第8讲 求解浅水方程的传统数值方法1_71108073

1、浅水流动的特性与数浅水流动的特性与数值模拟值模拟朱德军旧水利馆 206, 2 数学方程的分类 模型方程 有限差分逼近和数值格式 等价方程与修正方程 数值格式稳定性分析 模型方程的典型差分格式*内容回顾3 浅水流动的特征与控制方程 浅水方程的不同形式 浅水方程的双曲特性和特征空间 浅水方程黎曼问题和溃坝问题 无干湿变化情况的解析解 有干湿变化情况的解析解 污染物质的随流运动4一阶波动方程 采用Lax-Wendroff 格式进行离散，形成的差分方程为： 推导上述差分方程的修正方程。oxuatu 1211112202nnnnjjjjnnnjjjuuuuatauuutxx题题3：课后作业讨论52334

2、2234.:1168uuxua xuM Eaaccctxxx 修正方程式修正方程式(标准形式标准形式);意义意义：严格的含义下，差分方程和修正方程描述了同一个物严格的含义下，差分方程和修正方程描述了同一个物理问题（尽管该物理问题可能只是虚拟的），理问题（尽管该物理问题可能只是虚拟的），因此通过对修因此通过对修正方程各种性质的讨论将得到差分方程的基本性质正方程各种性质的讨论将得到差分方程的基本性质 修正方程式的应用修正方程式的应用; ; 分析格式的耗散和频散特性分析格式的耗散和频散特性 提高格式精度、改善性能，创立新格式提高格式精度、改善性能，创立新格式nnnnxuvxuatu 26考查方程：考

3、查方程： (2-7-1)(2-7-1)解的性质解的性质微分方程解的耗散或频散特性微分方程解的耗散或频散特性nnnnxuvxuatu 2 ikxkeAxuoxu 0,设初值条件为：设初值条件为：02,ikxkkAek称为波数表示波长；、分别反映波数为 的分波振幅和波形。其中：其中：7得到解的一般形式为：得到解的一般形式为： (2-7-2)(2-7-2) 若将若将 写成：写成： 其中其中 为实数。为实数。其中其中 为复数，并且为复数，并且 )(0,txikkkeAtxu k k kkk kkki21 kk21, 22212112111()( 1)mmkmmmmkmmkv kk avk（）代入代入(

4、2-7-2)(2-7-2)，得到：，得到：22122111( 1) ()( 1)0( , )mmmmmmmmvkti k x atvktkku x tAee(2-7-3)(2-7-3)822122111( 1) ()( 1)0( , )mmmmmmmmvkti k x atvktkku x tAee其中：其中：21211()( 1)mmmmk xatvkt具有角度量纲；具有角度量纲；2112212111()( 1)( 1)mmmmmmmmk xatvktkxavkt波速波速振幅振幅9()0(,)kikxttkku x ttAe 2212211100(1)()(1)kkmmmmmmmmikxtt

5、kikxtkvkti kxatvktA eGA eee 对于线性问题，可以对的每一个分量(即分立波)进行分析：当 时，解可以写成：ttt 00,kkik xttkik xtkA eu x ttGu x tA e 引入放大因子G；G是复数10G221( 1)mmmmvktGe21211( 1)mmmmArgGka tvkt GArgGt 的含义；是相邻 时间间隔内解的振幅的改变； 的含义是相邻 时间间隔内解的相位差的改变。对于复数G，可以考察 ，以及G的幅角：ArgGt 11（1）方程（271）的解既有耗散，也有频散，其耗散及频散特性与下面两个无穷级数的和有密切的关系：22122111( 1)

6、( 1)mmmmmmmmv kvk，（2）偶阶导数项影响解的耗散，并且对于能被4的整除的偶阶项， 当其系数为负时，是正耗散，为正时是负耗散（解趋于无穷）；而其余的偶阶项（即不能被4整除的偶阶项，例如2阶、6阶、10阶等）当系数为正时是正耗散，系数为负时是负耗散（解）；（3）奇阶导数项只影响解的频散（色散）特性，不影响解的耗散特性。12分别取 进行计算，画出计算10步、20步、30步以后的解的空间分布曲线。 采用FTCS格式 ：22( ,0) 0.3 (0.5)(0, )(1, ) 0uutxu xutut 15 . 02xts 题题1:11122nnnnnjjjjjuuuuutx13差分格式的

7、稳定性差分格式的稳定性(Stability)(Stability)一个微分物理问题可以形成各种不同的差分计算格式一个微分物理问题可以形成各种不同的差分计算格式; ;差分计算格式差分计算格式包含包含: :网格划分、差分方程、初边值条件的网格划分、差分方程、初边值条件的数值处理等，所有这些因素综合形成一个差分计算格式，对应这数值处理等，所有这些因素综合形成一个差分计算格式，对应这一格式的解称之差分数值解；一格式的解称之差分数值解；对于一个差分格式，当初值条件为有界时，差分计算格式对于一个差分格式，当初值条件为有界时，差分计算格式的数值解可能仍保持有界性；但也可能是无界的；有界的数值解的数值解可能仍

8、保持有界性；但也可能是无界的；有界的数值解称格式是稳定的，而数值解变为无界，则是不稳定的；称格式是稳定的，而数值解变为无界，则是不稳定的；误差传播方程的概念误差传播方程的概念稳定性问题稳定性问题也可以解释为：稳定的差分格式对误差的传播是也可以解释为：稳定的差分格式对误差的传播是有界的，而不稳定的格式对误差的传播将是无界的。有界的，而不稳定的格式对误差的传播将是无界的。1411122nnnnnjjjjjuuuuutx22446232221112312246.:12360uua xua xuM Eqaatatat xtxxx 1 2cos11 22 cosGsk xssk x 放大因子：1 1 4

9、1s 1 41sG00.5s15差分格式的保单调性 保单调格式的性质是指差分格式的计算，能保持原有函数的单调性。保单调格式对于防止数值解在连续区出现伪振荡是非常重要的； 保单调性质是指；若所给初值函数值 是 的单调函数（也可以是分段单调函数），那么由保单调格式计算得到的 也一定是 的单调函数且与 具有相同的单调性。njuj1 njujnju单调格式和狭义单调格式：对于守恒格式其中 为自变量的 元函数如果恒有 ，则称为单调格式;如果恒有 ，则称为狭义单调格式。11,nnnnjjkjkjkUHUUU0 iUnkjnkjUUHkjikj ,是以是以12 k0iU16 单调格式具有保单调性质 证明：设

10、 是单调的（不失一般性，设为单调增加），即 考虑 考虑到单调格式的定义及函数单调性的假设，上式大于等于零，故证毕。 狭义单调和耗散性之间密切相关 njUnkjnjnjnjnkjnkjUUUUUU11101nkjnkjnkjUUU 0)()()(1111111 nkjnkjnkjnkjnkjnkjnkjnkjnkjnkjnjnjUUHUUHUUHUUUUUU17 njnjnjnjnjuuuxtuu11212 FTCS格式11112nnnnjjjjusus usu111,nnnnjjjjuHuuu0 iU1111,12nnnnnnjjjjjjH uuusus usu00.5s0iU00.5s18题

11、2：Burger方程，其守恒形式是：格式1（由守恒形式出发）：格式2（由非守恒形式出发）：0 xuutu0)21(2xutu)()(22121njnjnjnjuuxtuu)(11njnjnjnjnjuuuxtuu请分别判断上述两个格式是否守恒，要求写出判断过程。19差分格式的守恒性 如果对一个差分方程在定义域的任意有限空间内作求和运算，（即相当于在连续问题中对微分方程在空间域中作积分运算）所得的表达式仍能满足该区域上物理量的守恒关系，则称该差分格式具有守恒性，或守恒格式20220, , 12huhhutxhugh轾轾犏抖犏犏+=犏犏抖+犏臌犏臌UFUFUFUFRU ULU U渠道长20 km，

12、坝位于10 km处，瞬时全溃 uL=uR=0, hL=10 m, 分别计算hR为5 m，2 m，以及为0时，溃坝100 s后的水面线 uL=-25 m/s，uR=25 m/s，hL=hR=10 m, 计算溃坝100 s后的水面线题4：21oxtoxtoxtoxt*LRhhhh* LRhhhh* LRhhhh*LRhhhh22()()2LRRLcritughghuuD+-hf(h)ohmhMI1I2I3()1uD()2uD()3uD()cri tuD( )( )( )1230, 0, 0, mmMMf hhIf hhhIf hhI -=+- h*是下面关于h的方程的解24()()*22, (1)

13、, 2LLLLLLLLughghhhug hhuhhhhh h+-=+- ()()*22, (2), 2RRRRRRRRughghhhug hhuhhhhh h-+=+- 根据第一簇特征线两侧关系：根据第三簇特征线两侧关系：25oxtULU0存在干湿变化的情况 思考题解有没有可能是其他形式，为什么？解有没有可能是其他形式，为什么？26 如果h*=0，得到：()()()()*2222* * *12s hhh uhus h uhuh uhug hhs h vhvh u vhuv-=-=-+-=- *suhh = =间断波不可能和河床直接相连不失一般性，设 h0，根据间断波R-H关系，得到：与 h0

14、矛盾，证明了间断波不能直接和河床相连27oxtoxt*0h=*Rhh*Lhhoxt28oxt*,0RRRRuuccucucucuuc=+=+-=+oxtULU029另一种出现干湿变化的情况ULU0oxtUR()2RLLRuuughghD=-+30 思考题无论上述哪一种情况，无论上述哪一种情况，F(0,F(0,t t) )始终为常数，为什么？始终为常数，为什么？31第五章求解浅水方程的传统数值方法 特征线法 显式差分法 隐式差分法 多维格式 应用实例32一维浅水方程组-圣维南方程组224/30()0ZQBtxn Q QQQZgAgtxAxAR2221/3()0()()0hhutxhuhuzgn

15、ughtxxh)(0fAJigshgsvvtvshvsvhth0()fhvhhvtssvvhvgg iJtss33将偏微分方程化为常微分方程进行求解将偏微分方程化为常微分方程进行求解 )(0fAJigshgsvvtvshvsvhth乘乘拉格朗日算子拉格朗日算子 )(fAJigshvsvhthshgsvvtv)()()(fAJigshgvthsvhvtv1. 1. 特征线方程和特征方程特征线方程和特征方程 ？全微分概念全微分概念5.1 特征线法34dtdsshthdtdhgvhvdtdsAAhg/Aghvdtds/特征特征线线方程方程)()()(fAJigshgvthsvhvtvdtJigghv

16、df)()2( 特征方程特征方程通过特征线将通过特征线将偏微分方程组偏微分方程组（非线性、双曲型）（非线性、双曲型）化为化为常微分方程常微分方程（新的变量新的变量 ）ghv2dtdssvtvdtdv 注意注意: : ds/dt ds/dt 不等于普通的不等于普通的流速流速V V讨论限于矩形渠道讨论限于矩形渠道由于由于定义定义特征线特征线在流动在流动中能观中能观察到吗察到吗？/()Afdvg h dhg i Jdt35缓流缓流 1rAvFgh2. 2. 特征线在特征线在(s,t)(s,t)平面上的形式平面上的形式ts:0:0AAdsvghdtdsvghdt st 急流急流 1rAvFgh:0:0

17、AAdsvghdtdsvghdt36影响区域影响区域3 3 影响区域影响区域 与依赖区域与依赖区域 ts依赖区依赖区ts 黎曼不变量黎曼不变量0 fJi0 fJi准黎曼不变量准黎曼不变量)2(ghv)2(ghvAPRL 37沿正特征线沿正特征线 积分积分：4. 4. 沿特征线积分沿特征线积分 假定假定 在在RP段上的值可以用段上的值可以用 来近似来近似 在在LP段上的值可以用段上的值可以用 来近似来近似 fJRfJ )(LfJ )(fJ)()()2()2(RpRfRRppttJigghvghv )()()2()2(LpLfLLppttJigghvghv PPvh、 沿负特征线沿负特征线 积分：

18、积分： 两个方程，求解两个未知数：两个方程，求解两个未知数：PRLts 385. 5. 初始条件与边界条件初始条件与边界条件s=sLs=s0下下游游边边界界ts上游上游边界边界t=t0 初始条件初始条件t0初始条件初始条件边界条件边界条件待求节点待求节点39缓流：缓流：ts上游边界上游边界下游边界下游边界 急流：急流：上游边界上游边界下游边界下游边界ts 40初始条件初始条件边界条件边界条件s sV VS=0S=0S=LS=L000|( )|( )( ), ( ) |0ssshh tvv tf h t v t|( )|( )( ), ( ) |0s Ls Ls Lhh tvv tf h t v

19、 t)(|0shht上游上游下游下游)(|0svvt6 6个之中只给个之中只给出两个即可出两个即可416. 6. 特征线法特征线法ts未知未知s sR R, h, hR R,v,vR RP 位置位置s,t 已知，已知，h,v 未知未知未知未知s sL L, h, hL L,v,vL L未知未知 h hP P,v,vP Pnn+1L RPBAC42scctscctvccAcAcLcL/)(1/)(stcvssssssssvvvvLLAcLPAcLcAcLc)(stcvccccLLAcLc)(未知未知: (n+1): (n+1)时刻的（时刻的（h,vh,v）nn+1LRPBACts 已知已知：1

20、1）网格结点上的）网格结点上的 ( s,t )( s,t ) 2 2）n n时刻的（时刻的（ h vh v）Step_1Step_1 确定确定L L点的点的(h,v,s)(h,v,s)stccvvsvcvctvvAcAcAccACL/)(1/ )(线性插值线性插值ghc ()LcLLsstvc43stcvccccRRBcRc)(nn+1LRPBACts Step_2Step_2 确定确定R R点的点的(h,v,s)(h,v,s)()/1 ()/CBccBRcBcBvt c vc vsvvvcctsscctscctvccBcBcRcR/)(1/)(ghc stcvssssssssvvvvRRBc

21、RPBcRcBcRc)()(RRcRcvtss44沿沿正正特征线积分特征线积分： nn+1LRPBACts )()()2()2(LpLfLLppttJigghvghv)()()2()2(RpRfRRppttJigghvghv沿沿负负特征线积分：特征线积分：两个方程，求解两个未知数两个方程，求解两个未知数pvPgh45例例1 1h0=4.0mB水位匀速下降水位匀速下降o o点水位每小时以点水位每小时以 1m 1m 速度下落（水位已知）速度下落（水位已知）A Ao o 距离为距离为S SAOAO=2km=2km， h hA A=4-1.8=2.2m =4-1.8=2.2m sv02kmAOP初始条

22、件初始条件边界条件边界条件B B处处; s=0, h=h; s=0, h=h0 0=4 m=4 mh h0 0=4 m , v=4 m , v0 0=0.9 m/s=0.9 m/s ( () )求：求：A A处下降处下降1.8m1.8m所需时间所需时间46水位匀速下降水位匀速下降v0h0=4.0mB2kmAOstBt=0时刻，时刻， O未受扰动，未受扰动，过过O点作逆特征线，交点作逆特征线，交 S=0 垂线于垂线于B点点sOsmghvghvdtds/36. 58 . 949 . 000 OB上处处存在上处处存在 h=h0=4 m, v=v0=0.9 m/s 471 1） 特征线分析特征线分析 由于由于i=0, Jf=0, , 在特征线上成立在特征线上成立 constghv 2stBPARNO过过A A点的逆特征线交点的逆特征线交 S=LS=L 垂线于垂线于P P点点过过A A点的正特征线交点的正特征线交OBOB线于线于N N点点过过P P点的正特征线交点的正特征线交OBOB线于线于R R点点4822ppAAvghvghPA 逆特征线逆特征线（1）222ppRRoovghvghvg