可拓集合及其应用研究

1、可拓集合及其应用研究杨春燕，张拥军，蔡文 （广东工业大学可拓工程研究所, 广东 广州 510080 ）摘要：文章介绍了扩展的可拓集合概念，提出了可拓集合论需要进一步研究的内容，并综述了可拓集合在人工智能、市场、资源、检测和控制等领域的应用。关键词：可拓集合；关联函数；可拓变换；可拓不等式1 引 言集合是描述人脑思维对客观事物的识别与分类的数学方法。客观事物是复杂的，处于不断运动和变化之中，因此，人脑思维对客观事物的识别和分类并不只有一个模式，而是多种形式的，从而描述这种识别和分类的集合也不应是唯一的，而应是多样的。数 学中的矛盾方程、矛盾不等式所描述的问题原形，实际上很多是有解的，认为“无解”

2、的原因，在很多情况下，是因为只考虑数量关系而没有把事物和特征引入数 学。例如“曹冲称象”问题，只考虑数量关系是无法解决的，即是矛盾问题，但事实上它是有解的。为此，有必要把解决矛盾问题的过程形式化，并建立相应的数学 工具使之定量化。1983年，文1提出了可拓集合及其可拓域、稳定域、零界等概念，用它们来描述“是”与“非”的相互转化，从而能定量地表述事物的质变和量变的过程，而零界概念则描述了事物“既是又非”的质变点。这些为矛盾问题的解决提供了合适的数学工具。文献1-3中用一元组建立了可拓集合的初步定义，文献4引进了变换T ，用二元组来规定可拓集合，并定义了可拓集合的正域、负域、零界、可拓域、稳定域等

3、，但由于它用两个定义共同来描述元素的可变性及量变和质变的过程，因而难以从可拓集合直接反映出“是”与“非”相互转化的形式化描述，在此定义中涉及到的变换T只是对元素的变换。文献5-8又将变换T扩展为对关联函数或对论域的变换。为了概括十多年来对可拓集合研究的成果，使可拓集合的定义能直接描述元素性质的可变性和量变、质变的过程，我们用三元组（u, y, y）和可拓变换T=(TU , Tk , Tu)来规定可拓集合。本文首先介绍扩展的可拓集合概念，并以此为基础进行讨论。2 扩展的可拓集合概念92.1 可拓集合的基本概念关于元素变换的可拓集合定义1 设U为论域，k 是U到实域I的一个映射，T为给定的对元素的

4、变换，称(T)= (u, y, y)uU, y=k(u)I, y=k(Tu)I 为论域U上关于元素变换的一个可拓集合，y=k(u)为 (T )的关联函数，y=k(Tu)为 (T ) 关于变换T的关联函数，称为可拓函数。（1） 当T=e（e为幺变换） 时，记 (e)= = (u, y)uU, y=k(u)I 3 ，称A= (u, y)uU, y=k(u)0 为 的正域； = (u, y)uU, y=k(u)0 为 的负域；J0= (u, y)uU, y=k(u)= 0 为 的零界。（2） 当Te 时，称+(T )= (u, y, y)uU, y=k(u)0 , y=k(Tu)0为 (T )的正可

5、拓域；-(T )= (u, y, y)uU, y=k(u)0 , y=k(Tu)0 为 (T )的负可拓域；A+(T )= (u, y, y)uU, y=k(u)0 , y=k(Tu)0为 (T )的正稳定域；A-(T )= (u, y, y)uU, y=k(u)0 , y=k(Tu)0为 (T )的负稳定域；J0(T )= (u, y, y)uU, y=k(Tu) =0为 (T )的拓界。2.2 可拓集合的一般概念定义1是关于元素变换的可拓集合。定义1中假定论域U和关联准则k都是固定的，但在实际问题中，U和k也是可以改变的。为了体现这两种变换下的可拓集合，我们给出如下的一般定义。定义2 设U

6、为论域，k 是U到实域I的一个映射，T=(TU ,Tk, Tu)为给定的变换，称(T )= (u, y, y)uTUU, y=k(u)I, y= Tk k(Tu u)I 为论域TUU上的一个可拓集合，y=k(u)为 (T)的关联函数，y= Tk k(Tu u)为 (T)的可拓函数。其中TU 、Tk 、Tu分别为对论域U、关联函数k(u) 和元素u的变换。这里规定：当uTUU-U时，y=k(u)0。（1） 当TU=e , Tk=e , Tu=e 时， (T)= ， 即定义1的（1）。（2） 当TU=e , Tk=e 时，TUU=U，Tk k=k, (T)= (Tu)，此可拓集合为关于元素u变换的

7、可拓集合，即定义1的（2）。（3） 当TU=e , Tu=e 时，TUU=U，Tu u=u (T )= (Tk)= (u, y, y)uU, y=k(u)I, y= Tk k(u)I , 此可拓集合为关于关联函数k(u) 变换的可拓集合，它同样有可拓域、稳定域和拓界。（4） 当 Tu=e 且TUUU时，Tu u=u ,k(u) , uUTUU Tk k(u) =k(u)= k1(u), uTUUU(T )= (TU)= (u, y, y)uTUU, y=k(u)I, y= k(u)I 此可拓集合为关于论域U变换10的可拓集合。由 上述定义可见，可拓集合描述了事物“是”与“非”的相互转化，它既可

8、用来描述量变的过程（稳定域），又可用来描述质变的过程（可拓域）。零界或拓界描述了 质变点，超过它们，事物就产生质变。元素的变换（包括事元和物元的变换）、关联函数的变换和论域的变换，统称为可拓变换。2.3 物元可拓集合物元是可拓学的逻辑细胞，是形式化描述事物的基本元，用R=（事物，特征的名称，量值）=（N, c, v）这个有序三元组来表示。它把物的质与量有机 地结合起来，反映了物的质与量的辨证关系。物元具有发散性、相关性、共轭性、蕴含性、可扩性等可拓性，这些性质是进行物元变换的依据，而物元变换是可拓集 合中“是”与“非”相互转化的工具。当可拓集合中的元素是物元时，就形成物元可拓集合12。在扩展的

9、可拓集合定义下，物元可拓集合也有类似于定义2的定义，此略。物元可拓集合中每个元素物元都有自己的内部结构，它们是既描述物的量 的方面，又体现物的质的方面，并将两者有机结合的统一体，其内部结构是可以改变的。由于物元的可变性、关联函数的可变性及论域的可变性，导致了物元在集合 中“地位”的可变性。因此，物元可拓集合能较合理地描述自然现象和社会现象中各种物的各个侧面、彼此关系及它们的变化，从而能描述解决矛盾问题的过程。2.4 可拓关系可拓关系4是对两个或两个以上论域而言，描述各论域中元素间某种关系的程度及其可变性的一类可拓集合。本文给出在扩展的可拓集合定义下的可拓关系的定义。定义3 设U、V为任意两个论

10、域，K 是UV到实域I的一个映射，T为给定的对元素（u, v）UV的变换，称(T )= (u,v), y, y)(u，v)UV, y=K(u, v)I, y=KT(u, v)I 为U与V之间关于元素（u, v）变换的二元可拓关系， y=K(u, v)为 (T)的二元关联函数，y=KT(u, v)为 (T )关于变换T的关联函数，称它为二元可拓函数。与定义1类似， (T )也有正域、负域、零界、可拓域、稳定域、拓界，它们可以用来描述两个论域中元素间关系的密切程度及关系的变化。对n个论域而言的可拓关系称为n 元可拓关系。上述定义是对元素的变换而言的，与定义2类似，也有关于关联函数变换、论域变换的可

11、拓关系，从略。2.5 关联函数与距在可拓集合中，建立了关联函数这一概念。通过关联函数值，可以定量地描述U中任一元素u属于正域、负域或零界三个域中的哪一个，即使同属于一个域中的元素，也可以由关联函数值的大小区分出不同的层次。为了建立实数域上的关联函数，首先把实变函数中距离的概念拓展为距4的概念，即把 定义为点x0 与区间X0=之距。其中既可为开区间，也可为闭区间，也可为半开半闭区间。用距作为把定性描述扩大为定量描述的基础。距(x0, X0)与经典数学中“点与区间的距离”d (x0, X0 )的关系是：（1） 当x0 X0或x0=a, b时，(x0, X0)= d (x0, X0 )0；（2） 当

12、x0X0 且x0a ,b时，(x0, X0)0，d (x0, X0 )=0。距的概念的引入，可以把点与区间的位置关系用定量的形式精确刻划。当点在区间内时，经典数学中认为点与区间的距离都为0，而在可拓集合中，利用距的概念，就可以根据距的值的不同描述出点在区间内的位置的不同。距的概念对点与区间的位置关系的描述，使人们从“类内即为同”发展到类内也有程度区别的定量描述。在现实问题中，除了需要考虑点与区间的位置关系外，还经常要考虑区间与区间及一个点与两个区间的位置关系。一般地，设X0=， X=，且X0 X，则点x关于区间套X0和X的位值规定为 D(x,X0,X)就描述了点x与区间套X0和X的位置关系。在

13、距的基础上，文4建立了初等关联函数： ( ,且无公共端点) 用于计算点和区间套的关联程度。关联函数的值域是（-，+）。我们用上述式子表述可拓集合中的关联函数，就把“具有性质P”的事物从定性描述拓展到“具有性质P的程度”的定量描述。在关联函数中，k(x)0表示x属于X0的程度，k(x)0表示x不属于X0的程度，k(x)=0表示x 既属于X0又不属于X0。因此，关联函数可作为定量化描述事物量变和质变的工具。根据可拓集合的定义，对给定的变换T，当k(x) k(Tx) 0时，说明事物的变化是量变；当k(x) k(Tx) 0时，说明事物的变化是质变。 (T)关于关联函数变换及关于论域变换的可拓函数与关联

14、函数也有上述性质。2.6 可拓不等式解决矛盾问题，是可拓集合论产生的背景和应用的归宿，为此，首先要应用物元这一工具，建立形式化的问题模型，并通过可拓集合研究问题的相容度。对于不相容问题，利用关联函数建立含有未知变换Tx的可拓不等式，通过解可拓不等式，得到解变换集T，其中的变换使不相容问题转化为相容问题。定义4 若问题P的核P0=g*l的相容度为K(g ,l )0，即问题P为不相容问题，则含有未知变换Tg或Tl的不等式分别称为限制可拓不等式、对象可拓不等式和复合可拓不等式。满足不等式的变换Tl、Tg、（Tg，Tl）分别称为相应的可拓不等式的解变换。所谓解可拓不等式，以限制可拓不等式为例，就是对给

15、定的不相容问题P=R* r, 求解变换集Tl ，使对T lT l , 有 ，文献4研究了解法的详细过程。 根据可拓不等式的定义知，可拓不等式的解变换是不唯一的，全体解变换的集合，称为解变换集。求可拓不等式的解变换集的过程，也就是化不相容问题为相容的过程。正是由于可拓不等式的解变换的不唯一性，使得利用可拓集合对事物的分类是动态的。可拓不等式的解变换T有多个，但并非每个解变换的结果都一样好。因此，在求出解变换集T 后，就要选取合适的衡量条件及权系数，对各解变换进行优度评价，选取优度较高的解变换作为可拓不等式的优解变换。 3 可拓集合论中需进一步研究的内容自1983年开创性论文1发表以来，文献34概

16、述了可拓集合论的初步框架，研究了可拓集合、物元可拓集合、可拓关系的运算和性质，探讨了关联函数的构造方法、类型、性质及关联不等式的解法等，为解决现实世界中的不相容问题提供了定性与定量相结合的方法。鉴于可拓集合应用的广泛性，吸引了很多学者对此进行深入的研究。文献8中收录了对可拓集合、关联函数研究的成果，文献13-17进一步研究了n维物元可拓集合及可拓集合的性质，文献18研究了区间可拓集及其关联函数，文献81920研究了可拓凸集。随着可拓集合理论研究的深入，以此为基础的一些课题如可拓代数8、可拓概率21、可拓矩阵8、可拓逻辑与算法822-24等的研究已逐步展开，它们将形成解决矛盾问题的新的数学分支可

17、拓数学825。在扩展的可拓集合定义下，有许多理论问题需要进一步研究，主要包括如下几个方面：（1） 可拓性与可拓集合的关系研究（2） 可拓集合的关系与运算研究（3） 物元可拓集合的性质与运算研究（4） n 维可拓集合与n元关联函数研究（5） 关联函数与可拓函数的构造、类型与性质研究（6） 可拓不等式的类型及其解法研究（7） 可拓不等式的解变换的优度评价研究4 可拓集合的应用由于可拓集合概念的普适性，使可拓集合可应用于诸多研究领域。目前，国内外已有很多学者把它应用于人工智能、市场、资源、检测、控制、系统和信息等的研究。4.1 可拓集合与人工智能的问题处理、分类和识别26求 “矛盾问题的解”，对人工

18、智能的发展来说，是不能不考虑的。计算机要处理矛盾问题，可以运用可拓学的基本思想和方法。用可拓学解决矛盾问题的集合论基础是 可拓集合论，其本质是“变非为是”、“不行变行”、“不属于变属于”等的形式化描述。它也应是计算机进行矛盾问题处理的理论基础之一。可拓集合描述事物性 质的可变性，描述量变和质变，也是人工智能解决问题的定量化工具。物元可拓集合一方面用物元可拓域表示物元变换使负域的元素转化为正域的元素的可能性，另 一方面，用关联函数定量地表述问题性质变化的可能性。可拓集合的本质体现在可拓域、零界和可拓变换中。计算机如果能利用它们处理事物性质的动态变化，进行 创造性思维和生成策略，并利用可拓集合作为

19、解决问题的定量化工具，进行定性和定量相结合的操作，那将大大提高机器的智能水平。集 合，是人类进行分类和识别的一种方法，经典集合、模糊集合和粗糙集合都分别提出了各自的分类识别的方法和准则，它们成为各自形成的分支的理论基础。这三类 集合方法都把事物具有某种性质的程度看成不变的，可以说，是从“静态”的角度考察事物。但在客观世界中，事物具有某种性质的程度是在变化的，也只有这样， 矛盾的问题才能转化为相容的问题。为了从本质上考察动态的事物和变化的过程，可拓集合建立起来了。可拓集合把分类与变换（包括时间、空间的变换）联系起 来。根据这种分类思想，元素的分类是可以改变的，它具有某种性质的程度（关联度）也是可

20、变的。也就是说，在一定的变换下，负域的元素可转变为正域的元素， 这就为矛盾问题转化为相容问题提供了依据。分类，是人工智能进行识别、检索、决策和控制的前提。显然，分类的模式决定了模式识别的方法，可拓分类方法27可为动态事物和动态过程的模式识别注入新的方法。因此，把物元变换的思想引入到识别方法中，把可拓方法应用于识别研究将使计算机的分类和识别能力提高。4.2 在市场和资源研究中的应用文献28利用可拓集合对市场进行了分析，认为市场可以用物元可拓集合描述，并提出了可拓市场的概念，文献29给出了可拓市场的形式化描述，即在物元论域W上建立物元可拓集合 (R;T)=(R, y, y)RW, y=K(R)I,

21、 y=K(TR)I 其中R为关于消费者的购买能力和购买意愿的二维物元，称 +(R;T) =(R, y, y)RW, K(R)0，K(TR)0为原市场M(R) =(R , y)RW, K(R)0（即有能力购买且愿意购买某产品的消费者的集合）关于变换T的可拓市场。文献30研究了在不同可拓变换下可拓市场的类型（包括对元素的变换、对关联准则的变换、对论域的变换、对时间的变换等）及实现可拓市场的方式，为企业开拓市场提供了新的理论和方法。上述变换T 是关于物元的变换，同定义2，T也可以是对关联函数的变换或对论域的变换。变换T的类型决定了可拓市场的性质，例如，T代表分期付款后关于购买能力的关联函数的变换，则

22、 +(R;T)是关于分期付款的可拓市场，T属于对关联函数的变换。如果T代表商家广告宣传后u的购买意愿的改变， +(R;T)是关于加强广告宣传的可拓市场，T属于元素的变换。如果T代表商家把销售范围扩展到第二个地区，则 +(R;T)是关于扩大销售范围的可拓市场，T属于论域U的变换。对可拓市场的研究，使得开拓市场的过程有规律可循，企业可以根据实际情况，利用变换，寻找开拓市场的多种途径。在文献28 中，利用可拓集合对资源进行了研究，提出了可拓资源与可控资源的概念。可控资源对应于可拓集合的正域，可拓资源对应于可拓集合的可拓域，即非可控资源经过 一定的变换，变为一定条件下可控的资源，这就把解决资源矛盾问题

23、的过程形式化、定量化。文献31-32又研究了开拓资源的依据资源的可拓性，及对 应于不同的变换的可拓资源的类型，研究了内部可拓资源和外部可拓资源及其使用，从而为人们利用自己不可控的资源去发展自己的事业提供了形式化的思路。4.3 在检测和控制领域中的应用可拓检测33是1998 年提出的一个研究课题，它针对目前信息检测中部分特征不可检测的问题，利用可拓集合，通过对事物和特征的变换，把不可测物元转换成可测物元，从而使无法用 传感器检测的信息得以检测。所谓不可测物元，是不能用传感器直接检测的物元（包括没有对应的传感器检测的，或虽有这样的传感器，但环境不允许使用该传感器 检测的）。可拓检测要解决的关键问题

24、是对不可测物元与可测物元的转换机制的研究。这一研究有非常重要的价值，不仅可用于工业检测，它的思想方法还可用于医 学上的检测以及更一般的信息检测。文献34给出了可拓检测的基本概念、原理及架构，并提出了有关的实施办法。文献35-38 利用可拓集合研究智能控制，提出了可拓控制的基本概念、结构和原理等。可拓控制的基本思想是：利用可拓集合，从信息转化的角度去处理控制问题，即以控制输 出信息的合格度（关联度）作为确定控制输入矫正量的依据，从而使被控信息转换到合格范围内，即把不能控制的问题转换成可以控制的问题。基于可拓控制的基本 思想，又有学者提出了可拓控制器、可拓专家系统、可拓语言控制、可拓CIMS、可拓

25、信息集成等课题，并将可拓控制理论应用于计算机网络入侵检测方法的研 究。另外，以可拓集合的思想为基础而提出的可拓系统39、可拓信息40-42等研究方向，也是非常有价值的，目前也已取得了一定的成果，限于篇幅，此不详述。5 结束语 可 拓集合及其应用研究是一个很有前途的研究方向，它是用形式化、定量化的方法解决矛盾问题，以使“矛盾化为相容”的有效工具。由于可拓集合论研究的时间还很 短，因此有很多生长点，不但理论问题需要深入研究，应用领域也需要进一步开拓，以充分发挥可拓集合的作用。希望有更多的理论工作者和各应用领域的学者参与 此项研究，以使可拓集合的理论与应用研究迈上一个新的台阶。参 考 文 献1. 蔡

26、 文可拓集合和不相容问题科学探索学报，1983，（1）：83-972. Cai WenThe Extension Set and Non-compatible Problems. Editor Chien Weizang, Advances Mathematics and Mechanics in China, International Academic Publishers, 19903. 蔡 文物元分析. 广州：广州高等教育出版社，19874. 蔡 文物元模型及其应用. 北京：科学技术文献出版社，19945. 蔡 文杨春燕. 可拓工程方法. 北京：科学出版社，20016. 蔡 文可拓论及

27、其应用. 科学通报. 1999，44（7）：673-6827. Cai WenExtension Theory and Its Application. Chinese Science Bulletin, 1999, 44 (17): 1538-15488. 蔡 文，孙弘安，杨益民从物元分析到可拓学. 北京：科学技术文献出版社，19959. 杨春燕，蔡 文可拓工程研究. 中国工程科学，2000，2（12）：92-9810. Yang Chunyan, He BinTransformation of Discourse Domain and Its Application in Developi

28、ng Market. 7th International Conference on Industrial Engineering and Engineering Management. Moscow:Publishing House “STANKIN”,2000:582-58511. 杨春燕事元及其应用. 系统工程理论与实践, 1998, 18 (2) ：80-8612. Wen CaiExtension Management Engineering and Applications. International Journal of Operations and Quantitative

29、Management, 1999, 5 (1)：59-7213蔡国梁关于n维可拓集合的研究. 广东工业大学学报，1996，13（1）：5-1114. 孙弘安关于物元可拓集合的若干性质. 系统工程理论与实践，1998，18（2）：95-9815. 杨益民可拓集合的若干性质. 安徽机电学院学报，1997，12（4）：1-516. 孙弘安广义可拓域和广义稳定域. 南方冶金学院学报, 1996，17（2）：149-153 17. 林 楠可拓集合的提升与物元信息模型. 系统工程理论与实践，1998，18（1）：9398 18. 胡宝清区间上的可拓集及其关联函数. 广东工业大学学报，2000，17（2）：

30、101-10419. 曹炳元可拓凸集分离定理两种刻划的等价性. 长沙电力学院学报, 1998, 13 (4)：343-34620曹炳元可拓凸集分离定理的进一步研究. 长沙水电师院自然科学学报, 1994, 9（3）：229-23421李日华，姜殿玉. 可拓事件与可拓概率. 广东工业大学学报，1999，16（4）：96-10122田双亮物元逻辑树及策略生成. 系统工程理论与实践，1998，18（2）：121-12323杜春彦基于物元可拓性的推理模型. 系统工程理论与实践，1998，18（2）：124-12724何 斌，王若恩物元逻辑推理. 系统工程理论与实践，1998，18（1）：85-9225

31、陈 俊可拓数学的形成与发展机制. 广东工业大学学报，1999，16（1）：82-8626蔡 文，杨春燕，何 斌可拓学与人工智能见：中国人工智能进展（2001）北京：北京邮电大学出版社，2001：1048105127何 斌，张应利可拓学在人工智能中的应用初探华南理工大学学报，1999, 27(6): 88-9228蔡 文，杨春燕. 可拓营销. 北京：科学技术文献出版社，200029杨春燕，何 斌，蔡 文可拓营销理论研究. 数学的实践与认识，2001，31（6）：696-70130杨春燕，张拥军可拓市场的类型与实现方式研究. 工业工程，2002，5（1）31杨春燕，蔡 文 可拓资源在现代企业运作中

32、的应用. 数量经济技术经济研究，2000，（12）：57-5932杨春燕，吴福芝可拓集合在资源开拓研究中的应用华南理工大学学报，2001，29（11）：10210433魏 辉，余永权可拓物元变换方法在检测技术中的应用研究. 广东自动化与资讯工程，1999，22（4）：18-2134余永权可拓检测技术. 中国工程科学，2001，3（4）：88-9435Li Jian, Wang ShenyuPrimary Research on Extension Control Information and Systems. New York: International Academic Publisher, 199136王行愚，李 健论可拓控制. 控制理论与应用，1994，11（1）：125-