第八章卡方检验

1、第七章第七章 检验检验（卡方检验卡方检验）2本章主要介绍本章主要介绍 -检验的基本概念、卡方的分检验的基本概念、卡方的分割、适合性检验、独立性检验割、适合性检验、独立性检验2在兽医临床和科研工作中，我们经常会碰到许多质在兽医临床和科研工作中，我们经常会碰到许多质量性状方面的资料，这些资料可以转化成率后使量性状方面的资料，这些资料可以转化成率后使用用 t-test 方法进行检验，但这仅限于一个样本率方法进行检验，但这仅限于一个样本率与总体率的比较、两个样本率间的比较与总体率的比较、两个样本率间的比较除此之外，我们还可以用除此之外，我们还可以用 检验来完成检验工作检验来完成检验工作特别当有多个样本

2、进行比较时，必须用特别当有多个样本进行比较时，必须用 检验来完检验来完成成22第一节第一节 的概念的概念2在第四章中，我们讨论过在第四章中，我们讨论过 分布分布 有两个定义：有两个定义：定义一：定义一：定义二：定义二：前一个定义是针对数量性状资料的前一个定义是针对数量性状资料的而后者主要是针对质量性状资料的而后者主要是针对质量性状资料的22222221iinsxu222iioEonpEnp2在遗传学中，我们研究某一性状是否受一对等位基在遗传学中，我们研究某一性状是否受一对等位基因的控制，该性状在后代的分离比例是否符合某因的控制，该性状在后代的分离比例是否符合某种规律种规律例例1 孟德尔的豌豆花

3、试验（红花孟德尔的豌豆花试验（红花 705朵、白花朵、白花224朵）：这一分离是否符合他自己提出的朵）：这一分离是否符合他自己提出的 3：1 的的分离比例的假设？分离比例的假设？如果这一如果这一 3：1 的理论比例是正确的，那么这一试的理论比例是正确的，那么这一试验所出现的红花和白花的理论比例应当是：验所出现的红花和白花的理论比例应当是：红花：红花：696.75 白花：白花：232.25显然，实际出现的红花、白花的朵数与理论值之间显然，实际出现的红花、白花的朵数与理论值之间有差异（如何用有差异（如何用 t-test 来完成这一检验？）来完成这一检验？）连续进行多次试验，每一次的结果都不会相同，

4、每连续进行多次试验，每一次的结果都不会相同，每一次的结果都不会刚好符合理论值一次的结果都不会刚好符合理论值可以这样设想：观察值与理论值之间的差距可以这样设想：观察值与理论值之间的差距越小越小，表示试验结果与理论值越表示试验结果与理论值越相符相符反之，观察值与理论值之间的距离反之，观察值与理论值之间的距离越大越大，表示试验，表示试验结果与理论值越结果与理论值越不符不符当这一差值大到一定程度时，我们就可以认为豌豆当这一差值大到一定程度时，我们就可以认为豌豆花的颜色是不受一对等位基因控制的，可能是另花的颜色是不受一对等位基因控制的，可能是另外一种遗传模式外一种遗传模式但如何来但如何来界定界定这种相符

5、或不相符？这种相符或不相符？当我们将这两个差值相加，我们会发现其和为当我们将这两个差值相加，我们会发现其和为 0可以说，任何类似的问题其结果都是可以说，任何类似的问题其结果都是 0：（705 - 696.75）+（224 - 232.25）=0差值的平方和相加，其结果不会为差值的平方和相加，其结果不会为0了，且由于平了，且由于平方，使得原来较大的差变得更大了，因而增大了方，使得原来较大的差变得更大了，因而增大了分析问题的灵敏性分析问题的灵敏性但由于每次试验的样本量不会相等，因而缺乏可比但由于每次试验的样本量不会相等，因而缺乏可比性，以理论值为标准进行比较，问题就解决了性，以理论值为标准进行比较

6、，问题就解决了上例中：红花：上例中：红花： 白花：白花：两者之和：两者之和：2705696.750.098696.752224232.250.293232.2520.0980.2930.391例例2 正常情况下，婴儿的性别比为：正常情况下，婴儿的性别比为：51：49即每出生即每出生 100 个女婴，就有个女婴，就有 103105 个男婴个男婴统计某地区连续统计某地区连续3年的婴儿性别比，得：男婴年的婴儿性别比，得：男婴4691人：人：女婴女婴 4159人，试问该地区的新生儿性别比正常吗？人，试问该地区的新生儿性别比正常吗？我们用列表的方式检查之：我们用列表的方式检查之： 婴儿性别婴儿性别 实际

7、值（实际值（O） 理论值（理论值（E） O-E 男婴男婴 4691 4513.5 177.5 6.98 女婴女婴 4159 4336.5 -177.5 7.27 合计合计 8850 8850.0 0 14.25 2O EE显然，这一显然，这一 值较大值较大 ，有可能这一地区的婴儿出，有可能这一地区的婴儿出生性别比不太正常（请用生性别比不太正常（请用 t-test 进行检验，看这进行检验，看这一性别比是否符合常规性别比）一性别比是否符合常规性别比）2例例3 长翅灰身（长翅灰身（LLGG）的果蝇与残翅黑檀体（）的果蝇与残翅黑檀体（llgg）果蝇交配，其后代果蝇交配，其后代F1全为长翅灰身，全为长翅

8、灰身，F1自群繁育，自群繁育，结果出现了结果出现了 4 种表现型：长灰（种表现型：长灰（1477）、长黑）、长黑（493）、残灰（）、残灰（446）、残黑（）、残黑（143），现假定），现假定控制翅膀长度和身体颜色的两对基因是相互独立控制翅膀长度和身体颜色的两对基因是相互独立的，且都是显隐性关系，则四种类型的果蝇其比的，且都是显隐性关系，则四种类型的果蝇其比例应当是例应当是9：3：3：1现需验证这次试验的结果是否符合这一分离比例现需验证这次试验的结果是否符合这一分离比例1477+493+446+143=2559 长翅灰身长翅灰身（LLGG） 残翅黑檀体残翅黑檀体（llgg） 长翅灰身长翅灰身（

9、L_G_） 长灰长灰 长黑长黑 残灰残灰 残黑残黑 (1477) (493) (446) (143) 以上三个例子都要求我们判断观测值与理论值之间以上三个例子都要求我们判断观测值与理论值之间是否相符，而我们都可以得到一个是否相符，而我们都可以得到一个 值值925591439.441632559479.811612559159.941622214771439.44143 159.94.5.5191439.44159.942 检验的一般步骤：检验的一般步骤：首先作无效假设首先作无效假设其次计算其次计算 值值最后根据最后根据 值出现的概率判断无效假设是否成立值出现的概率判断无效假设是否成立自由度不同

10、，自由度不同， 分布是不同的分布是不同的 分布的自由度仅与性状的类别有关，而与次数无分布的自由度仅与性状的类别有关，而与次数无关，例关，例1中有两类花，因此其自由度为中有两类花，因此其自由度为 2-1=1例例3中有中有 4类果蝇，因此其自由度为类果蝇，因此其自由度为 4-1=3，等等，等等22222当自由度为当自由度为 1时，时， 检验应作连续性校正，校正的检验应作连续性校正，校正的 检验公式记作检验公式记作由于由于2 2分布是连续性分布，被检验的资料是离散型分布是连续性分布，被检验的资料是离散型的分类资料，而从离散型资料得到的统计量只是的分类资料，而从离散型资料得到的统计量只是近似地服从近似

11、地服从2 2分布，因此，为了保证有足够的近分布，因此，为了保证有足够的近似程度，一般要求：似程度，一般要求：理论频数不少于理论频数不少于 5自由度必须大于自由度必须大于 1，当自由度为，当自由度为 1时，进行校正时，进行校正质量性状的资料作质量性状的资料作 检验，有两种方法，下面分别检验，有两种方法，下面分别进行讨论进行讨论2222c第二节第二节 适合性检验适合性检验适合性检验适用于某一实际资料是否符合一理论值，适合性检验适用于某一实际资料是否符合一理论值，因此适合性检验常用于遗传学研究、质量鉴定、因此适合性检验常用于遗传学研究、质量鉴定、规范化作业、一批数据是否符合某种理论分布，规范化作业、

12、一批数据是否符合某种理论分布，等等我们以例我们以例3 来说明适合性检验的一般步骤来说明适合性检验的一般步骤设立无效假设，设立无效假设， 果蝇的分类观测值与理论值相符果蝇的分类观测值与理论值相符 两者不符两者不符计算计算 值，前面已经得到值，前面已经得到 df = 4 -1 = 3 查查 值表，得值表，得接受无效假设，即果蝇的这四种类型分离符合自由接受无效假设，即果蝇的这四种类型分离符合自由组合定律组合定律9：3：3：10:Hvs:AH20.05,37.815220.05,35.5197.8150.05p25.51922例例 2 的的 值需重新计算，因为性别比只有两类，因值需重新计算，因为性别比

13、只有两类，因此其自由度为此其自由度为 1，应作连续性校正，应作连续性校正连续性校正公式是：连续性校正公式是：先作无效假设先作无效假设 本例男女婴性别比符合常规比例本例男女婴性别比符合常规比例 不符常规比例不符常规比例计算计算 值值0:Hvs:AH22| 0.5cO EE2224691 4513.5 0.5|41594336.5| 0.514.164513.54336.5c2c2查查 值表，得值表，得否定无效假设，接受备择假设否定无效假设，接受备择假设即该地区婴儿出生的性别比极显著偏离正常性别比，即该地区婴儿出生的性别比极显著偏离正常性别比，应查找原因应查找原因（例（例1 是否需要作连续性校正？

14、）是否需要作连续性校正？）20.01,16.635220.01,114.166.635c0.01p2第六章中关于鱼药厂卖治疗鱼烂鳃病新药的例题是第六章中关于鱼药厂卖治疗鱼烂鳃病新药的例题是否也可以用否也可以用 检验？如果可以的话，是否需作连检验？如果可以的话，是否需作连续性校正？（请同学们自行完成之）续性校正？（请同学们自行完成之）2 的分割的分割有时候，经有时候，经 检验，检验， 被推翻，而接受了被推翻，而接受了 ，即表，即表示整个资料不符合某一理论比例，但这总的示整个资料不符合某一理论比例，但这总的 值值不能反映是全部资料均不符合理论比例，还是其不能反映是全部资料均不符合理论比例，还是其中

15、部分资料不符合比例，因此我们应进行中部分资料不符合比例，因此我们应进行 值的值的分割，以便知道是那一部分资料不符合理论比例分割，以便知道是那一部分资料不符合理论比例下面我们看一个例题下面我们看一个例题22220HAH两对性状两对性状F2分离的四种表现型观测资料分别为分离的四种表现型观测资料分别为154、43、53、6试问该批资料是否符合试问该批资料是否符合9：3：3：1？该例的自由度为该例的自由度为 4 1 = 3（不需要进行校正）（不需要进行校正）先计算理论次数：先计算理论次数：154 + 43 + 53 + 6 = 256A-B-：144 A-bb：48 aaB-：48 aabb：16 设

16、立无效假设（略）设立无效假设（略）2222220.05,3154 14443 4853 486 161444848160.694 0.521 0.521 6.257.9867.8150.05p否定无效假设，接受备择假设，即这批资料与设定否定无效假设，接受备择假设，即这批资料与设定的理论分离比例的理论分离比例 9：3：3：1不符不符是整批资料都不符？还是部分不符？是整批资料都不符？还是部分不符？我们需作进一步的分析，因此应对我们需作进一步的分析，因此应对 作分割作分割这种分割是建立在这种分割是建立在 具有可加性的特点上的，而这具有可加性的特点上的，而这种可加性只有在次数资料各部分相互独立、且不种

17、可加性只有在次数资料各部分相互独立、且不作连续性校正的基础上才能成立作连续性校正的基础上才能成立22该例的四个分值分别为：该例的四个分值分别为：0.694 + 0.521 + 0.521 + 6.25 = 7.986显然，前面三个分值较小，因此先取前三部分的比显然，前面三个分值较小，因此先取前三部分的比例作例作 检验：检验：154 + 43 + 53 = 250 A-B-：150 A-bb：50 aaB-：502无效假设（怎么设？）无效假设（怎么设？）接受无效假设，即这三部分资料的实际观测值符合接受无效假设，即这三部分资料的实际观测值符合9：3：3 的理论比例的理论比例再检查余下的再检查余下的

18、 aabb与这三部分之和是否符合与这三部分之和是否符合 1：15前三部分之和（理论值）前三部分之和（理论值）：240 aabb：16222220.05,21541504350535015050500.1070.980.181.2675.9910.05p22220.05,12502400.5|616| 0.5240160.3765.6416.0173.841c0.05p这说明这说明 aabb 不符合理论比例不符合理论比例 检验中的适合性检验一般要求样本量应大一些，检验中的适合性检验一般要求样本量应大一些，样本较小会影响到检验的正确性，特别是当理论样本较小会影响到检验的正确性，特别是当理论比例中有

19、较小值时（上一例中的比例中有较小值时（上一例中的 aabb），更应当），更应当注意样本容量，这一例即有样本偏小的倾向注意样本容量，这一例即有样本偏小的倾向2第三节第三节 独立性检验独立性检验独立性检验是检查两个变量、两个事件是否相互独独立性检验是检查两个变量、两个事件是否相互独立的这么一种检验立的这么一种检验例如：猪舍没有消毒与猪病的发生是否有关？例如：猪舍没有消毒与猪病的发生是否有关？雏鹅群发生小鹅瘟与雏鹅群没有注射小鹅瘟血清是雏鹅群发生小鹅瘟与雏鹅群没有注射小鹅瘟血清是否有关？否有关？鱼塘清塘与否与鱼病的发生是否有关？等等鱼塘清塘与否与鱼病的发生是否有关？等等若两者相互独立，即表示消毒、小

20、鹅瘟血清注射、若两者相互独立，即表示消毒、小鹅瘟血清注射、清塘无效；如果消毒后、小鹅瘟血清注射了、清清塘无效；如果消毒后、小鹅瘟血清注射了、清塘了，发病率降低了，表示这两者是有关的塘了，发病率降低了，表示这两者是有关的因此，独立性检验的无效假设是两变量相互独立，因此，独立性检验的无效假设是两变量相互独立，其备择假设是两变量相关（即两者有依存关系）其备择假设是两变量相关（即两者有依存关系）在设立无效假设的前提下，计算在设立无效假设的前提下，计算 值，当值，当 时，时，接受无效假设，即两变量相互独立；当接受无效假设，即两变量相互独立；当 否定否定无效假设，接受备择假设，即两变量之间存在相无效假设，

21、接受备择假设，即两变量之间存在相关关独立性检验没有理论比率，因此必须用列表的方式独立性检验没有理论比率，因此必须用列表的方式从现有的观测值次数来推算理论比值，这种用表从现有的观测值次数来推算理论比值，这种用表的方式来推算理论次数的方法是建立在两因子无的方式来推算理论次数的方法是建立在两因子无关（两因子相互独立），关（两因子相互独立）， 即两因子齐性的基础上即两因子齐性的基础上的的22222下面我们分别各种情况来介绍独立性检验下面我们分别各种情况来介绍独立性检验一、一、 表表结合实际例子来说明这种表的使用结合实际例子来说明这种表的使用将鸡苗放进鸡舍前先将鸡舍消毒，能否减轻苗鸡的将鸡苗放进鸡舍前先

22、将鸡舍消毒，能否减轻苗鸡的发病情况，在此之前先作一试验，得数据如下：发病情况，在此之前先作一试验，得数据如下： 发病发病 不发病不发病 合计合计 消毒消毒 300（a） 920（b） 1220不消毒不消毒 580（c） 630（d） 1210 合计合计 880 1550 243022这张表共这张表共 2行、行、2列，因此称为列，因此称为 表表从这张表中我们可以看出，消毒的鸡舍中，有发病从这张表中我们可以看出，消毒的鸡舍中，有发病的鸡，也有不发病的鸡；没消毒的鸡舍中，鸡也的鸡，也有不发病的鸡；没消毒的鸡舍中，鸡也有发病和不发病两种有发病和不发病两种假设鸡舍是否消毒不影响鸡的发病情况（这是无效假设

23、鸡舍是否消毒不影响鸡的发病情况（这是无效假设的前提和内容），那么，消毒鸡舍和不消毒假设的前提和内容），那么，消毒鸡舍和不消毒鸡舍中鸡的发病率应当是一样的，所产生的误差鸡舍中鸡的发病率应当是一样的，所产生的误差是抽样误差，即是抽样误差，即得：得：2 21220880441.812430a:1220880 : 2430a同样的道理，我们可得：同样的道理，我们可得：我们将上述数据制成一张表：我们将上述数据制成一张表： 发病发病 不发病不发病 合计合计 消毒消毒 300（441.81） 920（778.19） 1220不消毒不消毒 580（438.19） 630（771.81） 1210 合计合计 8

24、80 1550 24301550 1210771.812430d1550 1220778.192430b880 1210438.192430c表中，括弧内的就是理论值表中，括弧内的就是理论值需要注意的是，这种结构的需要注意的是，这种结构的 检验其自由度是横行检验其自由度是横行数减数减 1 乘以纵列数减乘以纵列数减 1：因此这里应该使用校正公式因此这里应该使用校正公式计算计算 值值（同学们（同学们先先自行计算）自行计算）222| 0.5cO EE 2 12 11 2c设立无效假设设立无效假设设设 鸡的发病与鸡舍消毒与否无关（或：鸡舍消毒鸡的发病与鸡舍消毒与否无关（或：鸡舍消毒与否不影响鸡是否发病

25、）与否不影响鸡是否发病） 鸡的发病与鸡舍消鸡的发病与鸡舍消毒与否有关（或：鸡舍消毒与否直接影响鸡的发毒与否有关（或：鸡舍消毒与否直接影响鸡的发病）病）得：得：否定无效假设否定无效假设2222220.01,1|300441.81|0.5920778.190.5441.81778.19580438.190.5| 630771.81|0.5438.19771.81142.306.635c0.01p 0:H:AHvs即鸡舍消毒与否极显著地影响着鸡的发病（或鸡的即鸡舍消毒与否极显著地影响着鸡的发病（或鸡的发病情况直接受鸡舍消毒与否的影响）发病情况直接受鸡舍消毒与否的影响）二、二、RC表（表（R：行：行

26、C：列）：列）RC表是表是22表的扩展，反之，表的扩展，反之， 22表也可以看表也可以看成是成是RC表的一个特例表的一个特例当行当行2、列、列2时，时， 22表就成为了表就成为了RC表表这样的表称为列联表（这样的表称为列联表（contingency table）RC表的自由度为（表的自由度为（R-1）（C-1）实例：检查鸡的饲养密度与鸡的啄癖的发生是否有实例：检查鸡的饲养密度与鸡的啄癖的发生是否有关，设计了如下试验：按密度大小分为三种饲养关，设计了如下试验：按密度大小分为三种饲养类型：疏、中、密，统计不同密度下鸡的啄癖的类型：疏、中、密，统计不同密度下鸡的啄癖的发生情况，得如下数据，试分析发生

27、情况，得如下数据，试分析 疏疏 中中 密密 合计合计啄癖数啄癖数 1（a） 4（b） 17（c） 22正常数正常数 39（d） 66（e） 83（f） 188 合计合计 40 70 100 210计算表中各理论值（字母处）：计算表中各理论值（字母处）：40224.19210a70227.33210b1002210.48210c40 18835.81210d7018862.67210e100 18889.52210f设设 鸡的啄癖与饲养密度无关鸡的啄癖与饲养密度无关 鸡的啄癖与鸡鸡的啄癖与鸡的饲养密度有关的饲养密度有关将上面计算得到的理论值填入表中，并计算将上面计算得到的理论值填入表中，并计算

28、值：值：（试想一下，该例的自由度是多少？是否需要使用（试想一下，该例的自由度是多少？是否需要使用校正公式？）校正公式？） 疏疏 中中 密密 合计合计啄癖数啄癖数 1（4.19） 4（7.33） 17（10.48） 22正常数正常数 39（35.81） 66（62.67） 83（89.52） 188 合计合计 40 70 100 2100:H:AHvs2否定无效假设，接受备择假设，即鸡的啄癖的养成否定无效假设，接受备择假设，即鸡的啄癖的养成与鸡的饲养密度显著相关与鸡的饲养密度显著相关222222220.05,214.193935.8147.334.1935.817.336662.671710.4

29、88389.5262.6710.4889.528.935.9910.05p上例中，我们可以看出，鸡的啄癖的形成与鸡的饲上例中，我们可以看出，鸡的啄癖的形成与鸡的饲养密度高度相关，即饲养密度越大，养成啄癖坏养密度高度相关，即饲养密度越大，养成啄癖坏习惯的鸡越多，鸡的成品率就越低，鸡场的效益习惯的鸡越多，鸡的成品率就越低，鸡场的效益就越差就越差但反过来鸡的饲养密度越低，鸡舍的利用率也越低，但反过来鸡的饲养密度越低，鸡舍的利用率也越低，这同样会影响鸡场的经济效益，因此并不是饲养这同样会影响鸡场的经济效益，因此并不是饲养密度越低就越好密度越低就越好因此我们还需要看看到底是哪种饲养密度影响了鸡因此我们还

30、需要看看到底是哪种饲养密度影响了鸡的啄癖的啄癖因此我们还应对因此我们还应对 值进行分割值进行分割2先看疏和中的两类饲养密度先看疏和中的两类饲养密度由于仅比较两类饲养密度，因此是由于仅比较两类饲养密度，因此是22表，其自由表，其自由度为度为1，因此应使用校正公式，我们先建表：，因此应使用校正公式，我们先建表： 疏疏 中中 合计合计啄癖数啄癖数 1（1.82） 4（3.18） 5正常数正常数 39（38.18） 66（66.82） 105合计合计 40 70 110设立无效假设（怎么设？）设立无效假设（怎么设？）222|1 1.82| 0.5|66 66.82| 0.5.0.0931.8266.8

31、2c0.05p接受无效假设，即疏和中这两种密度在鸡的啄癖坏接受无效假设，即疏和中这两种密度在鸡的啄癖坏习惯的形成上差异不显著习惯的形成上差异不显著接着我们应对密度大的那一种进行检验接着我们应对密度大的那一种进行检验建表：建表： 疏、中疏、中 密密 合计合计啄癖数啄癖数 5（11.52） 17（10.48） 22正常数正常数 105（98.48） 83（89.52） 188合计合计 110 100 210设立无效假设（怎么设？）设立无效假设（怎么设？）否定无效假设，接受备择假设，即饲养密度大的那否定无效假设，接受备择假设，即饲养密度大的那一组其啄癖数极显著的多，即饲养密度超过一定一组其啄癖数极显

32、著的多，即饲养密度超过一定限度就会极显著影响鸡的啄癖习惯的形成限度就会极显著影响鸡的啄癖习惯的形成 22220.01,1|5 11.52| 0.5|8389.52| 0.5.11.5289.527.386.635c0.01pR3、C3的的RC表的检验方式与表的检验方式与2C表是一样的，表是一样的，这里我们不再举例（请参看书这里我们不再举例（请参看书P104例例6 - 8）独立性检验的公式可以使用简易公式，即不需要计独立性检验的公式可以使用简易公式，即不需要计算理论值，但这种公式难记忆，我们不再作介绍算理论值，但这种公式难记忆，我们不再作介绍（请参看书（请参看书P101 ）当样本容量很小（当样本

33、容量很小（n40、理论次数、理论次数E5），进行），进行22表的检验时，我们可以使用精确概率计算法表的检验时，我们可以使用精确概率计算法进行检验，由于小样本的情况不多，即使有小样进行检验，由于小样本的情况不多，即使有小样本的情况，其统计结果的统计学意义也不大，因本的情况，其统计结果的统计学意义也不大，因此这里我们不再作介绍（有兴趣的同学可以参看此这里我们不再作介绍（有兴趣的同学可以参看书书P102 - 103）第四节第四节 理论分布的检验理论分布的检验我们有时候需要知道，某一个试验其结果是否符合我们有时候需要知道，某一个试验其结果是否符合某一理论分布，或希望知道符合什么样的理论分某一理论分布，或希望知道符合什么样的理论分布，这关系到试验的结果是否正常或是否合理布，这关系到试验的结果是否正常或是否合理下面我们用一个实例来说明这种检验下面我们用一个实例来说明这种检验显微镜下检查某奶样中结核菌的分布情况，根据视显微镜下检查某奶样中结核菌的分布情况，根据视野内小方格中结核菌数进行统计，并将不同结核野内小方格中结核菌数进行统计，并将不同结核菌数将格