函数奇偶性经典讲义 - 新

1、 奇偶性部分复习提问（一）奇偶函数的定义奇函数偶函数代数定义 恒成立恒成立 几何定义图像关于原点对称且图像关于y轴对称备注定义域关于原点对称是判断奇偶函数的前提，函数奇偶性是函数的整体性质。（二）、函数按奇偶分类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数（非奇非偶）（三）、奇偶函数的性质： 1、奇函数的反函数也是奇函数 2、奇偶函数的加减：；奇偶函数的乘除：同偶异奇 3、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。 4、定义在R上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和（四）、函数奇偶性的做题方法与步骤。 第一步，判断函数的

2、定义域是否关于原点对称；第二步，求出的表达式；第三步，比较的关系 题型与方法归纳题型与方法一、判定奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性1) 2） 3）4） 5）解：1）的定义域为R，所以原函数为偶函数。2）的定义域为即，关于原点对称，所以原函数为奇函数。3） 的定义域为即，关于原点对称，又即 ，所以原函数既是奇函数又是偶函数。4）的定义域为 即，定义域不关于原点对称，所以原函数既不是奇函数又不是偶函数。5）分段函数的定义域为关于原点对称，当时，当时， ，综上所述，在上总有 所以原函数为奇函数。注意：在判断分段函数的奇偶性时，要对x在各个区间上分别讨论，应注意由x的取值范围确定应用相应的函数表达式。

3、练习1：判断下列函数的奇偶性 1） 2） 3） 4） 5）二、利用奇偶性求函数解析式：例2：设是R上是奇函数，且当时，求在R上的解析式解：当时有，设， 则，从而有 ，是R上是奇函数，所以 ，因此所求函数的解析式为注意：在求函数的解析式时，当球自变量在不同的区间上是不同表达式时，要用分段函数是形式表示出来。练习2：已知为奇函数，当时，求的表达式。练习3、已知为奇函数，为偶函数，且，求函数的表达式。例3：设函数是定义域R上的偶函数，且图像关于对称，已知时，求时的表达式。解：图像关于对称， = 所以时的表达式为=练习3：已知函数 为奇函数，当时，求的表达式。例4：已知函数且，求的值解：令，则 为奇函

4、数， 练习4：已知函数且，求的值。例5：定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且有求的取值范围。解：，且为偶函数，且在区间单调递增，在区间上为减函数，所以a的取值范围是。点评：利用函数的奇偶性及单调性，将函数值之间的大小关系转换为自变量的大小关系，从而应用不等式有关知识求解.练习5：定义在上的奇函数为减函数，且，求实数a的取值范围。练习6：定义在上的偶函数，当时，为减函数，若成立，求m的取值范围。三、抽象函数奇偶性的判断解题方法与步骤：（1）设/令 （2）求值 （3）判断对任意的，均有，是判断函数奇偶性。解：设y=-1，则。令x=y=-1, ,令x=y=1，,所以，练习1、已知且，判断函数的奇偶

5、性。练习2、，判断函数的奇偶性。趁热打铁1、判断下列函数的奇偶性.(1)；(2)；(3)；(4) 2、设函数定义在上，证明：(1)为偶函数；(2) 为奇函数.3、若函数在区间上是奇函数，则a=( )A . -3或1 B. 3或-1 C. 1 D. -34、 已知函数，则它是（ ）A 奇函数 B 偶函数 C 即是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数又不是偶函数5. ,判断的奇偶性。 温故知新1 判断下列函数的奇偶性（5） （6）2.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,则( ). A. B. C. D. 3.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为（ ）A B C D4

6、.函数的定义域为R，若与都是奇函数，则 ( )(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数5、已知函数.（1）求证：不论为何实数总是为增函数；（2）确定的值，使为奇函数；（3）当为奇函数时，求的值域。6、函数是定义域为R的偶函数，且对任意的，均有成立。当时， （1）当时，求的表达式；（2）若的最大值为，解关于x的不等式。例1.判断下列函数的奇偶性（1）（2）（3）（4）例1 判断函数(x)=3x2, x 的奇偶性。判断函数 的奇偶性。判断函数的奇偶性。判断函数 的奇偶性。判断函数 例2已知（1） 判断f(x)的奇偶性。（2） 证明f(x)>0.1 已知奇偶性求值例.（1）

7、已知是奇函数，则（2）若是奇函数，则a=_.（3）已知函数是偶函数，则a=_1.判断下列函数的奇偶性：（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7）2若是偶函数，则的递减区间是 3.已知，且，则等于（ ）4已知函数是定义在上的奇函数，且当时，求的解析式.5设为偶函数，是奇函数，且，求、的解析式.6函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集.7定义在上的偶函数，当时，为增函数，若成立，求的取值范围.8.已知函数为偶函数，其定义域是，求的值域9已知函数是定义在上的奇函数，且（1）确定函数的解析式；(2)用定义证明在上是增函数（3）解不等式.高考题练习10.（07广东文3）若函数，则函数在

8、其定义域上是（ ）A单调递减的偶函数 B单调递减的奇函数C单调递增的偶函数 D单调递增的奇函数11.（10安徽理4）若是上周期为的奇函数，且满足，则（）A B C D12.（10广东文3）若函数与的定义域均为，则（） A与均为偶函数 B为奇函数，为偶函数 C与均为奇函数 D为偶函数，为奇函数13.（07山东理4）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为（ ）A， B， C， D，14.（08安徽理11）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ）A BC D15.（08湖北文6）已知在R上是奇函数，且 （ ） A.-2 B.2 C.-98 D.9816.（10山东文5）设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则（）A B C D17.（08重庆理6）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的