培优指数函数与对数函数

1、 1 指数函数和对数函数指数函数和对数函数 一、1根式 (1)根式的概念 若 xna，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1 且 nN*.式子na叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数 a 的 n 次方根的表示：xnaxna（当n为奇数且nN*时），xna（当n为偶数且nN*时）. (2)根式的性质 (na)na(nN*)nana，n为奇数，|a|a，a0，a，a0，m，nN*，且 n1)； 负分数指数幂：amn1amn1nam(a0，m，nN*，且 n1)； 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂无意义 (2)有理数指数幂的运算性质： arasars(a0，r，sQ)

2、；(ar)sars(a0，r，sQ)； (ab)rarbr(a0，b0，rQ) 3指数函数的图象与性质 yax a1 0a0 时，y1；当 x0时，0y0 时，0y1 当 x1； 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 二、对数 概念 如果 axN(a0，a1)，那么数 x叫做以 a 为底 N的对数，记作 xlogaN其中 a 叫做对数的底数，N叫做真数 性质 底数的限制：a0，且 a1 对数式与指数式的互化：axNlogaNx 负数和零没有对数,1 的对数是零：loga10 底数的对数是 1：logaa1,对数恒等式：alogaNN 2 运 算 性质 loga(M N)logaMlogaN

3、a0，且 a1，M0，N0 logaMNlogaMlogaN logaMnnlogaM(nR) 换 底公式 公式：logablogcblogca(a0，且 a1；c0，且 c1；b0) 推广：logambnnmlogab；logab1logba 2.对数函数的图象与性质 a1 0a1 时，y0 当 0 x1 时，y1 时，y0 当 0 x0 在(0，)上是增函数 在(0，)上是减函数 一、选择题一、选择题 1.设函数6522221)(,21)(xxbxxxgxf，若)()(xgxf对于任意实数x恒成立，则实数b的取值范围是（ ） A12b B12b C15b D15b 2.函数 xfy 是R上

4、的奇函数，满足xfxf33，当x（0，3）时 xxf2，则当x（6，3）时， xf =（ ） A. 62x B. 62x C. 62x D. 62x 3.设 1 a b 0，f ( x ) =xxaaa，则 f (12004) + f (22004) + + f (20032004) =_。 5.已知函数 111lg22xaxaxf的定义域为,，则实数a的取值范围是_. 6.先将函数 f ( x ) = ln11x的图像作关于原点的对称变换，然后向右平移 1 个单位，再作关于 y = x的对称变换，则此时的图像所对应的函数的解析式是 。 7.已知函数 y = log12 a x 2 + 2 x

5、 + ( a 1 ) 的值域是 0，+ )，则参数 a 的值是 。 3 三、解答题三、解答题 8.已知定义域为R的函数12( )22xxbf x是奇函数. （1）求( )f x； （2）判断函数( )f x的单调性（不必证明） （3）若对任意的Rt，不等式0)2()2(22ktfttf恒成立，求k的取值范围. 9.已知函数1( )( ) ,1,13xf xx ，函数2( )( )2( )3g xfxaf x的最小值为( )h a （1）求( )h a的解析式； （2）是否存在实数,m n同时满足下列两个条件：3mn；当( )h a的定义域为,n m时，值域为22,n m？若存在，求出,m n的

6、值；若不存在，请说明理由 10.函数22( )log (2)2(2)f xaxaxa在区间2,2(2)aa上恒有定义，求实数a的取值范围 11.(本题满分 12 分) 已知函数)2lg()(xaxxf，其中a是大于 0 的常数 （1）设 ag xxx, 判断并证明 g x在,a内的单调性； （2）当)4 , 1 (a时，求函数)(xf在 2 )内的最小值； （3）若对任意), 2 x恒有0)(xf，试确定a的取值范围。 4 12.（12 分）已知函数 13132log2axf xxx为奇函数，a为常数. （1）求a的值； （2）当(3,4x时， f x是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存

7、在，请说明理由； （3）设函数131( )( )2xg xxm，当m为何值时，不等式( )( )f xg x在(3,4x有实数解？ 13.（12 分）函数 y=f（x）满足 lg（lgy）=lg3x+lg（3x）， （1）求 f（x）； （2）求 f（x）的值域； （3）求 f（x）的递减区间 14.已知二次函数)0( 12)(2abaxaxxg在区间2，3上有最大值 4，最小值 1. ()求函数)(xg的解析式； ()设xxgxf)()(.若02)2(xxkf在 1, 1x时恒成立，求k的取值范围. 5 试卷答案试卷答案 1.D 2.B 3.A 4.20032 5.53a 或1a 6.y =

8、 e x 7.1 2 8.解 （1） 因为)(xf是 R 上的奇函数，所以 1, 021, 0)0(babf解得即 从而有121( )22xxf x.3 分 （2）由（1）知,121212212)(1xxxxf 由2xy 的单调性可推知)(xf在 R 上为减函数.3 分 （3）解法一：由（1）知,121212212)(1xxxxf 由上式易知)(xf在 R 上为减函数， 又因)(xf是奇函数，从而不等式 0)2()2(22ktfttf等价于).2()2()2(222ktfktfttf .2 分 因)(xf是 R 上的减函数，由上式推得.2222kttt 即对一切, 0232kttRt有从而 3

9、1, 0124kk解得.2 分 9.解析解析：（1）由1( )( ) ,1,13xf xx ，知1( ),33f x，令1( ),33tf x 1 分 记2( )23g xytat，则( )g x的对称轴为ta，故有： 当13a 时，( )g x的最小值282( )93ah a 当3a时，( )g x的最小值( )126h aa 当133a时，( )g x的最小值2( )3h aa 6 综述，228219331( )3331263aah aaaaa 7 分 （2）当3a时，( )612h aa 故3mn时，( )h a在, n m上为减函数 所以( )h a在, n m上的值域为( ), (

10、)h m h n 9 分 由题，则有2222( )612( )612h mnmnh nmnm，两式相减得2266nmnm，又mn 所以6mn，这与3mn矛盾故不存在满足题中条件的,m n的值 10.解析解析：设2( )(2)2(2)g xaxaxa，则22( )log (2)2(2)f xaxaxa 在区间2,2(2)aa上恒有定义即( )0g x 在2,2(2)aa上恒成立 当0a时，( )240g xx于2,4上恒成立 当0a时，( )g x的对称轴202aa，( )g x在2,2(2)aa上单调增加，所以， 2(2)(2)(34)0g aaaa， 由20a，2340aa，所以(0,)a

11、当0a时，( )0g x 于2,2(2)aa上恒成立，则(2)02(2)0g aga， 由2(2)(2)(34)0g aaaa，2340aa，得 20a，即2a ； 由22(2)(2)(253)0gaaaa，得22530aa， 解得32a 或1a，所以，322a 或10a 综上，32,)12a （，） 11.解析：解析：（I） ， 1 分 7 （II）证明：由（I）知：，令 （III）对于3，4上的每一个 x的值，不等式恒成立， 即：恒成立 10 分 由（II）知：在 R 上单调递增， 内单调递增，显然在3，4上递增，12 分 ， 14 分 12. （1）增函数，用定义证明. （2）设( )2

12、au xxx，当)4 , 1 (a，), 2 x时 由（1）知( )2au xxx在), 2 上是增函数 )2lg()(xaxxf在), 2 上是增函数 8 )2lg()(xaxxf在), 2 上的最小值为2lg)2(af （3） 对任意), 2 x恒有0)(xf，即12 xax对), 2 x恒成立 23xxa，而49)23(3)(22xxxxh在), 2 x上是减函数 2)2()(max hxh，2a 13. 13 考点： 对数的运算性质；指数函数综合题；对数函数的图像与性质 专题： 函数的性质及应用 分析： （1）由 lg（lgy）=lg3x+lg（3x），可得 lg（lgy）=lg3x（

13、3x），0 x3lgy=3x（3x），即可得出 （2）令 u=3x（3x）=+，在上单调递增，在上单调递减；而 10u是增函数，即可得出， （3）由（2）可知：函数 f（x）的递减区间为 解答： （1）lg（lgy）=lg3x+lg（3x）， lg（lgy）=lg3x（3x），0 x3 lgy=3x（3x）， f（x）=y=103x（3x），x（0，3） （2）令 u=3x（3x）=+，在上单调递增，在上单调递减；而 10u是增函数 ， f（x）的值域为 （3）由（2）可知：函数 f（x）的递减区间为 点评： 本题考查了对数的运算法则、二次函数与指数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 9 14.解：()2( )(1)1g xa xab 函数)(xg的图象的对称轴方程为1x 0a baxaxg1) 1()(2在区间2，3上递增。 依题意得4)3(1)2(gg 即41411baabaa，解得01ba 12)(2xxxg ()( )