2019全国中考数学真题分类汇编：与圆有关的位置关系

1、、选择题1. （2019 苏州）如图，AB为。的切线.切点为 A,连接 AO, BO , BO与。交于点C,延长BO与。交 于点D,连接AD若/ ABO =36° ,则/ ADC的度数为（）A. 54 ° B, 36°C. 32 ° D, 27°（第5题）A.20B.25C.40°D.50°A 一y【答案】BFE-6Ox【解析】0 .PA是。的切线，切点为A,OA± AP,Z OAP=90° ,bOA=OB , c.1. / B=/ OAB=Z AOP=25° ,故选 B. / APB=40&#

2、176; ,/ AOP=50° ,【答案】D【解析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质. .一AB 为。的切线， . / OAB =90 ° , / ABO =36 ° ,/ AOB =90 °-Z ABO =54° , / OA = OD ,. / ADC = / OAD , / AOB = / ADC + / OAD ,/ ADC = / AOB =27° ,故选 D.2. （2019 无锡）如图,PA是。O的切线，切点为 A, PO的延长线交。于点B,若/ P=40° ,则/

3、B的度数点，CF=1Q点D是线段CF的中点，连接 AD交y轴于点E,当 ABE的面积取得最小值时, 是()tan / BAD的值第12班图A. 一B. -C.-D._【答案】B.【解析】: A (8, 0), B (0, 8), / AOB=900,AOB是等腰直角三角形，0AB= , / OBA=45 ,取D (-5 , 0),当C、F分别在直线x=-5和x轴上运动时,线段DH是RtA CFD斜边上中线，DH= CF=10,故D在以H为圆心，半径为5的圆上运动，当AD与圆H相切时， ABE的面积最小.在 RtAADH 中，AH=OH+OA=13,AD = . /AOE=/ ADH =900,

4、 /EAO = /HAD,AOEAADH,即,OE=,BE=OB-OE=.*, SAABE 二 BE - OA=-AB - EG,EG= 一 .在 RBGE 中，/ EBG=450,BG=EG =,AG=AB-BG =在 RtA AEG 中,tan Z BAD = .故选B.4. （2019 台州）如图，等边三角形 ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边 AB,AC相切，则 O的半径为（）A. 2 3B.3C.4D. 4 - - 3【解析】 O 与 AB,AC 相切， . OD，AB,OE ± AC,又OD = OE,/ DAO = / EAO,又AB = AC, . .

5、 BO = CO, ，/DAO = 30° ,BO=4,，OD=OAtan/DAO=，3OA,又在 Rt AOB 中,AO =JaB2 -OB2 =4而,.OD =2 . 3，故选A.5. （ 2019 重庆B卷）如图，AB是。的直径，AC是。的切线，A为切点，若/ C = 40°则/ B的度数为（）B.50 °C.40 °D.30A.604题图【解析】圆的切线垂直于经过切点的半径，因为AC是。的切线，A为切点，所以/ BAC=90°,根据三角形内角和定理，若/ C=40°则/B的度数为50°.故选B.BC与。O交于点D,连

6、结OD .若6. （2019 重庆A卷）如图，AB是。的直径，AC是。的切线，A为切点,A. 40B. 50°C. 80°D. 100°/ C= 50 ° ,则/ AOD的度数为【解析】. AC 是。O 的切线，ACXAB. / C=50° ,B=90° -Z C= 40° . OB=OD,B=ZODB = 40° ,AOD =Z B+Z ODB = 80° ,故选 C.、填空题1. （2019 岳阳）如图，AB为。O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点 P作。O的切线PE,切点为M,.（写出所有过A、

7、B两点分别作PE的垂线AC、BD,垂足分别为 C、D,连接AM,则下列结论正确的是 正确结论的序号）AM 平分/ CAB;AM2=AC - AB;若AB=4, / APE=30° ,则BM的长为三;3若 AC=3, BD=1,贝U有 CM=DM= J3.r【答案】【解析】连接OM , BMPE是。O的切线, OM XPE. ACXPE,AC / OM . ./ CAM = Z AMO . .OA=OM, ./ AMO = Z MAO . ./ CAM = Z MAO.AM平分/ CAB.选项正确;,. AB为直径，AMB=90O=Z ACM. . / CAM = Z MAO,AMCA

8、 ABM.,AC AM =.AM AB2 AM =AC - AB.选项正确;P=30° , ./ MOP =60 ° . AB =4, 半径 r=2.60 二 2 2BM选项错误;=K1803 BD / OM / AC, OA=OB,CM = MD. . Z CAM + Z AMC=90° , /AMC + /BMD=90 ./ CAM = Z BMD . . / ACM = Z BDM=90° ,ACMA MDB .AC CM=.DM BDCM DM=3X 1=3.CM = DM= V3 .选项正确;综上所述，结论正确的有.2. （2019 无锡）如图

9、，在 ABC中，AC ： BC ： AB=5 ： 12 ： 13,匚O在 ABC内自由移动，若匚O的半径为1 ,且圆心O在 ABC内所能到达的区域的面积为 竺，则4 ABC的周长为3【答案】25【解析】如图，圆心O在 ABC内所能到达的区域是 O1O2O3, . O1O2O3三边向外扩大1得到ACB,，它的三边之比也是 5： 12： 13, .O1O2O3 的面积=10,，。102 = 5 ,。2。3=4,。1。3=£ ,连接 AO1 与 CO2, 333并延长相交于I,过I作IDLAC于D,交O1O2于巳过I作IGLBC于G交O3O2于F,则I是Rt ABC与RtO1O2O3的公共

10、内心，四边形 IEO2F四边形IDCG都是正方形,IE=IF =O1O2 O2O3O1O2O2O3 - O1O3ED=1,ID = IE + ED = -,设 ACB 的三边分别为 5m、12m、13m,则有 ID = AC 父 BC一=2m=5 ,解得3AC BC AB 35m= 5 , ABC 的周长=30m=25.63. （2019 济宁）如图，。为RtAABC直角边AC上一点，以 OC为半径的。O与斜边AB相切于点 D,交OA于点E,已知BC= 后,AC=3.则图中阴影部分的面积是.B【答案6 "3-34【解析】 在 RtAABC 中，tan A =BC = 3 ,A=30&

11、#176;. AC 3.。0与斜边 AB相切于点 D,，OD，AB.设。O的半径为r,在Rt区DO中，tanA = OD=,解得r=32叵二3,OA 3-r2603、3 -3 2 6 3 3阴影的面积是 s= 360-x兀x（ 313）2 = 1-兀4. （2019 眉山）如图，在RtAOB中，OA=OB=4J2,。的半径为2,点P是AB边上的动点, 过点P作。的一条切线PQ （点Q为切点）,则线段PQ长的最小值为.【答案】2.3【解析】连接OQ,如图所示,PQ是。的切线，OQ ± PQ ,根据勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2,，当POLAB时，线段PQ最短,在 RtAAOB 中，

12、OA=OB= 4 J2 ,AB=，2 OA=8 , Saaob= - OA?OB= - AB ? OP,即 OP= OA*OB =4,22ABPQ= JOP2 OQ2 = J42 _22 = 2察.故答案为：24.5. （2019 -宁波）如图,RtABC 中，/ C=90° ,AC = 12，点 D 在边 BC 上,CD = 5,BD= 13.点 P 是线段 AD 上一动点,当半径为6的匚P与 ABC的一边相切时，AP的长为 .【解析】 半径为6的匚P与4ABC的一边相切，可能与AC,BC,AB相切，故分类讨论：当匚P与AC相切时，点P到AC的距离为 不存在；6,但点P在线段AD上

13、运动，距离最大在点D处取到，为5,故这种情况当匚P与AC相切时，点P到BC的距离为113AP = -AD= .6,如图PE = 6,PE，AC,PE为 ACD的中位线，点P为AD中点，E D当匚P与AB相切时，点P到AB的距离为6,即 PF=6,PF，AB,过点 D 作 DGLAB 于点 G, . APFs ADG s ABC,PF ACAP AB淇中，PF= 6,AC = 12,AB = Jac2 +BC2 = 6布，AP= 3后；综上所述,AP的长为£或3炳.三、解答题1 . (2019 衡阳)如图，点A、B、C在半彳全为8的。上，过点B作BD/AC,交OA延长线于点 D,连接B

14、C, 且/ BCA = Z OAC=30°.(1)求证：BD是。的切线；(2)求图中阴影部分的面积.解：(1)证明：连接 OB 交 AC 于 E,由 / BCA=30°,AOB=60°.在？AOE 中，. / OAC= 30°, OEA = 90°,所以 OBAC. BD / AC,OBXBD.又B在圆上，.二BD为。的切线；(2)由半径为 8,所以OA=OB=8.在？AOC 中，Z OAC=Z OCA=30°, /COA=120°, AC=8 73 .BD=8 >/3 .232二x兀x若,3由 / BCA = /OA

15、C=30°,OA/ BC,而 BD /AC,二.四边形 ABCD 是平行四边形 .?OBD的面积为1X8X873 = 3273,扇形OAB的面积为-26阴影部分的面积为 32石一丝 .32. (2019 常德，22题，7分)如图6,。与 ABC的AC边相切于点 C,与AB、BC边分别交于点 D、E, DE / OA, CE是O O的直径.(1)求证：AB是。的切线;(2)若 BD = 4, CE = 6,求 AC 的长.B图6【解题过程】 证明：(1)连接 OD, .DE/OA, AOC = / OED, / AOD = / ODE , OD = OE , / OED = /ODE,

16、 AOC = Z AOD,又.OA=OA, OD = OC, .1.AAOCAAOD (SAS), . / ADO = / ACO. CE 是。的直径，AC 为。O 的切线，OCX AC, ./ OCA=90° , /. Z ADO = = 90° , ODXAB, .OD为。O的半径，AB是。的切线.BBO CE = 6,OD = OC=3, /BDO=90 (2019 武汉)已知AB是。O的直径，AM和BN是。O的两条切线，DC与。O相切于点 E,分别交 AM、BN于D、C两点(1) 如图 1,求证：AB2= 4AD BC(2)如图2,连接OE并延长交AM于点F,连接C

17、F.若/ ADE=2/OFC, AD = 1,求图中阴影部分的面积 =BD2 +OD2 , BD = 4,OB= J4 +32 =5,BC=8, ./ BDO = / OCA = 90 ° , /B = /B, /.A BDOA BCA, BD = OD . f =/_ AC=6BC AC '8 AC '【解题过程】证明：（1）如图1,连接OD, OC, OE.AD, BC, CD 是。的切线, OAXAD, OBXBC, OEXCD, AD = ED , BC=EC, /ODE=1/ADC, / OCE= 1 / BCDAD/BC,ODE + / OCE= 1 (/

18、ADC+/BCD) =90。,2. / ODE +Z DOE= 90°, .DOE = Z OCE.又. / OED = Z CEO= 90°,ODEACOE.OE =EC , OE2=ED ECED OEBC.-4OE2 = 4AD BC,AB2=4AD(2)解：如图 2,由(1)知/ ADE = / BOE,ADE = 2/ OFC , / BOE = / 2COF ,./ COF =/OFC,COF 等腰三角形。. OECD, . CD 垂直平分 OF. ./ AOD =/ DOE = Z OFD = 30°, / BOE= 120°.AD r一

19、.r=OA=3 =V3 , BC=OBtan60 = 3.tan30、一 S 阴影=2S. obc - S 扇形 OBE = 3 J3 一 兀4. （2019 陇南）如图，在 ABC中，AB = AC, /BAC=120°，点 D在BC边上，。D经过点 A和点B且与BC边相交于点E.（1）求证：AC是。D的切线;(2)若CE=2亚j,求。D的半径.(1)证明：连接AD. AB= AC / BAG= 120° ,B= / C= 30° , , AD= BD ./ BAD= / B= 30 , / ADC 60° ,，/DAC= 180° -60&

20、#176; -30° = 90 .AC是OD的切线；(2)解：连接AE,AD= DE / ADE= 60° ,.ADEM等边三角形， . AE= DE / AED= 60° , .Z EAG= / AEA / C= 30° , ./ EAC= / C, . AE= CE= 2/l, .O D的半径AD= 2后.5. (2019 -泰州，24题,10分)如图，四边形ABCD内接于。O,AC为。O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE / AC,交BC的延长线于点E.判断DE与。的位置关系，并说明理由；(2)若O O的半径为5,AB = 8,求CE的长.第2

21、4题图【解题过程】(1)DE为。的切线，理由如下：连接ODAC为。的直径，D为弧AC的中点，弧AD =弧CD,所 以 AD=DC,因为 AO = OC,所以 ODLAC, ./AOD = / COD = 90°，又DE/AC, / EDO = / AOD = 90° , 所以ODDE, /.DE为。的切线；第24题答图(2) DE / AC, . EDC = Z ACD,/ ACD =Z ABD,所以/ EDC = / ABD,又. / DCE = / BAD, DCEABAD, CE =DC, ,.半径为 5,. AC = IO,/ D 为弧 AC 的中点，. AD =

22、CD= 5& ,，CE=竺AD AB46. (2019 金华)如图，在Y OABC中，以。为圆心，OA为半径的圆与 BC相切于点B,与OC相交于点D.(1)求BD的度数;(2)如图，点 E在。0上，连结 CE与。交于点F.若EF=AB,求/ OCE的度数.a' C解：1）连结OB. BC是。O的切线， OBXBC, 四边形OABC是平行四边形OA / BC,OBXOA.AOB是等腰直角三角形. ./ ABO =45°. OC / AB, ./ BOC = Z ABO = 45°.BD的的度数为45°(2)连结OE,过点O作OH，EC于点H,设EH=

23、t,. OH，EC,EF=2HE = 2t, 四边形OABC是平行四边形AB = CO= EF=2t, AOB是等腰直角三角形. .O O 的半径 OA= 6t.在 RtEHO 中，OH = Joe" EH 2 =，2t/ 12 =t在 RtAOCH 中，OC = 2OH, . . / OCE = 3Q°.7. (2Q19 天津)已知 PA,PB分别与。O相切于点 A,B , / APB=8Q°如图，求/ ACB的大小；,C为。上一点,EAC的大小.解：（1）如图，连接 OA,OBPA,PB分别是切线OA ±PA,OB±PB,即 / PAO=

24、/ PBO=9Q/ APB=8Q，在四边形 OAPB 中，/ AOB=36Q -9Q -9Q -8Q °=1QQ°八1八4 ./ ACB= ZAOB=5Q2(2)如图，AE为。O的直径，AE与BC相交于点 D,若AB=AD , >(2)如图，连接CE, , AE为直径，/ ACE=9Q ,由（1）知，/ ACB=50 ,/ BCE= / ACE- / ACB=40 ,/ BAE= / BCE=40 ,.在 ABD 中，AB=AD,/ ADB= / ABD=70. ACD中，/ ADB是外角，/ EAC= / ADB- / ACB=70 -50 =20°8.

25、（2019 娄底）如图（12），点D在以AB为直径的。O上，AD平分/ BAC , DCXAC ,过点B作。O的切 线交AD的延长线于点E.（1）求证：直线CD是。的切线.（2）求证：cdLbe=ad_De.图（12）【解题过程】证明：（1）如图，连结OD, 在。O 中，有 OA = OD, ./ OAD =Z ODA ,又 AD平分/ BAC , ./ OAD =Z CAD , ./ ODA =Z CAD ,又 ; DC±AC ./ ADC+ / ADO =90° ./ ODC = 90° ,即 ODXCD;，直线CD是。O的切线.(2)如图，连结BD,AB为。

26、O的直径，ADB =/ BDE= 90° .又. DC，AC ./ACD =/BDE. BE 为。O 的切线，DCAC , AD 平分/ BAC ,E=Z ADCACDABDECD DE =AD BECDBE =AD_DE .9. (2019 攀枝花)如图1,有一个残缺的圆，请做出残缺圆的圆心O (保留作图痕迹，不写做法)如图2,设AB是该残缺圆。的直径，C是圆上一点，/ CAB的角平分线 AD交。于点D,过点D作。O的切线交AC的延长线于点 E.(1)求证：AEXDE; (2)若DE = 3, AC=2,求残缺圆的半圆面积.解：图1问题解答如下：如图,图2点即为所求.图2问题解答如

27、下：(1)证明：连接OD交BC于H. AB是该残缺圆。O的直径，ACB = 90° .DE为。O的切线 ODXDE. AD 平分/ CABCAD =Z DAB . .OD = OA, ./ DAB = Z ODA = Z CAD.OD / AE. AEXDE.A(2) AB是。O的直径， ./ ACB = 90° . OD / AE, ODXBC.BC = 2CH . 四边形CEDH为矩形. DE = 3,，CH = ED = 3,，BC=6, .AC = 2,AB = 2 10 ,AO = , 10 , 1- S半圆=-兀AO2=5ti.210. （2019 凉山） 如图

28、，点D是以AB为直径的。O上一点，过点B作。的切线，交 AD的延长线于点 C, E是BC的中点，连 接DE并延长与AB的延长线交于点F.(1)求证：DF是。的切线；(2)若 OB=BF, EF=4,求 AD 的长.解：（1）证明：连接 OD. ;。的切线，BCXOB,OBC=90° . .AB 为。O 直径，ADB=90° , ; / 0 _ _ 1 _ ADB + /CDB =180 , . CDB =90 . .E是BC的中点，ED = EB=- BC, . . / EDB = / EBD.OD=OB,/ODB=/OBD, ./ ODF=Z OBC=90° ,

29、，DF,OD, . DF 是。的切线；（2）由（1）知/ ODB=90° , 1 OD=OB=BF, . . sin / F= OD =1 , . . / F=30° , / DOB+Z F =90 ° ,OF 2DOB=60° ,ODB 是等边三角形，./ OBD=60° , . tan / OBD = = 73 , . AD = J3 BD .BC, AF ,BD= sin Z F= , - EF=4, - BE=2, - BF= v EF2 - BE2 =2 V3 =OB=DB, . - AD= < 3 BD=6.BF2C211.

30、(2019 乐山)已知关于x的一兀二次万程 x -(k+4)x+ 4k = 0.(1)求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；1 13(2)若方程的两个实数根为 x1、x2，满足'+' = 3,求k的值；x1 x2 4(3)若Rt ABC的斜边为5,另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，求RtA ABC的内切圆半径.2 22解：(1)证明： A=(k+4) 16k = k 8k+16 = (k4) >0,二无论k为任何实数时，此方程总有两 个实数根.(2)由题意得： x1 + x2 = k +4 , x1 x2 =4k , 丁 十一=,二 xx2 =。，即-=

31、, 解得： Xi x2 4Xi x24 4k 4k =2；(3)解方程得：x1=4, x2=k, 根据题意得：42+k2 =52,即k = 3,设直角三角形 ABC的内切圆半3 4-5径为r,如图，由切线长定理可得：(3r)+(4 r)=5,直角三角形 ABC的内切圆半径r = 3 4 5=1 ；2第23题答图12. (2019乐山)如图，直线l与。相离，OA_Ll于点A,与。相交于点P, OA = 5.C是直线l上一点, 连结CP并延长交。O于另一点B ,且AB = AC .(1)求证：AB是。的切线；(2)若。的半径为3,求线段BP的长.第24题图解：证明：(1)如图，连结 OB ,则 O

32、P =OB，二 /OBP =/OPB =/CPA ,; AB = AC，: ZACB =/ABC ,而 OA _L l ,即 /OAC = 90°,ACB+/CPA =90*,即/ABP+/OBP =90°,，ABO=901,OB _L AB ,故AB是。O的切线；(2)由(1)知：/ABO =90，而 OA=5, OB = OP =3 ,由勾股定理，得： AB =4,过 O 作 OD _L PB 于 D ,则 PD = DB , 在 AODP 和 ACAP 中，:/O P D /C P APD OP/ODP =/CAP =90 ,，9DP s ACAP ,=, 又，AC = AB=4, AP = OA OP = 2,PA CPOP PA 36:.PC =MAC2 +AP2 =2卮"PD =痣，, BP = 2PD= 75.CP5513.(2019 枣庄)如图，在RtAABC中，/ABC =90° ,以AB为直