变元 函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却是概念上的重大发展，是数学发展道路上的重大转折，近代的泛函分析可以作为这种转折的标志，它 研究的是一般集合上的函数关系 函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形式并不意味着函数 概念发展的历史终结，近二十年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念“关系” 设集合X、Y，我们定义X与Y的积集

11、X×Y为 X×Y=（x,y）xX,yY 积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系，若（x,y）R，则称x与y有关系R，记为xRy.若（x,y）R，则称x与y无关系 现设f是X与Y的关系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）f,必有y=z，那么称f为X到Y的函数在此定义中，已在形式上回避了“对应”的术 语，全部使用集合论的语言了 从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要那么，现在的函数概念又包括什么呢？首先，函数的定义： 设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x

12、，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作 y=f(x).数集D称为函数的定义域，由函数对应法则或实际问题的要求来确定。相应的函数值的全体称为函数的值域，对应法则和定义域是函数的两个要素。数学中的一种对应关系，是从非空集合A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数 。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集 ，f是个对应法则 ， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ， 就称对应法则f是X上的一个函数，记作yf（x），称X为函数f（x）的定义域，集合y|y=f（x），xX为其值域（值域是Y的子集），x叫做 自变量，

13、y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为：定义在非空数集之间的映射称为函数。 其深度y与一岸边点 O到测量点的距离 x 之间的对应关系呈曲线，这代表一个函数，定义域为0，b。以上3例展示了函数的三种表示法：公式法，表格法和图像法。        一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量X与Y，并且对于X的每一个确定的值，Y都有为一得值与其对应，那么我们就说X是自变量，Y是X的函数。如果当X=A时Y=B，那么B叫做当自变量的值为A时的函数值。复合函数有3个变量，y是u的函数，y（u），u是x的函数，uf（x），

14、往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的函数： xuy，这要看定义域：设的定义域为U 。 f的值域为U，当U*ÍU时，称f与 构成一个复合函数 ， 例如 ylgsinx，x（0，）。此时sinx0 ，lgsinx有意义 。但如若规定x（，0），此时sinx0 ，lgsinx无意义 ，就成不了复合函数。 反函数就关系而言，一般是双向的 ，函数也如此 ，设yf（x）为已知的函数，若对每个yY，有唯一的xX，使f（x）y，这是一个由y找x的过程 ，即x成了y的函数 ，记为xf -1（y）。称f -1为f的反函数。习惯上用x表示自变量 ，故这个函数仍记为yf -1（x） ，例如

15、ysinx与yarcsinx 互为反函数。在同一坐标系中，yf（x）与yf -1（x）的图形关于直线yx对称。 隐函数若能由函数方程 F（x，y）0 确定y为x的函数yf（x），即F（x，f（x）0，就称y是x的隐函数。思考：隐函数是否为函数？因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一” 多元函数设点（x1，x2，xn） GÍRn，UÍR1 ，若对每一点（x1，x2，xn）G，由某规则f有唯一的 uU与之对应：f：GU，uf（x1，x2，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。 基本初等函数及其图像幂函数、指数函数、对数函数、三角函

16、数、反三角函数称为基本初等函数。幂函数：yx（0，为任意实数）定义域：为正整数时为（，），为负整数时是（，0）（0，）；(为整数)， 当是奇数时为（ ，），当是偶数时为（0，）；pq,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。 幂函数的一般形式为y=xa。如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x(p/q)=q次根号（

17、x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域 是0,）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(xk)，显然x0，函数的定义域是（，0)(0,).因此可以看到x所受到 的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a

18、为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.可以看到：（1）所有的图形都通过（1，1）这点。（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。（3）

19、当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。（6）显然幂函数无界。指数函数：yax（a0 ，a1），定义成为（ ，），值域为（0 ，），a0 时是严格单调增加的函数（ 即当x2x1时，） ，0a1 时是严格单减函数。对任何a，图像均过点（0，1），注意yax和y（）x的图形关于y轴对称。对数函数：ylogax（a0）， 称a为底 ，定义域为（0，），值域为（，）。a1时是严格单调增加的，0a1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数

20、与指数函数互为反函数。特别的，以10为底的对数称为常用对数 ，简记为lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。 三角函数：见表。 正弦函数sin=y/r余弦函数cos=x/r正切函数tan=y/x余切函数cot=x/y正割函数sec=r/x余割函数csc=r/y正弦函数、余弦函数如图反三角函数：见表。y=arcsin(x)定义域-1,1值域-/2,/2图象用红色线条y=arccos(x)定义域-1,1值域0,图象用兰色线条y=arctan(x)定义域(-,+)值域(-/2,/2)图象用绿色线条双曲正、余弦如图。 双曲正弦函数 双曲余弦函数双曲函数：双曲正弦（ex

21、e-x），双曲余弦（exe-x），双曲正切（exe-x）（exe-x） ，双曲余切（ exe-x）（exe-x）。 补充在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。 术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。 二次函数一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口

22、大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。x是自变量，y是x的函数二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）顶点式：y=a(x-h)2+k 抛物线的顶点P（h，k） 对于二次函数y=ax2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b2)/4a)</CA>交点式：y=a(x-x)(x-x ) 仅限于与x轴有交点A（x ，0）和 B（x，0）的抛物线其中x1，2= -b±b24ac 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a x

23、,x=(-b±b2-4ac)/2a二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当= b2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b

24、和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数= b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。= b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±b24ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在x|x<-b/2a上是减函数，在x|x>-b/2a上是增

25、函数；抛物线的开口向上；函数的值域是x|x4ac-b2/4a相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2+c(a0)二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2 +k，y=ax2+bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式： y=ax2、y=a(x-h)2

26、、y=a(x-h)2+k、y=ax2+bx+c 顶点坐标：(0，0)、 (h，0) 、 (h，k) 、(-b/2a，sqrt4ac-b2/4a) 对称轴 ： x=0 、 x=h 、 x=h 、 x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2 +k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+

27、k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了这给画图象提供了方便 2抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，4ac-b2/4

28、a) 3抛物线y=ax2+bx+c(a0)，若a>0，当x -b/2a时，y随x的增大而减小；当x -b/2a时，y随x的增大而增大若a<0，当x -b/2a时，y随x的增大而增大；当x -b/2a时，y随x的增大而减小 4抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离AB=|x-x| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）A |（A为其中一

29、点）当=0图象与x轴只有一个交点； 当<0图象与x轴没有交点当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0 5抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值 6用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a0) (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标

30、或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a0) (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a0) 7二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现一次函数I、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b（k，b为常数，k0）    则称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 II、一次函数的性质： y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即 y/x=k III、一次函数的图

31、象及性质： 1 作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。 2 性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。 3 k，b与函数图象所在象限。 当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b0时，直线必通过一、二象限；当b0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。 这时，当k0时，直线只通过一、三象限；当k0时，直线只通过第二、四象限。 IV、确

32、定一次函数的表达式： 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程： y1=kx1+b 和 y2=kx2+b。 （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 V、一次函数在生活中的应用 1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。 反比例函数 形如 ykx(k为常数且k0) 的

33、函数，叫做反比例函数。 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 反比例函数的图像为双曲线如图 。高斯函数设xR ， 用 x或int(x)表示不超过x 的最大整数，并用表示x的非负纯小数,则 y= x 称为高斯（Guass）函数，也叫取整函数。任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x= x + （0<1）复变函数复变函数是定义域为复数集合的函数。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。以复数作为自变量的函数就叫

34、做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论的发展简况复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力 学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学 时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治

35、了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典 数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，

36、涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复变函数论的内容 复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量

37、取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。 复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单 值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。 黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。 复变函数论中用几何方法来说明、

38、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所 实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。 留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积 分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简 洁。 把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。 从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常