圆复习专题讲义(补课用)

1、 圆复习专题讲义1、 圆的基本概念： 1.圆的定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。 .固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径 以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”。 .确定圆的要素是：圆心、半径。 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确定一个圆，两者缺一不可。 2.圆的新定义： .圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形。 .圆是从中心到周界各点有相同长度的图形。 .圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 3.弦、直径、弧的概念： .弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB； .直径：经过圆

2、心的弦叫做直径，如图线段AB； .弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧AC”大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧。 .半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 4.P点在圆的内部、圆的外部、圆上: .圆的内部：可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。(dr) .圆的外部:可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。(dr) .在圆上：可以看作是到圆心的距离等于半径的点的集合。（d=r） 5.圆心角与圆周角： .圆心角：如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角。 .圆

3、周角： 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.如：EAF、EBF、ECF这样的角。 6.过点作圆的情况： .过一个点A可以作无数个圆。 .经过已知两点A、B可以作无数个圆。 .过不在一条直线上的三点作（或确定）一个圆。 .经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆。 证明：如图，假设过同一直线L上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心 为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线L1，又在线段BC的垂直平分线L2，即点P为L1与L2点，而L1L，L2L，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾。 所以，过同一直线上的三点不能作圆。 点评：这种证明方法叫反证法其证明方

4、法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立。在某些情景下，反证法是很有效的证明方法。 7.三角形外接圆、内切圆和三角形外心及内心的概念： .外接圆：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。 .三角形的外心： 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。 .内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 .三角形的内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。 8.直线与圆的位置

5、关系： .设O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d则有： 直线L和O相交dr . 如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。 如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。 如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。 9.圆与圆有关的位置关系： 设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系 外离dr1+r2 外切d=r1+r2 相交r1-r2dr1+r2 内切d=r1-r2 内含0dr1-r2（其中d=0，两圆同心）

6、可以会出现以下五种情况： 在图（a）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离。 在图（b）中，两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切。 在图（c）中，两个圆有两个公共点，那么就说两个圆相交。 在图（d）中，两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切为了区分（e）和（d）图，把（b）图叫做外切，把（d）图叫做内切。 在图（e）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，为了区分图（e）和图（e），把图（a）叫做外离，把图（e）叫做内含。 图（f）是（e）甲的一种特殊情况圆心相同，我们把它称为同心圆。 10.在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系： .多边形的中心：一个

7、正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心。 .正多边形的半径： 外接圆的半径叫做正多边形的半径。 .正多边形的中心角： 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 .正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 二、定理与规律： 1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 2.垂径定理及推论： .定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 例1.如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为M，（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由。 解：（1）是轴对称图形，其对称轴是CD （

8、2）AM=BM，即直径CD平分弦AB，并且平分及 .推论：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。.垂径定理及其推论以及它们的应用：事实上：根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备： .经过圆心；.垂直于弦；.平分弦； .平分弦所对的优弧；.平分弦所对的劣弧。那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。 .解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或连接圆心和弦的中点，连结半径等辅助线，为应用垂径定理和勾股定理创造条件。 3.有关弧、弦、圆心角关系的定理及推论： .有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 .推

9、论： .在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 .在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。 例2.如图所示的O中，分别作相等的圆心角AOB和AOB将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 解：结论：=，AB=AB 理由：半径OA与OA重合，且AOB=AOB 半径OB与OB重合 点A与点A重合，点B与点B重合 与重合，弦AB与弦AB重合 =，AB=AB 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 例3.如图1，在O和O中，分别作相等的圆心角AOB和AOB得到如图2，滚动一个圆，使

10、O与O重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与OA重合 (1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现：=，AB=A/B/ 4.圆周角定理及推论： .圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半 .推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。 例4.定理证明：分三种情况： 第一种情况：当圆心(O)在圆周角(ABC)的一边(BC)上时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系。 证明：AOC是ABO的外角 AOC=ABO+BAO OA=OB ABO=BAO AOC=ABO ABC=AOC 第二种情况：如

11、图，圆周角ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么ABC=AOC吗？ 证明：连结BO交O于D同理AOD是ABO的外角，COD是BOC的外角，那么就有AOD=2ABO，DOC=2CBO，因此AOC=2ABC。 第三种情况：如图，圆周角ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么ABC=AOC吗？ 证明：连结OA、OC，连结BO并延长交O于D，那么AOD=2ABD，COD=2CBO，而ABC=ABD-CBO=AOD-COD=AOC。 5.切线的判定定理与性质定理： .切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 .切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 如图

12、，CD是切线，A是切点，连结AO与O于B，那么AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此，BAC=BAD=90 6.切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 如图，已知PA、PB是O的两条切线求证：PA=PB，OPA=OPB 证明：PA、PB是O的两条切线 OAAP，OBBP 又OA=OB，OP=OP， RtAOPRtBOP PA=PB，OPA=OPB 把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 三、弧长和扇形面积的计算公式： .n的圆心角所对的弧长L= .圆心角为n的扇

13、形面积是S扇形=。 四、例题精析： 题型1：垂径定理的应用： 例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OECD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径。分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握 解：如图，连接OC 设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m OECD CF=CD=600=300（m） 根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2 即R2=3002+（R-90）2 解得R=545 这段弯路的半径为545m 例2有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所

14、示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由。 分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R 解：不需要采取紧急措施 设OA=R，在RtAOC中，AC=30，CD=18 R2=302+（R-18）2 R2=900+R2-36R+324 解得R=34（m） 连接OM，设DE=x，在RtMOE中，ME=16 342=162+（34-x）2 162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x1=4，x2=64（不合设）

15、DE=4 不需采取紧急措施 练习： 1.如图2，O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是_ 2.如图4，AB为O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_。 3.P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；最长弦长为_。 4.如图，OE、OF分别为O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_（只需写一个正确的结论） 5.如图24-11，AB为O的直径，CD为弦，过C、D分别作CNCD、DMCD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由 解：AN=BM 理由：过点O作OECD于点E，则CE=DE，且C

16、NOEDM ON=OM，OA-ON=OB-OM， AN=BM 6.如图，O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦CD长 解：过O作OFCD于F，如右图所示 AE=2，EB=6，OE=2， EF=，OF=1，连结OD， 在RtODF中，42=12+DF2，DF=，CD=2。 7.（开放题）AB是O的直径，AC、AD是O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求DAC的度数。 解：（1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示:_B_A_C AB=16，AC=8，AD=8， AC=（AB），CAB=60， 同理可得DAB=30， DAC=30 （2）AC、AD在AB的异旁

17、，同理可得：DAC=60+30=90。 题型2：在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用： 例3. 如图，在O中，AB、CD是两条弦，OEAB，OFCD，垂足分别为EF （1）如果AOB=COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？AOB与COD呢？ 分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可。（2）OE=OF，在RtAOE和RtCOF中

18、，又有AO=CO是半径，RtAOERtCOF，AE=CF，AB=CD，又可运用上面的定理得到= 解：（1）如果AOB=COD，那么OE=OF 理由是：AOB=COD AB=CD OEAB，OFCD AE=AB，CF=CD AE=CF 又OA=OC RtOAERtOCF OE=OF （2）如果OE=OF，那么AB=CD，=，AOB=COD 理由是： OA=OC，OE=OF RtOAERtOCF AE=CF 又OEAB，OFCD AE=AB，CF=CD AB=2AE，CD=2CF AB=CD =，AOB=COD 例4.如图3和图4，MN是O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，APM=CPM

19、（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由。 （2）若交点P在O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由。 (3) (4) 分析：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的 解：（1）AB=CD 理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F APM=CPM 1=2 OE=OF 连结OD、OB且OB=OD RtOFDRtOEB DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD （2）作OEAB，OFCD，垂足为E、F APM=CPN且OP=OP，PEO

20、=PFO=90 RtOPERtOPF OE=OF 连接OA、OB、OC、OD 易证RtOBERtODF，RtOAERtOCF 1+2=3+4 AB=CD 练习： 1交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_。 （圆的旋转不变形 ） 2一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_ （或 ） 3如图6，AB和DE是O的直径，弦ACDE，若弦BE=3，则弦CE=_（3） 4.如图，在O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MCAB，NDAB，M、N在O上 （1）求证：=； （2）若C、D分别为OA、OB中点，则成立吗？ 解：（1）连结OM、ON，在RtOCM和RtODN中OM=ON，

21、OA=OB， AC=DB，OC=OD，RtOCMRtODN， AOM=BON， （2） 5.如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若D=50，求的度数和的度数。 解：BE弧的度数为80，EF弧的度数为50 6.如图，AOB=90，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD。 解：连结AC、BD，C、D是三等分点， AC=CD=DB，且AOC=90=30， OA=OC，OAC=OCA=75， 又AEC=OAE+AOE=45+30=75， AE=AC， 同理可证BF=BD，AE=BF=CD 题型3：圆周角定理的应用： 例5.如图

22、，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？ 分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是BAC的平分线即可 解：BD=CD 理由是：如图24-30，连接AD AB是O的直径 ADB=90即ADBC 又AC=AB BD=CD 例6.如图，已知ABC内接于O，A、B、C的对边分别设为a，b，c，O半径为R，求证：=2R。 分析：要证明=2R，只要证明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行 证明：连接CO并延长交O于D，连接DB

23、 CD是直径 DBC=90 又A=D 在RtDBC中，sinD=，即2R= 同理可证：=2R，=2R =2R 例7.如图,AB是O的直径，BD是弦,延长BD到C,使DC=BD,AC与AB的大小有什么关系?为什么?ODABC 分析：连接AD，则ADB=900，即ADCB，由DC=BD可知：ADCADB，AC=AB。 解：略。 变式题1：如图,ABC的顶点均在O上, AB=4, C=30,求O的直径。OACB 分析：连接AO并沿长AO交O于D点，再连接BD，则 DBA=900，又因BDA=C=30,所以AD=2AB=8。 变式题2：如图O中,D、E分别是AB和AC的中点, DE分别交AB和AC于点

24、M、N;求证:AMN是等腰三角形。ODABCNME 分析：要证AMN是等腰三角形，只要证AMN=ANM，分别连接AD和AE，则由外角定理可知：AMN=MDA+MAD；ANM=NEA+NAE，由圆周角推论可知：MAD=NEA；MDANAE，所以AMN=ANM。练习：BAO.70xAO.X120求圆中角X的度数 .如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。OABC 3.试找出下图中所有相等的圆周角。 ABCD12345678 4.已知O中弦AB的等于半径，求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。（圆心角为60度，圆周角为 30 度或 150 度。） 5.如图 AB是O的直径, C ,D是圆上的两点,若

25、ABD=40,则BCD=ABOCD 提示：连接AD。 6.如图：1、2、3、4的大小关系是_ 7.半径为2a的O中，弦AB的长为2a，则弦AB所对的圆周角的度数是_。 8.如图4，A、B是O的直径，C、D、E都是圆上的点，则1+2=_ (图4) (图5)9如图5，已知ABC为O内接三角形，BC=1，A=60，则O半径为_ 10.如图，AB是O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,ACB的平分线交O于点D .求 BC, AD ,BD 的长. 11.如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知O半径为1，求弦长AB。 分析：由题意AOB=3600（1+2）=1200，过O点作AB的垂线交AB于C点，

26、在RtBOC中，B=300，所以，OC=，由勾股定理可得：，即 AB。如图，已知AB=AC，APC=60（1）求证：ABC是等边三角形（2）若BC=4cm，求O的面积。（1）证明：ABC=APC=60，又，ACB=ABC=60，ABC为等边三角形（2）解：连结OC，过点O作ODBC，垂足为D，在RtODC中，DC=2，OCD=30，设OD=x，则OC=2x，4x2-x2=4，OC=如图，C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，BMO=120。（1）求证：AB为C直径。（2）求C的半径及圆心C的坐标。（1）略 （2）4，（-2，2）题型：点与圆有关的

27、位置关系的问题：例某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心。 分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心。 作法：（1）在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段； （2）作两线段的中垂线，相交于一点。 则O就为所求的圆心。例如图，已知梯形ABCD中，ABCD，AD=BC，AB=48cm，CD=30cm，高27cm，求作一个圆经过A、B、C、D四点，写出作法并求出这圆的半径（比例尺1：10） 分析：要求作一个圆经过A、B、C、D四个点，应该先选三个点确定一个

28、圆，然后证明第四点也在圆上即可要求半径就是求OC或OA或OB，因此，要在直角三角形中进行，不妨设在RtEOC中，设OF=x，则OE=27-x由OC=OB便可列出，这种方法是几何代数解 作法：分别作DC、AD的中垂线L、m，则交点O为所求ADC的外接圆圆心 ABCD为等腰梯形，L为其对称轴 OB=OA，点B也在O上 O为等腰梯形ABCD的外接圆 设OE=x，则OF=27-x，OC=OB 解得：x=20 OC=25，即半径为25m 例10.设厘米，画图并说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形： 和点的距离等于厘米的点的集合； 和点的距离小于厘米的点的集合. 解：以点为圆心，厘米长为半径的圆。 以点

29、为圆心，厘米长为半径的圆的内部。 思考：设厘米，画图并说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形： （1）和点、的距离都等于厘米的点的集合； （2）和点、的距离都小于厘米的点的集合. 解：（1）分别以点、为圆心，厘米长为半径的和 的交点。 （2）分别以点、为圆心，厘米长为半径的的内部与的内部的公共部分。 习题：下列说法：三点确定一个圆；三角形有且只有一个外接圆；圆有且只有一个内接三角形；三角形的外心是各边垂直平分线的交点；三角形的外心到三角形三边的距离相等；等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有如图，RtABC，C=90，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为如图，A

30、BC内接于O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平分ACB，则弦AD长为经过一点P可以作_个圆；经过两点P、Q可以作_个圆，圆心在_上；经过不在同一直线上的三个点可以作_个圆，圆心是_的交点 边长为a的等边三角形外接圆半径为_，圆心到边的距离为_。直角三角形的外心是_的中点，锐角三角形外心在三角形_，钝角三角形外心在三角形_答：锐角三角形的外心位于三角形内，直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点.钝角三角形的外心位于三角形外。 7.一个点到已知圆上的点的最大距离是8，最小距离是2，则圆的半径是_ 8.在ABC中，C=90，BC=3，AC=6，D为斜边的中点，CD为中线，以C为圆心,以 35/

31、2为半径作圆，则点A、B、D与圆C的关系如何？ 9.某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动物园A，植物园B和人工湖C包括在内，又要使这个圆形的面积最小，请你给出这个公园的施工图。（A、B、C不在同一直线上）植物园 人工湖 动物园 10.图中工具的CD边所在直线恰好垂直平分AB边，怎样用这个工具找出一个圆的圆心。ABD 11ABC中，AB=1，AC、BC是关于x的一元二次方程（m+5）x2-（2m-5）x+12=0两个根，外接圆O的面积为，求m的值解：R2=，R=，AB=1，AB为O直径，AC2+BC2=1，即（AC+BC）2-2ACBC=1，（）2-2=1，m2-18m-40=0，m=20或m

32、=-2，当m=-2时，r，C与直线AB相离； 当r=4时，dr 因此C和AB相离 (2)当r=2.4cm时，d=r 因此C和AB相切 (3)当r=3cm时， dr 因此C和AB相交 例15.直线AB经过O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证:直线AB是O的切线。 证明: 连接OC OA=OB, CA=CB OAB是等腰三角形,OC是底边AB上的中线 OCAB AB是O的切线。 例16.ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。 解:设AF=x(cm),则AE=x(cm)，CD=CE=AC-AE=13-

33、x BD=BF=AB-AF=9-x，由 BD+CD=BC可得：(13-x)+(9-x)=14，解得：x=4， AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm). 例17.如图，已知PA、PB是O的两条切线求证：PA=PB，OPA=OPB。 证明：PA、PB是O的两条切线 OAAP，OBBP 又OA=OB，OP=OP， RtAOPRtBOP PA=PB，OPA=OPB 因此，我们得到切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 例18.如图，已知O是ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且ABC的面积为

34、6求内切圆的半径r 分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，因此要转化为面积法来求就需添加辅助线，如果连结AO、BO、CO，就可把三角形ABC分为三块，那么就可解决 解：连结AO、BO、CO O是ABC的内切圆且D、E、F是切点 AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2 AB=4，BC=5，AC=3 又SABC=6 （4+5+3）r=6 r=1 答：所求的内切圆的半径为1 例19.如图，O的直径AB=12cm，AM、BN是两条切线，DC切O于E，交AM于D，交BN于C，设AD=x，BC=y （1）求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？ （2）若x、y是方程2t2-30t+m=

35、0的两根，求x，y的值 （3）求COD的面积 分析：（1）要求y与x的函数关系，就是求BC与AD的关系， 根据切线长定理：DE=AD=x，CE=CB=y，即DC=x+y， 又因为AB=12，所以只要作DFBC垂足为F， 根据勾股定理，便可求得（2）x，y是2t2-30t+m=0的两根，那么x1+x2=，x1x2=，便可求得x、y的值 （3）连结OE，便可求得 解：（1）过点D作DFBC，垂足为F，则四边形ABFD为矩形 O切AM、BN、CD于A、B、E DE=AD，CE=CB AD=x，CB=y CF=y-x，CD=x+y 在RtDCF中，DC2=DF2+CF2 即（x+y）2=（x-y）2+

36、122 xy=36 y=为反比例函数； （2）由x、y是方程2t-30t+m=0的两根，可得： x+y=15 同理可得：xy=36 x=3，y=12或x=12，y=3 （3）连结OE，则OECD SCOD=CDOE=（AD+BC）AB =1512 =45cm2 练习： 1如图，AB与O切于点C，OA=OB，若O的直径为8cm，AB=10cm，那么OA的长是_( ) 2.已知O分别与ABC的BC边，AB的延长线，AC的延长线相切，则BOC等于_(90-A ) 3.如图，AB为O直径，BD切O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为_(4 ) 4如图，P为O外一点，

37、PA、PB为O的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C，O半径为1，PO=2，则PA_，PB=_，PC=_AC=_，BC=_AOB=_( 120) 5.设I是ABC的内心，O是ABC的外心，A=80，则BIC=_，BOC=_(130 160) 6.如图，P为O外一点，PA切O于点A，过点P的任一直线交O于B、C，连结AB、AC，连PO交O于D、E （1）求证：PAB=C （2）如果PA2=PDPE，那么当PA=2，PD=1时，求O的半径 （1）提示：作直径AF，连BF，如右图所示 （2）由已知PA2=PDPE，可得O的半径为 7.设a、b、c分别为ABC中A、B、C的对边，面积为S，则内切圆半

38、径r=，其中P=（a+b+c）；（2）RtABC中，C=90，则r=（a+b-c） 解：（1）设I为ABC内心，内切圆半径为r，则SABC=ABr+BCr+ACr，则r=；（2）设内切圆与各边切于D、E、F，连结ID、IE，如图，则IDAC，IEBC，又C=90，ID=IE，DIEC为正方形，CE=CD=r，AD=AF=b-r，BE=BF=a-r，b-r+a-r=c，r=（a+b-c） 点评：Rt的三边长与其内切圆半径间的关系：BCAabcABCOr=（a+b-c）， 斜的三边长及面积与其内切圆半径间的关系： 8.如图1，平面直角坐标系中，O1与x轴相切于点A（-2，0），与y轴交于B、C两点

39、，O1B的延长线交x轴于点D（，0），连结AB （1）求证：ABO=ABO； （2）设E为优弧的中点，连结AC、BE交于点F，请你探求BEBF的值 （3）如图2，过A、B两点作O2与y轴的正半轴交于点M，与BD的延长线交于点N，当O2的大小变化时，给出下列两个结论 BM-BN的值不变；BM+BN的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值 （友情提示：如图3，如果DEBC，那么） (1) (2) (3) 解： （1）证明：连结O1A，则O1AOA，O1AOB，O1AB=ABO，又O1A=O1B，O1AB=O1BA，ABO1=ABO （2）连结CE，O1AOB， 设DB=2x，则O1D=5x，O1A=O1B=5x-2x=3x， 在RtDAO1中，（3x）2+（）2=（5x）2，x=6/5， O1A=O1B=，OB=1， OA是O1的切线，OA2=OBOC，OC=4，BC=3，AB=， E为优弧AC的中点，ABF=EBC， BAF=E，ABFEBC， BEBF=ABBC=3 （3）解：BM-BN的值不变 证明：在MB上取一点G，使MG=BN，连结AM、AN、AG、MN，ABO=ABO，ABO=AMN，ABO=ANM，AMN=ANM，AM=AN，AMG=ANB，MG=BN，AMGANB，AG=AB，ADBG，BG=2BO=2，BM-BN=B