三角函数和向量

1、1已知锐角，且5的终边上有一点P(sin(50)，cos 130)，则的值为()A8 B44C26 D40答案B解析sin (50)0，cos 130cos 500，点P(sin(50)，cos 130)在第三象限又090，05450.又点P的坐标可化为(cos 220，sin 220)，5220，44，故选B.2已知向量(2,0)，向量(2,2)，向量(cos ，sin )，则向量与向量的夹角的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析由题意，得：(2cos ，2sin )，所以点A的轨迹是圆(x2)2(y2)22，如图，当A位于使向量与圆相切时，向量与向量的夹角分别达到最大、最小值，故选

2、D.3已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A.1 B.C.1 D.2答案C解析建立平面直角坐标系，令向量a，b的坐标a(1,0)，b(0,1)，令向量c(x，y)，则有1，|c|的最大值为圆(x1)2(y1)21上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1,1)到原点的距离加圆的半径，即1.4已知函数f(x)sin在0，上有两个零点，则实数m的取值范围为()A，2 B，2)C(，2 D，2答案B解析如图，画出ysin在0，上的图像，当直线y与其有两个交点时，所以m，2)5已知函数y2sin(x)(0,0)为偶函数，其图像与直线y2某两个交点的横坐标分别为x

3、1，x2，若|x2x1|的最小值为，则该函数的一个递增区间可以是()A. B.C. D.答案A解析由函数为偶函数知k(kZ)又因为0，所以，所以y2cos x.由题意知函数的最小正周期为，故2，所以y2cos 2x，经验证知选项A满足条件故选A.题型一三角函数的图像与性质例1已知函数f(x)cos xsincos2 x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值解(1)由已知，得f(x)cos xcos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是减函数

4、，在区间上是增函数，f，f，f，所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为.思维升华三角函数的图像与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为yAsin(x)k的形式，然后将tx视为一个整体，结合ysin t的图像求解已知函数f(x)sin(x)sin(x)2cos2，xR(其中0)(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数yf(x)的图像与直线y1的两个相邻交点间的距离均为，求函数yf(x)的单调增区间解(1)f(x)sin xcos xsin xcos x(cos x1)2(sin xcos x)12sin(x)1.由1sin(x)1，得32sin(x)11，所以函数f(x)的值域为3,

5、1(2)由题设条件及三角函数图像和性质可知，yf(x)的周期为，所以，即2.所以f(x)2sin(2x)1，再由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函数yf(x)的单调增区间为k，k(kZ)题型二三角函数和解三角形例2(2015山东)设f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f0，a1，求ABC面积的最大值解(1)由题意知f(x)sin 2x.由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ)(2)由fsin

6、 A0，得sin A，由题意知A为锐角，所以cos A.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，即bc2，当且仅当bc时等号成立因此bcsin A.所以ABC面积的最大值为.思维升华三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键已知函数f(x)2cos2xsin.(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f(A)，bc2，求实数a的最小值解(1)f(x)2cos2xsin(1cos 2x)1si

7、n 2xcos 2x1sin.函数f(x)的最大值为2.要使f(x)取最大值，则sin1，2x2k(kZ)，解得xk，kZ.故f(x)取最大值时x的取值集合为.(2)由题意知，f(A)sin1，化简得sin.A(0，)，2A，2A，A.在ABC中，根据余弦定理，得a2b2c22bccos (bc)23bc.由bc2，知bc21，即a21.当bc1时，实数a的最小值为1.题型三三角函数和平面向量例3已知向量a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n), 函数f(x)ab，且yf(x)的图像过点(，)和点(，2)(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图像向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)

8、的图像，若yg(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间解(1)由题意知f(x)abmsin 2xncos 2x.因为yf(x)的图像过点(，)和(，2)，所以即解得(2)由(1)知f(x)sin 2xcos 2x2sin(2x)由题意知g(x)f(x)2sin(2x2)设yg(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知x11，所以x00，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)将其代入yg(x)得sin(2)1，因为0，所以，因此g(x)2sin(2x)2cos 2x.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以函数yg(x)的单调递增区间

9、为k，k，kZ.思维升华(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0x.(1)若，求函数f(x)bc的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为，且ac，求tan 2的值解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xco

10、s 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，则2sin xcos xt21，且1t.则函数f(x)关于t的关系式为yt2t12，1t，t时，ymin，此时sin xcos x，即sin，x，x，x，x.函数f(x)的最小值为，相应x的值为.(2)a与b的夹角为，cos cos cos xsin sin xcos(x)0x，0x，x.ac，cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0，sin(x)2sin 20，即sin2sin 20.sin 2cos 20，tan 2.(时间：70分钟)1已知函数f(x)Asin(x)，xR，且f().(1

11、)求A的值；(2)若f()f()，(0，)，求f()解(1)f()Asin()Asin A，A.(2)由(1)知f(x)sin(x)，故f()f()sin()sin()，(sin cos )(cos sin )，cos ，cos .又(0，)，sin ，f()sin()sin .2(2015江苏)在ABC中，已知AB2，AC3，A60.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值解(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos A492237，所以BC.(2)由正弦定理知，所以sin Csin A.因为ABBC，所以C为锐角，则cos C .因此sin 2C2sin Ccos C2.3已

12、知向量m(2sin x，cos2 xsin2 x)，n(cos x,1)，其中0，xR.若函数f(x)mn的最小正周期为.(1)求的值；(2)在ABC中，若f(B)2，BC，sin Bsin A，求的值解(1)f(x)mn2sin xcos xcos2 xsin2 xsin 2xcos 2x2sin.f(x)的最小正周期为，0，T.1.(2)设ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c.f(B)2，2sin2，即sin1，解得B(B(0，)BC，sin Bsin A，即a，ba，b3.由正弦定理，有，解得sin A.0A，A.C，ca.cacos Bcos.4函数f(x)cos(x)的部分图

13、像如图所示(1)求及图中x0的值；(2)设g(x)f(x)f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值解(1)由题图得f(0)，所以cos ，因为0，故.由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1x02，故x0，由f(x0)得cos，所以x0，x0.(2)因为fcoscossin x，所以g(x)f(x)fcossin xcos xcos sin xsin sin xcos xsin xsin xcos xsin xsin.当x时，x.所以sin1，故当x，即x时，g(x)取得最大值；当x，即x时，g(x)取得最小值.5(2015福建)已知函数f(x)的图像是由函数g(x)cos x的图像

14、经如下变换得到：先将g(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移个单位长度(1)求函数f(x)的解析式，并求其图像的对称轴方程；(2)已知关于x的方程f(x)g(x)m在0,2)内有两个不同的解，.求实数m的取值范围；证明：cos()1.方法一(1)解将g(x)cos x的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y2cos x的图像，再将y2cos x的图像向右平移个单位长度后得到y2cos的图像，故f(x)2sin x.从而函数f(x)2sin x图像的对称轴方程为xk(kZ)(2)解f(x)g(x)2sin xcos xsin(x).依题意，sin(x)在0,2)内有两个不同的解，当且仅当1，故m的取值范围是(，)证明因为，是方程sin(x)m在0,