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文档简介

1、南京市2017届高三年级第三次模拟考试 数 学 2017.05参考公式:方差s2(x1)2(x2)2(xn)2,其中为x1,x2,xn的平均数柱体的体积公式:VSh,其中S为柱体的底面积,h为柱体的高锥体的体积公式:VSh,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知全集U1,2,3,4,集合A1,4,B3,4,则(AB) (第4题图)Read xIf x0 Then y2Else y 2x2End IfPrint y2甲盒子中有编号分别为1,2的2个乒乓球,乙盒子中有编号分别为3,4,5,6的4个乒乓球现分别从两个盒

2、子中随机地各取出1个乒乓球,则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 3若复数z满足z232i,其中i为虚数单位,为复数z的共轭复数,则复数z的模为 4执行如图所示的伪代码,若输出y的值为1,则输入x的值为 7 7 9 0 8 94 8 1 0 3 5甲 乙(第5题图)5如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则在这五场比赛中得分较为稳定(方差较小)的那名运动员的得分的方差为 6在同一直角坐标系中,函数ysin(x) (x0,2)的图象和直线y 的交点的个数是 7在平面直角坐标系xOy中,双曲线1的焦距为6,则所有满足条件的实数m构成的集合是 8已知函数f(x)是定义在R上且周期

3、为4的偶函数当x2,4时,f(x)|log4(x)|,则f()的值为 9若等比数列an的各项均为正数,且a3a12,则a5的最小值为 ACBA1B1C1D(第10题图)10如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB1,BC2,BB13,ABC90°,点D为侧棱BB1上的动点当ADDC1最小时,三棱锥DABC1的体积为 11若函数f(x)ex(x22xa)在区间a,a1上单调递增,则实数a的最大值为 12在凸四边形ABCD中, BD2,且·0,()()5,则四边形ABCD的面积为 13. 在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2y21,圆M:(xa3)2(y2a)21(a为实数)

4、若圆O与圆M上分别存在点P,Q,使得OQP30°,则a的取值范围为 14已知a,b,c为正实数,且a2b8c,则的取值范围为 二、解答题:本大题共6小题,共计90分15(本小题满分14分)ABCFED(第15题图)如图,在三棱锥ABCD中,E,F分别为棱BC,CD上的点,且BD平面AEF(1)求证:EF平面ABD;(2)若BDCD,AE平面BCD,求证:平面AEF平面ACD16(本小题满分14分)已知向量a(2cos,sin2),b(2sin,t),(0,)(1)若ab(,0),求t的值;(2)若t1,且a b1,求tan(2)的值17CBA水域看台表演台看台DE(第17题图)在一水

5、域上建一个演艺广场演艺广场由看台,看台,三角形水域ABC,及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图)看台,看台是分别以AB,AC为直径的两个半圆形区域,且看台的面积是看台的面积的3倍;矩形表演台BCDE中,CD10米;三角形水域ABC的面积为400平方米设BAC(1)求BC的长(用含的式子表示);(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元,求表演台的最低造价18如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A,B,M为线段AB的中点,且·b2(1)求椭圆的离心率;xyOCBDMA(第18题图)(2)已知a2,四边形ABCD内接于椭圆,ABDC记直线AD,BC的斜率

6、分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值19已知常数p0,数列an满足an1|pan|2 anp,nN*(1)若a11,p1, 求a4的值; 求数列an的前n项和Sn(2)若数列an中存在三项ar,as,at (r,s,tN*,rst)依次成等差数列,求的取值范围20已知R,函数f (x)exex(xlnxx1)的导函数为g(x)(1)求曲线yf (x)在x1处的切线方程;(2)若函数g (x)存在极值,求的取值范围; (3)若x1时,f (x)0恒成立,求的最大值南京市2017届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.)12 2

7、3 41 56.8 627 8 98 10 11 123 13,0 1427,30二、解答题(本大题共6小题,计90分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)证明:(1)因为BD平面AEF,BDÌ平面BCD,平面AEF平面BCDEF,所以 BDEF 3分因为BDÌ平面ABD,EFË平面ABD,所以 EF平面ABD 6分(2)因为AE平面BCD,CDÌ平面BCD,所以 AECD 8分因为 BDCD,BDEF,所以 CDEF, 10分又 AEEFE,AEÌ平面AEF,EFÌ平面AEF,所以 CD平面AEF 1

8、2分又 CDÌ平面ACD,所以 平面AEF平面ACD 14分16(本小题满分14分)解:(1)因为向量a(2cos,sin2),b(2sin,t),且ab(,0),所以cossin,tsin2 2分由cossin 得 (cossin)2,即12sincos,从而2sincos 所以(cossin)212sincos 因为(0,),所以cossin 5分 所以sin, 从而tsin2 7分(2)因为t1,且a b1,所以4sincossin21,即4sincoscos2因为(0,),所以cos0,从而tan 9分所以tan2 11分从而tan(2) 14分17(本小题满分14分) 解:

9、(1)因为看台的面积是看台的面积的3倍,所以ABAC在ABC中,SABCABACsin400,所以AC2 3分由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos,4AC22AC2 cos(42cos) ,即BC 40 所以 BC40 ,(0,) 7分(2)设表演台的总造价为W万元因为CD10m,表演台每平方米的造价为0.3万元,所以W3BC120 ,(0,) 9分记f(),(0,)则f () 11分由f ()0,解得当(0,)时,f ()0;当(,)时,f ()0故f()在(0,)上单调递减,在(,)上单调递增,从而当 时,f()取得最小值,最小值为f()1 所以Wmin120(万元) 答:表演

10、台的最低造价为120万元 14分18(本小题满分16分)解:(1)A(a,0),B(0,b),由M为线段AB的中点得M(,)所以(,),(a,b)因为·b2,所以(,)·(a,b)b2,整理得a24b2,即a2b 3分因为a2b2c2,所以3a24c2,即a2c所以椭圆的离心率e 5分(2)方法一:由a2得b1,故椭圆方程为y21 从而A(2,0),B(0,1),直线AB的斜率为 7分因为ABDC,故可设DC的方程为yxm设D(x1,y1),C(x2,y2)联立消去y,得x22mx2m220,所以x1x22m,从而x12mx2 9分直线AD的斜率k1,直线BC的斜率k2,

11、11分所以k1·k2·,即k1·k2为定值 16分方法二:由a2得b1,故椭圆方程为y21 从而A(2,0),B(0,1),直线AB的斜率为 7分设C(x0,y0),则y021因为ABCD,故CD的方程为y(xx0)y0联立消去y,得x2(x02y0)x2x0y00,解得xx0(舍去)或x2y0所以点D的坐标为(2y0,x0) 13分所以k1·k2·,即k1·k2为定值 16分19(本小题满分16分)解:(1)因为p1,所以an1|1an|2 an1 因为 a11,所以a2|1a1|2 a111, a3|1a2|2 a213, a4|

12、1a3|2 a319 3分 因为a21,an1|1an|2 an1, 所以当n2时,an1, 从而an1|1an|2 an1an12 an13an, 于是有 an3n2(n2) 5分 当n1时,S11; 当n2时,Sn1a2a3an1 所以 Sn即Sn,nN* 8分(2)因为an1an|pan|anppananp2 p0, 所以an1an,即an单调递增 10分 (i)当1时,有a1p,于是ana1p, 所以an1|pan|2 anpanp2 anp3an,所以an3n1a1 若an中存在三项ar,as,at (r,s,tN*,rst)依次成等差数列,则有2 asarat,即2×3s

13、13r13t1 (*) 因为st1,所以2×3s1×3s3t13r13t1, 即(*)不成立 故此时数列an中不存在三项依次成等差数列 12分 (ii)当1 1时,有pa1p 此时a2|pa1|2 a1ppa12 a1pa12 pp, 于是当n2时,ana2p, 从而an1|pan|2 anpanp2 anp3an 所以an3n2a23n2(a12p) (n2) 若an中存在三项ar,as,at (r,s,tN*,rst)依次成等差数列, 同(i)可知,r1, 于是有2×3s2(a12 p)a13t2(a12p) 因为2st1,所以2×3s23t2

14、15;3s×3t10因为2×3s23t2是整数,所以1, 于是a1a12p,即a1p,与pa1p相矛盾 故此时数列an中不存在三项依次成等差数列 14分 (iii)当1时,则有a1pp,a1p0, 于是a2| pa1|2a1ppa12 a1pa12p, a3|pa2|2a2p|pa1|2a15ppa12a15pa14p, 此时有a1,a2,a3成等差数列 综上可知:1 16分20(本小题满分16分)解:(1)因为f(x)exelnx, 所以曲线yf (x)在x1处的切线的斜率为f(1)0, 又切点为(1,f (1),即(1,0), 所以切线方程为y0 2分 (2)g (x)

15、exelnx,g(x)ex 当0时,g(x)0恒成立,从而g (x)在(0,)上单调递增, 故此时g (x)无极值 4分 当0时,设h(x)ex,则h(x)ex0恒成立, 所以h(x)在(0,)上单调递增 6分 当0e时,h(1)e0,h()ee0,且h(x)是(0,)上的连续函数,因此存在唯一的x0(,1),使得h(x0)0 当e时, h(1)e0,h()e10,且h(x)是(0,)上的连续函数,因此存在唯一的x01,),使得h(x0)0 故当0时,存在唯一的x00,使得h(x0)0 8分 且当0xx0时,h(x)0,即g(x)0,当xx0时,h(x)0,即g(x)0, 所以g (x)在(0

16、,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增, 因此g (x)在xx0处有极小值 所以当函数g (x)存在极值时,的取值范围是(0,) 10分(3)g (x)f(x)exelnx,g(x)ex若g(x)0恒成立,则有xex恒成立 设(x)xex(x1),则(x)(x1) ex0恒成立, 所以(x)单调递增,从而(x)(1)e,即e 于是当e时,g (x)在1,)上单调递增, 此时g (x)g (1)0,即f(x)0,从而f (x)在1,)上单调递增 所以f (x)f (1)0恒成立 13分 当e时,由(2)知,存在x0(1,),使得g (x)在(0,x0)上单调递减,即f(x)在(0,x0)上单

17、调递减所以当1xx0时,f(x)f(1)0,于是f (x)在1,x0)上单调递减,所以f (x0)f (1)0这与x1时,f (x)0恒成立矛盾因此e,即的最大值为e 16分南京市2017届高三第三次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41:几何证明选讲ABCDE(第21(A)图)证明:连结BE因为AD是边BC上的高,AE是ABC的外接圆的直径,所以ABE ADC90° 4分AEBACD, 6分所以ABEADC, 8分所以 即AB·A

18、CAD·AE 10分B选修42:矩阵与变换解:(1)AX 2分因为AX,所以解得x3,y0 4分(2)由(1)知A ,又B ,所以AB 6分设(AB)1 ,则 ,即 8分所以 解得a,b,c0,d,即 (AB)1 10分(说明:逆矩阵也可以直接使用公式求解,但要求呈现公式的结构)C选修44:坐标系与参数方程解:由于r2 x2y2,rcos x,所以曲线C的直角坐标方程为 x2y28x150, 即 (x4)2+y21,所以曲线C是以 (4,0) 为圆心,1为半径的圆 3分直线l的直角坐标方程为 yx,即xy0 6分因为圆心 (4,0) 到直线l的距离d21 8分所以直线l与圆相离,从而

19、PQ的最小值为d121可2+y2() C 10分D选修45:不等式选讲证明:因为x0,所以x32 x311 3 3x,当且仅当x31,即x1时取“” 4分因为y212y(y1)20,所以y212y, 当且仅当y1时取“” 8分 所以 (x32)(y21)3x2y,即x3y233x2y,当且仅当xy1时,取“” 10分【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22(本小题满分10分)解:(1)设P(x,y)为曲线C上任意一点 因为PSl,垂足为S,又直线l:x1,所以S(1,y) 因为T(3,0),所以(x,y), (4,y)因为·0,所以4xy20

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