第四章 债券价格利率敏感性、持续期与凸性

1、第四章 债券价格-利率敏感性、持续期与凸性2回顾：n债券价格的确定：3主要内容n影响债券价格-利率敏感性因素n持续期n凸性n持续期与凸性的应用影响债券价格-利率敏感性因素45利率与债券价格的关系n利率与债券价格的关系例：某10年期债券，面值为100元，票面利率为6%，每年支付两次利息。到期收益率曲线已给定（表4-1）。计算：n1、该债券的当前价格；n2、由于市场利率的变化，到期收益率曲线分别平行下降0.25%、0.5%、1%时，计算债券的此时价格；n3、由于市场利率的变化，到期收益率曲线分别平行上升0.25%、0.5%、1%时，计算债券的此时价格。6利率与债券价格的关系n解答：1、该债券的当前

2、价格为： 2、到期收益率曲线平行下降后，该债券的当前价格3、到期收益率曲线平行上升后，该债券的当前价格为：20202010)1 (100)1 (3ddttddtyyyyP2020201 0)1 (100)1 (3ddttddtyyyyP20202010)1(100)1(3yyPttt7利率与债券价格的关系n利率与债券价格的关系解答：n4、最后计算结果为：结论结论1：债券价格和市场利率呈相反的关系。利率越高，债券价格越低；利率越低，债券价格越高。利率平移-1%-0.5%-0.25%0%0.25%0.5%1%债券价格111.15107.13105.18103.29101.4499.6396.148

3、利率与债券价格的关系n利率波动、时间变化与债券价格同上例：计算：n1、到期收益率曲线不发生变化，该债券在0.5、1、1.5、2时点时的价格；n2、当到期收益率曲线分别平行下降0.25%，0.5%、1%时，该债券在0.5、1、1.5、2时点时的价格；n3、当到期收益率曲线分别平行上升0.25%，0.5%、1%时，该债券在0.5、1、1.5、2时点时的价格。9利率与债券价格的关系n利率波动、时间变化与债券价格解答：n1、到期收益率曲线不发生变化，该债券在L=0.5、1、1.5、2时点时的价格：LLLtttLyyP2202202201)1 (100)1 (310利率与债券价格的关系n利率波动、时间变

4、化与债券价格n2、到期收益率曲线分别平行下降0.25%，0.5%、1%时，该债券在L=0.5、1、1.5、2时点时的价格：n3、到期收益率曲线分别平行上升0.25%，0.5%、1%时，该债券在L=0.5、1、1.5、2时点时的价格：LddLLttddtLyyyyP2202202201)1 (100)1 (3LddLLttddtLyyyyP2202202201)1 (100)1 (311利率与债券价格的关系n利率波动、时间变化与债券价格n4、最后计算结果为：利率波动当前价格L=0.5L=1L=1.5L=2-1%111.15111.07110.95110.81110.63-0.5%107.1310

5、7.19107.23107.25107.24-0.25%105.18105.32105.43105.53105.590%103.29103.49103.67103.84103.980.25%101.44101.70101.94102.18102.390.5%99.6399.95100.26100.56100.841%96.1496.5796.9997.4297.8312利率与债券价格的关系n利率与债券价格的关系观察上表的计算结果，结论结论2：n随着时点趋向债券的期限，同样幅度的利率变化所导致的债券价格变化的速度在逐渐减小 利率敏感度与偿还期正相关。n相同幅度的利率变化，但利率所处的高低水平不同

6、，所引起的在相同时段上的债券价格的变化也不同，通常是利率水平越低时所引起的债券价格变化幅度越大。13基点价值与价格波动的收益率价值n基点价值（PVBP）债券所要求的到期收益率变动一个基点所对应的债券价格的变化额。该概念是把债券的相对价格（到期收益率的大小）转化为绝对价格（债券金额的大小），反映的是债券价格对市场利率波动的敏感程度。英文名称和简称nPrice Value of a Basis Point (PVBP)nBasis Point Value (BPV)nDV01 (Dollar Value of 0.01% Interest Rate Decrease)14基点价值与价格波动的收益率

7、价值n计算基点价值（Price Value of a Basis Point）例：某期限5年的债券，票面利率为9%，每年支付两次利息，面值为100元，平价发行。求该债券的基点价值。0396. 09604.991009604.99)2%01. 02%91 (5 .104)2%01. 02%91 (5 . 410101PVBPPtt15基点价值与价格波动的收益率价值n价格波动的收益率价值（YVPC）指债券价格发生一定金额变化（在美国，通常是一个美元的1/32）所对应的到期收益率变化的幅度。该概念把债券的绝对价格（债券金额的大小）变化转化为相对价格（到期收益率的大小）变化。英文名称: Yield V

8、alue of a Price Change16基点价值与价格波动的收益率价值n计算价格波动的收益率价值（YVPC）同上例：某期限5年的债券，票面利率为9%，每年支付两次利息，面值为100元，平价发行。求该债券价格波动的收益率价值。%008. 0%992. 8%9%992. 8)21 (5 .104)21 (5 . 432110010101YVPCyyyPtt17基点价值与价格波动的收益率价值n基点价值（PVBP）与价格波动的收益率价值（YVPC）的粗略关系n检验：0.0369*0.008% = 3.168E-06n问题：偏差原因？ 06125. 3321*%01. 0*EYVPCPVBP18

9、影响价格-利率敏感性因素n影响因素主要包括：偿还期票面利率利率水平19影响价格-利率敏感性因素n通常规律：偿还期n观察下表，同样的市场利率变化对偿还期不同的债券价格的影响如何不同？20影响价格-利率敏感性因素债券A债券B债券C年利息（每年1次）90元90元90元面额1000元1000元1000元风险无风险无风险无风险偿还期偿还期5年年10年年15年年到期收益率9%10%11%价格1000元938.55元856.18元市场利率变化+10%*y新到期收益率8.1%9%9.9%新的价格1035.84元1000元931.15元价格波动幅度+3.58%+6.55%（2.97%）+8.576%（2.01%

10、）21影响价格-利率敏感性因素n通常规律：偿还期n一般情况下，若其他因素不变，偿还期越长，债券价格的利率敏感性越大。n随着偿还期的延长，债券价格-利率敏感性的增长速度则逐渐下降。22影响债券价格-利率敏感性因素n通常规律：票面利率：n假如有下面的债券，基本情况如下表所示：债券A债券B年利息（年利息（1年年1次）次）60元元100元元面额1000元1000元风险无风险无风险偿还期10年10年到期收益率12%12%价格660.98元886.99元23影响债券价格-利率敏感性因素n通常规律：票面利率：n假如两种债券的到期收益率都变化1%，则价格变化情况如下：第一种情况第二种情况债券A债券B债券A债券

11、B新的到期收益率13%13%11%11%价格620.16837.21705.52941.95价格波动幅度-6.18%-5.61%+6.74%+6.20%24影响价格-利率敏感性因素n通常规律：票面利率n若其他因素不变，票面利率越低，债券价格-利率之间的敏感性越大。n市场利率同样幅度的上升与下降，引起债券价格波动幅度却是不同的。利率下降引起债券价格上升的幅度，要高于同样幅度的利率上升引起债券价格下降的幅度。25影响债券价格-利率敏感性因素n通常规律：市场利率：n假如有下面的债券，利率变化情况如下表所示：债券A年利息（1年1次）60元面额1000元风险无风险偿还期10年到期收益率6%价格1000元

12、26影响价格-利率敏感性因素到期收益率价格（元）波动率计算波动率2.00%1359.302.25%1332.48-1.97%(1332.48-1359.30) / 1359.303.00%1255.913.25%1231.62-1.93%(1231.62-1255.91) / 1255.914.00%1162.224.25%1140.19-1.90%(1140.19-1162.22) / 1162.225.00%1077.225.25%1057.22-1.86%(1057.22-1077.22) / 1077.226.00%1000.006.25%981.82-1.82%(981.82-100

13、0.00) / 1000.0027影响价格-利率敏感性因素n通常规律：市场利率n若其他因素不变，市场利率水平越低，债券价格-利率之间的敏感性越高。n综上结论： 偿还期越长、票面利率越低、利率水平越低，债券的价格风险越高。28影响价格-利率敏感性因素n债券价格与利率的关系影响价格-利率敏感性因素n马尔基尔 (Malkiel, 1962) ：最早系统地提出了债券定价的5个原理 。n可由上图得，定理一： 债券的价格与收益率的变动呈反向关系：当债券价格上升时，债券的收益率下降；反之，当债券价格下降时，债券的收益率上升。 定理二： 当市场预期收益率变动时，债券价格的波动与债券的到期时间成正向关系：到期时

14、间越长，价格波动幅度越大；反之，到期时间越短，价格波动幅度越小。定理三： 随着债券到期时间的临近，债券价格的波动幅度减少，并且是以递增的速度减少；反之，到期时间越长，债券价格波动幅度增加，并且是以递减的速度增加。 影响价格-利率敏感性因素定理四： 债券收益率下降导致的债券价格上升的幅度大于同等幅度的收益率上升导致的债券价格下降的幅度。换言之，对于同等幅度的收益率变动，收益率下降给投资者带来的利润大于收益率上升给投资者带来的损失定理五： 对于给定的收益率变动幅度，债券价格的波动幅度与债券的息票率与呈反向关系：息票率越高，债券价格的波动幅度越小。 影响价格-利率敏感性因素持续期（久期，Durati

15、on）3233持续期n持续期持续期包含了关于债券到期收益率、票面利率和到期时间的信息。可以量化价格对利率的敏感性。持续期是衡量债券价格风险的重要指标。34持续期n固定收益证券中的持续期：金额持续期比率持续期有效持续期利率持续期、关键利率持续期债券组合的持续期35持续期n金额持续期金额持续期是指市场利率发生一个百分点的变化，债券价格变化的金额。相当于债券价格相对于市场利率波动的倍数。持续期的计算n1、到期收益率曲线呈水平状：dyyCtydyytCdPyCPntttntttnttt1111)1 (11)1 ()1 (36持续期n金额持续期持续期的计算n2、到期收益率曲线不是水平状：dyyCtdyy

16、tCdPyCPntttttnttttntttt11111)1 ()1 ()1 (如果到期收益率曲线是平行移动37持续期n金额持续期持续期的计算n2、到期收益率曲线不是水平状：dyyCtydyytCdPntttttntttt111)1 (11)1 (把1/（1+y）当作共同因子，提取出来。38持续期n金额持续期持续期的计算n3、无论到期收益率曲线是否水平状：dyydyyCtydPntttt金额11)1 (11139持续期n金额持续期金额持续期的计算n4、金额持续期： ttntttttdCtCVtyCt1)()1 (金额40持续期n持续期的图形解释41持续期n持续期注意：n由持续期的几何分析，当市

17、场利率变化很小时，利用持续期可以较准确的估计出债券价格的变化。n而当市场利率变化较大时，利用持续期估计的债券价格与实际价格存在较大的差异。（见下例见下例）n对于每年支付利息高于一次的债券，要采用相应调节来计算。1111/(1/ )1/ntttttCdPdydyy kkyky k 金额1111()(1/ )nttttttttCt V CtCdkykkk金额42持续期n持续期例：金额持续期估计的准确性n有一个20年期的附息债券，面值是100元，票面利率为6%，1年支付1次利息（到期收益率见表2-10）。n该债券的金额持续期为11.59（经济含义经济含义）.n由持续期计算出债券价格变化：1111dP

18、dyyPyy 金额金额43持续期n持续期例：金额持续期估计的准确性（续）到期收益率变动 实际价格变动金额持续期估计的价格变动（绝对值）1bp+(-0.11)11.59*0.01=0.1161bp-0.11 10bp+(-1.08)11.59*0.1=1.1610bp-1.10 100bp+(-10.10)11.59100bp111.84 200bp+(-18.74)11.59*2=23.18200bp-25.79 44持续期n比率持续期（ Macaulay Duration）比率持续期用来分析一个百分点的利率波动对债券价格波动幅度的影响。比率持续期的计算n5、比率持续期：n经济含义PyCtPn

19、tttt金额1)1 (145持续期n比率持续期（ Macaulay Duration）假设债券每年付k次息：MactttMacMacPdtCkCtVkdykydyPkydP金额金额11111146持续期n比率持续期通常有：n零息债券的比率持续期（年）就是其期限；n附息债券的比率持续期（年）小于其期限。并且，票面利率越高，附息债券的比率持续期和其期限的差距越大。n表明零息债券的价格风险非常高，而附息债券的价格风险相对于零息债券而言会略低一些。47持续期n修正持续期（Modified Duration)修正持续期是在比率持续期的基础上考虑了短期利率的影响。假设债券每年付k次利息：1111MMacM

20、acMdPP DdyPdyy kDy kPy k 金额48持续期n持续期例：有一个5年期债券，面值为100元，票面利率为6%，1年支付2次利息，平价发行，到期收益率和具体情况如下表所示，计算该债券的金额持续期、比率持续期和修正持续期。49持续期利息时段到期收益率折线因子现金流量现值T倍现值14.4181%0.978432.942.9424.5056%0.956432.875.7434.5914%0.934232.808.4144.6753%0.911732.7410.9454.7574%0.889132.6713.3464.8377%0.866432.6015.6074.9122%0.8438

21、32.5317.7284.9927%0.821032.4619.7095.0711%0.798232.3921.55105.1404%0.775910379.91799.14103.91915.07金额持续期金额持续期4.58=915.07/200比率持续期比率持续期4.40%=4.58/103.91修正持续期修正持续期4.31%=4.40% / (1+4.5056%/2)50持续期n思考：当市场利率发生变化后，某些债券不仅收益率发生变化，而且其现金流量也发生了变化。对这类债券，如何计算其持续期？nnn51持续期n有效持续期有效持续期用来衡量当市场利率发生微小变化后，债券价格发生多大幅度的变化

22、。计算公式：.:2债券目前的价格PPyPPPyyPPDE52持续期n持续期与利率曲线思考：n央行加息对利率曲线和债券将有何种影响？53持续期n传统持续期指标的不足假定到期收益率曲线水平移动；主要是为了分析非含权债券（现金流量不变）。n思考：如果到期收益率曲线不是水平移动如何计算持续期？解决方法：可利用关键利率持续期。54持续期n持续期的一般方法持续期的本质：市场利率发生一个微小变化所引起的债券价格的变化。债券价格变化受很多因素的影响,债券价格的波动实际上是：如果这些因素只包含各种期限的利率，则可以引入利率持续期的概念。.12211nnffPffPffPPPdP55持续期利率持续期n即期利率的一定幅度变化所导致债券价格的变化。关键利率持续期n关键即期利率关键即期利率的一定幅度变化所导致债券价格的变化。nThomas Ho定义了11个关键利率：3个月，1，2，3，5，7，10，15，20，25，30年的利率。其他利率持续期可以用线性估计。得到关键利率持续期后，可以根据到期收益率曲线的预期结果，对债券或者债券组合的风险进行评价。56持续期n关键利率持续期n例：有三个关键利率 2年、 16年、 30年。关键利率持续期 就是零息债券的持续期，零