基于Burg算法的最大熵谱估计

1、基于Burg算法的最大熵谱估计一、 实验目的使用Matlab平台实现基于Burg算法的最大熵谱估计二、 Burg算法原理现代谱估计是针对经典谱估计方差性能较差、分辨率较低的缺点提出并逐渐发展起来的，其分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。而参数模型谱估计主要有AR模型、MA模型、ARMA模型等，其中AR模型应用最多。ARMA模型功率谱的数学表达式为：其中，P(ej)为功率谱密度；s2是激励白噪声的方差；ai和bi为模型参数。若ARMA 模型中bi全为0，就变成了AR模型，又称线性自回归模型，其是一个全极点模型：研究表明，ARMA 模型和MA 模型均可用无限阶的AR模型来表示。且AR模型的参数估

2、计计算相对简单。同时，实际的物理系统通常是全极点系统。要利用AR模型进行功率谱估计，必须由Yule - Walker 方程求得AR模型的参数。而目前求解Yule - Walker方程主要有三种方法: Levinson-Durbin递推算法、Burg算法和协方差方法。其中Burg算法计算结果较为准确，且对于短的时间序列仍能得到较正确的估计，因此应用广泛。研究最大熵谱估计时，Levinson递推一直受制于反射系数Km的求出。而Burg算法秉着使前、后向预测误差平均功率最小的基本思想，不直接估计AR模型的参数，而是先估计反射系数Km，再利用Levinson关系式求得AR模型的参数，继而得到功率谱估计

3、。Burg定义m阶前、后向预测误差为： (1) (2)由式（1）和（2）又可得到前、后预测误差的阶数递推公式： (3) (4)定义m阶前、后向预测误差平均功率为： (5)将阶数递推公式（3）和（4）代入（5），并令，可得 (6)三、 Burg算法递推步骤Burg算法的具体实现步骤：步骤1 计算预测误差功率的初始值和前、后向预测误差的初始值，并令m = 1。步骤2 求反射系数步骤3 计算前向预测滤波器系数 步骤4 计算预测误差功率步骤5计算滤波器输出步骤6 令m m+1，并重复步骤2至步骤5，直到预测误差功率Pm不再明显减小。最后，再利用Levinson递推关系式估计AR参数，继而得到功率谱估计

4、。四、 程序实现%基于Burg算法的最大熵谱估计的Matlab实现%设置两正弦小信号的归一化频率分别为0.175和0.20，信噪比SNR=30dB、N=32%clear,clc; %清空内存及变量N=32; %设置离散傅里叶变换点数，即最大阶数N为32 SNR=30; %信噪比SNR取为30dBfs=1; %采样频率取为1Hzt=1:N; %采样时间点从1变化到Nt=t/fs; %得到归一化频率采样点y=sin(2*pi*0.175*t)+sin(2*pi*0.20*t); %信号归一化频率分别取为0.175和0.20x=awgn(y,SNR); %在信号y中加入高斯白噪声,信噪比为SNR设定

5、的数值 M=1; %设置起始计算的阶数M为1P(M)=0; %预测误差功率初值设为0Rx(M)=0; %自相关函数初值设为0for n=1:N %样本数从1变化到N P(M)=P(M)+(abs(x(n)2; %计算预测误差功率和的初始值 ef(1,n)=x(n); %计算前向预测误差初值，令其等于此时的信号序列 eb(1,n)=x(n); %计算后向预测误差初值，令其等于此时的信号序列endP(M)=P(M)/N; %计算出预测误差功率的初始值 Rx(M)=P(M); %设定自相关函数初始值 M=2; %设置起始计算的阶数M为2A=0; %微分所得反射系数Km的分子，初始值设为0D=0; %

6、微分所得反射系数Km的分母，初始值设为0for n=M:N %AR阶数由M变化到N A=A+ef(M-1,n)*eb(M-1,n-1); %计算分子的和 D=D+(abs(ef(M-1,n)2+(abs(eb(M-1,n-1)2; %计算分母的和（即M阶前、后向预测误差平均功率)endKm=-2*A/D; %计算反射系数Km（此时起始阶数为2）a(M-1,M-1)=-2*A/D; %计算前向预测滤波器系数P(M)=P(M-1)*(1-(abs(Km)2); %计算预测误差功率FPE(M-1)=P(M)*(N+M)/(N-M); %设置最大预测误差平均功率 TH=FPE(M-1); for n=

7、M:N %AR阶数由M变化到N ef(M,n)=ef(M-1,n)+Km*eb(M-1,n-1); %计算滤波器输出的前向预测误差 eb(M,n)=eb(M-1,n-1)+Km*ef(M-1,n); %计算滤波器输出的后向预测误差 end M=M+1; %阶数叠加，以便递推计算下一阶数据 A=0; %反射系数Km的分子，初始值设为0 D=0; %反射系数Km的分母，初始值设为0 for n=M:N %同前，进行递推运算 A=A+ef(M-1,n)*eb(M-1,n-1); D=D+(abs(ef(M-1,n)2+(abs(eb(M-1,n-1)2; end Km=-2*A/D; a(M-1,M

8、-1)=-2*A/D; P(M)=P(M-1)*(1-(abs(Km)2); FPE(M-1)=P(M)*(N+M)/(N-M); for m=1:M-2 %AR阶数m由1变化到（M-2） a(M-1,m)=a(M-2,m)+Km*a(M-2,M-1-m); %递推计算各阶前向预测滤波器的系数 endwhile FPE(M-1)<TH %比较此刻阶数的误差平均功率与之前设置的平均功率的大小 TH=FPE(M-1); %小于之前数值时，覆盖得到新的最小平均功率，并进行递推运算 for n=M:N ef(M,n)=ef(M-1,n)+Km*eb(M-1,n-1); %递推计算滤波器输出的各阶

9、前向预测误差 eb(M,n)=eb(M-1,n-1)+Km*ef(M-1,n); %递推计算滤波器输出的各阶后向预测误差 end Km=-2*A/D; %反射系数 a(M-1,M-1)=-2*A/D; %前向预测滤波器系数 P(M)=P(M-1)*(1-(abs(Km)2); %预测误差功率 FPE(M-1)=P(M)*(N+M)/(N-M); for m=1:M-2 %AR阶数m由1变化到（M-2） a(M-1,m)=a(M-2,m)+Km*a(M-2,M-1-m); %递推得到各阶前向预测滤波器的系数 endendT=1/fs;sum1=0; %采样周期T赋值；功率谱初值设为0f=0.01

10、:0.01:0.5; %选取数据采样点，归一化频率0.010.5，间隔为0.01 for m=1:M-1; %AR阶数为1(M-1) sum1=sum1+a(M-1,m)*exp(-j*2*pi*m*f*T); %傅里叶变换，得到AR参数的估计 ends1=(abs(1+sum1).2; %由Fejer-Riesz定理，得到最大熵谱估计，即ARMA功率谱s=P(M)*T./s1; %求得各阶功率谱的矩阵 plot(f,10*log10(s),'k'); %画出功率谱随频率变化的曲线图xlabel('f/fs'); %X轴坐标名称ylabel('功率谱/dB'); %Y轴坐标名称五、 仿真结果及分析结果分析：如上，是阶数分别为16和32时所得的功率谱曲线。如图可知，Burg算法得到的谱线分辨率很高，曲