锐角三角函数的技巧及练习题附解析

1、锐角三角函数的技巧及练习题附解析一、选择题B 30 , AD是 BAC的角平分线， AC= 6,1.如图，在 RtVABC 中，C=90 , 则点D到AB的距离为（）D. 3. 3如图，过点D作DE，AB于E,根据直角三角形两锐角互余的性质可得/ BAC=60,由AD 为/ BAC的角平分线可得/ DAC=30,根据角平分线的性质可得 DE=CD利用/ DAC的正切 求出CD的值即可得答案.【详解】 / B=30°, / C=90 , .-.Z BAC=60 , . AD 平分/ BAC/ DAC=30 , DE=CD ,.AC=6, . CD=ACtan / DAC=6 叵=273

2、 ,即 DE=2 V3 ,3，点D到AB的距离为2眄,故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形及角平分线的性质，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜 边；余弦是邻边比斜边；正切是对边比邻边；余切是邻边比对边；角平分线上的点到角两 边的距离相等；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.2 .如图，某地修建高速公路，要从 A地向B地修一条隧道（点 A, B在同一水平面上）.为了测量 A, B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为,则AB两地之间的距离约为（A. 1000sin 米B. lOOOtan,1000 业米 C.米tanD.幽米sin在 Rt

3、AABC 中，/ CAB=90, / B=a,AC=1000 米，根据 tanACAB,即可解决问题.解：在二.tanACAB 'Rt ABC 中，: CAB 90°, B , AC 1000 米, AB故选:AC 1000 米. tan tanC.【点睛】本题考查解直角三角形的应用 -仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考 常考题型.D. 15 或 453 .在半彳仝为1的e O中，弦AB、AC的长度分别是 J3 , J2 ,则BAC为（）度.A. 75B. 15 或 30C. 75或 15【答案】C【解析】【分析】根据题意画出草图，因为 C点位置待定，所以分

4、情况讨论求解.【详解】利用垂径定理可知： AD=e AE 返 2 '2Bsin/AOD=® . AOD=60 ;2 2sin/AOE*,，/AOE=45;2. / BAC=75 .当两弦共弧的时候就是15。.故选：C.【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形赵爽弦图”如图所示,4 .公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的积是125,小正方形面积是25,则 sin2cos ()A. 一5B.P 3.5C. 59D.一5根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为5.5 ,小正方形的边长为 5,再根据直角三它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方

5、形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面角形的边角关系列式即可求解.【详解】解：,大正方形的面积是125,小正方形面积是 25,大正方形的边长为 5. 5 ,小正方形的边长为 5,l- 5而cos575 sin5 ，5一cos sin , 5sincos故选：A.【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出cos sin5 .55 .如图，在 ABC中，AB AC , MN是边BC上一条运动的线段（点 M不与点B重1 合，点N不与点C重合），且 MN BC, MD BC交AB于点D , NE BC交2AC于点E ,在MN从左至右的运动过程中，设 B

6、M x , BMD的面积减去 CNE的 面积为y,则下列图象中，能表示 y与x的函数关系的图象大致是（）C.“1/设 a= - BC, / B=/ C=2【详解】a,求出CN、DM、EN的长度，利用y=”MD-Sacnee,即可求解.解：设 a= 1BC, Z B= / C= % 则 MN = a,2，CN= BC-MN-BM = 2a-a-x = a-x , DM = BM tanB= x tan,”EN= CN?tanC= ( a-x ) tan,”c 一1,，y = Szbmd-Sacne= ( BM. DM-CN EN)=21一 tan 222 a tanx tan a x 2x2a

7、tan2-为常数,上述函数图象为一次函数图象的一部分, 故选：A.【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识 点.解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动 点的完整运动过程.6 .如图，在等腰直角 AABC中，/ C= 90°, D为BC的中点，将 那BC折叠，使点 A与点D/B. 3C,【答案】B【解析】【分析】D.先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ,再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF ,设 CD 1 , CFx ,则CA CB 2 ,再根据勾股定理即可求解.【详解】解：

8、DEF是UEF翻折而成， DE阵 AEF, / A= / EDF,ABC是等腰直角三角形，/EDF= 45°,由三角形外角性质得/ CDF+45° = Z BED+45°,BEDU / CDF设 CD- 1 , CF= x,贝U CA= CB= 2, .DF= FA= 2-x,在RtACDF中，由勾股定理得，C*+CD2=DF2,即 x2+l = ( 2 x) 2,-3解得：x 3,4一 CF 3sin BED sin CDF DF 5 ,故选：B.【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性 质，涉及面较广，但难易适中.

9、7.如图，从点 A看一山坡上的电线杆 PQ,观测点P的仰角是45 ,向前走6m到达B 点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60和30。，则该电线杆PQ的高度()A.6273B.633C. 1033D. 873【答案】A【解析】【分析】延长PQ交直线AB于点E,设PE=x米，在直角那PE和直角ABPE中，根据三角函数利用 表示出AE和BE,列出方程求得x的值，再在直角 ABQE中利用三角函数求得 QE的长, 问题求解.【详解】解：延长PQ交直线AB于点E,设PE=x在直角AAPE中，/ A=45 ,AE=PE=x / PBE=60. / BPE=30在直角 4BPE 中，BE=Y3PE=Y3

10、X, 33.AB=AE-BE=6 米，则 x-二3 x=6, 3解得：x=9+3 J3.贝U BE=3j3+3.在直角 BEQ 中，QE=Y3BE=Y! （3禽+3） =3+J3 . 33PQ=PE-QE=9+3/3- （3+百）=6+2 向.答：电线杆PQ的高度是（6+2 J3）米.故选：A.【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题8.如图，在矩形 ABCD中，AB=2j3, BC= 10, E、F分别在边 BC, AD上，BE= DF.将EAD. /ABE, CDF分另IJ沿着AE, CF翻折后得到AAGE, CHF.若AG、CH分别平分/【解析】【

11、分析】C. 5D. 7如图作 GMAD于M交BC于N,作HT±BC于T.通过解直角三角形求出 AM、GM的长，同理可得 HT、CT的长，再通过证四边形 ABNM为矩形得MN=AB= 2石，BN = AM =3,最后证四边形 GHTN为平行四边形可得 GH= TN即可解决问题. 【详解】解：如图作 GMLAD于M交BC于N,作HT± BC于T.ABE沿着AE翻折后得到 小GE, ./ GAM=/BAE, AB=AG= 2 丘,.AG分别平分/ EAD, ./ BAE= / EAG, . / BAD= 90°, . / GAM = / BAE= / EAG= 30&#

12、176;,.GMXAD, ./ AMG = 90°,GMAM二.在 RtAAGM 中，sin/GAM = , cos/ GAM =.GM = AG?sin30° =事,AM = AG?cos30 = 3,同理可得HT= J3, CT= 3,. / AMG=Z B=/ BAD= 90°,四边形ABNM为矩形,.MN=AB= 2百，BN = AM = 3,.GN=MN - GM= 33 ,.GN=HT,又. GN/ HT,四边形GHTN是平行四边形，.-.GH=TN=BC- BN - CT= 10-3-3=4,故选：B.【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判

13、定和性质等知识，解题的关键是学会添加常 用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.9.如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°, A、B、C都是格点，则tan ABC ()A 3B 3C 3AB.C.【答案】A【解析】EF的长，进而利用【分析】直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出tan ABC EC得出答案. BE【详解】解:连接DC,交AB于点E.由题意可得：/AFC=30 , DC± AF,设 EC=xlJ1 EF=一x一 =y/3x , BF AFtan/ ABC故选:A 【点睛】此题主

14、要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出tan302EF 2j3xEC x _1_ _3BE 2,3x 、3x 3、39EF的长是解题关键.10.如图，某建筑物的顶部有一块标识牌 CD,小明在斜坡上 B处测得标识牌顶部 C的仰角 为45 °,沿斜坡走下来在地面 A处测得标识牌底部 D的仰角为60 °,已知斜坡AB的坡角为 30°, AB= AE=10米.则标识牌 CD的高度是（ 沐.口口口口口口A. 15-5 6B. 20-1073C. 10-573D, 5石-5【答案】A【解析】【分析】过点B作BM，EA的延长线于点M,过点B作BNCE于点N,通过解直角三角

15、形可求出 BM, AM, CN, DE的长，再结合 CD= CN+ EN-DE即可求出结论.【详解】解：过点B作BMLEA的延长线于点 M,过点B作BNLCE于点N,如图所示.在 RtAABE 中，AB= 10 米，Z BAM = 30°, .AM=AB?cos30 =5 石（米），BM = AB?sin30= 5 （米）.在 RtAACD 中，AE= 10 （米），/ DAE= 60°, .DE=AE?tan60° = 10 73 （米）.在 RtBCN 中，BN = AE+ AM = 10+573 （米），/ CBN= 45 °, .CN=BN?ta

16、n45° =10+573 （米）, .CD=CN+ EN-DE= 10+5 73+ 5-10 73=15-5 73 （米）.故选：A.【点睛】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题及解直角三角形 -坡度坡脚问题，通过解直角三角 形求出BM, AM, CN, DE的长是解题的关键.11.如图，河堤横断面迎水坡 AB的坡比是1： 3 堤高BC=10m,则坡面AB的长度是【解析】【分析】C. 20mD. in-3解:. RtAABC中，BC=10m, tanA=f： =-BC .AC=tan/l10= 3=103m.T.AB= ACG me1 m J（ioV3）z + ioz=2Om.故选C

17、.，锐角三角函数，特殊角的三角函数值及勾股【点睛】本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题） 定理，熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键.12.如图，在 RtVABC中， ACB.3 八一90 , tanB , CD为AB边上的中线，CE平 43A.一5【答案】DB.根据角平分线定理可得 AE： BE= AC：BC= 3:4,进而求得AE= AB,再由点D为AB中点71.一得AD= AB,进而可求得2【详解】AEi的值.AD解： CE平分，点E到ACB设点E到ACBACB ,的两边距离相等， 的两边距离位h,则 SAACE=S AACE： Sabcee= - ACh: 1BCh= AC:

18、 BC,又 Saacee： Szbce= AE： BE,.AE: BE= AC: BC,.在 RtVABC 中， ACB 90 ,3 tan B 一，4.AC: BC= 3:4, .AE: BE= 3:43 - AE= AB, 7 CD为AB边上的中线,11 1 AD= AB2.AE 7AB 6,布 1AB 72故选：D.【点睛】本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE： BE= AC： BC是解决本题的关键.13 .奔跑吧，兄弟！ ”节目组，预设计一个新的游戏：奔跑”路线需经A、B、C、D四地.如图，其中 A、B、C三地在同一直线上， D地在A地北偏东30

19、6;方向、在C地北偏西45方向.C地在A地北偏东75 °方向.且BD=BC=30m.从A地到D地的距离是（mC. 30 ,2 mD. 15 .6 m分析：过点D作DH垂直于AC,垂足为H,求出/ DAC的度数，判断出 4BCD是等边三角 形，再利用三角函数求出 AB的长，从而得到 AB+BC+CD的长.详解：过点 D作DH垂直于AC,垂足为H,由题意可知/ DAC=75 - 30 =45°,;BCD是等边三角形，/ DBC=60°, BD=BC=CD=30m, . DH=Y3 x 30=15/3 ,AD= J2DH=15j6m.故从A地到D地的距离是15 J6 m

20、.故选D.点睛：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直 角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.14 .已知圆锥的底面半径为5cm,侧面积为60兀cm,设圆锥的母线与高的夹角为0,则sin的值为（）B.135C.1212 D.1313【答案】C【解析】 【分析】1先求出圆锥底面周长可得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用扇形面积公式S lr可2求出母线的长，最后利用三角函数即可求出答案【详解】解：圆锥底面周长为 25 10且圆锥的侧面积为 60 71,圆锥的母线长为 2 6012,10 . sin 打 .12故选C.【点睛】本题考查了圆锥和三角

21、函数的相关知识.利用所学知识求出圆锥母线的长是解题的关键15.如图，抛物线y=ax2+bx+c （a>0）过原点O,与x轴另一交点为 A,顶点为B,若祥OB为等边三角形，则 b的值为（）A.一石B. - 2石C. - 373D. - 473【答案】B【解析】【分析】根据已知求出B (-上2a,2,2.2 ),由 9OB为等边三角形，得到 且 =tan60 °x (- 上)，4a4a2a即可求解；【详解】解：抛物线y = ax2+bx+c(a>0)过原点O,c= 0,2a 4a. AOB为等边三角形，b2b- = tan60 x(-),4a b= - 2 百;故选B.2a【

22、点睛】本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三 角形的边关系是解题的关键.16.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且 ()BEX AC于点F,则下列结论中错误的是A. AF= -CF2B. / DCF= / DFCC.图中与AAEF相似的三角形共有,3D. tan Z CAD=1 一一4一“人 一，故A正确，不符合题意;22由AE=- AD=-BC,又AD/ BC,所以绯 竺22BC FC1过D作DM / BE交AC于N,得到四边形 BMDE是平行四边形，求出 BM=DE=- BC 得到2，CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故 B正确，

23、不符合题意;根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由BA04ADC,得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan/CAD的值，故D错误，符合题意.【详解】解：A、AD/ BC, . AE% CBF,AE AF.=,BC FC1 1一 AE AD= BC, 22AF 1=故A正确，不符合题意；FC 2B、过 D作 DM / BE交 AC于 N,1. DE/ BM, BE/ DM, 四边形BMDE是平行四边形，.-.BM = DE= -BC,.BM = CM,.-.CN= NF,. BEAC 于点 F, DM / BE, DNXCF,.DF= DC,丁./ DCF= / DFC,

24、故B正确，不符合题意；C、图中与 AAEF相似的三角形有 ZACD, ABAF, CBF, ACAB, 那BE共有5个，故 C正 确，不符合题意.b aD、设 AD= a, AB= b 由 ABAEs ADC,有一=一.a 2 tanZCAD= CD = b = 变，故d错误，符合题意.AD a 2故选：D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线 是解题的关键.17.如图，矩形 ABCD的对角线AC、BD相交于点O, AB： BC= 2： 1,且BE/ AC, CE/DB,连接 DE,贝U tan / EDO ()【解析】【分析】C 2C.D.3

25、10过点E作EN直线DC交线段DC延长线于点F,连接OE交BC于点G.根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则 OE与BC垂直平分，易得 EFx,2CF=x再由锐角三角函数定义作答即可.【详解】解：矩形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O, AB: BC= 2: 1 ,BC= AD,设 AB=2x,贝U BC= x.如图，过点E作EH直线DC交线段DC延长线于点F,连接OE交BC于点G.1. BE/AC, CE/ BD, 四边形BOCE是平行四边形， 四边形ABCD是矩形，.-.OB=OC,，四边形BOCE是菱形. OE与BC垂直平分，1 _1 一 - EF= -A

26、D= - x, OE/ AB,22四边形AOEB是平行四边形,-.OE=AB= 2x,CF= OE= x【点睛】2,本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形, 解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型.18.如图，AB是。的直径，弦 CD）± AB于E点，若AD CD 2 J3 .则？C的长为（）A.一32 B.3D. 2-33根据垂径定理得到CE DE J3 , ?C Bd，/ A=30°,再利用三角函数求出 OD=2,即可利用弧长公式计算解答 .【详解】如图：连接OD,.AB是。的直径，弦 CD, AB于E点，AD CD 2底,/ A=30 °,CE DE 73, ?C Bd. / DOE=60 , .OD= DE 2, o sin 60Bc 的长=?D 的长=史2180故选：B.耳【点睛】此