两角和与差公式

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin (C()cos()cos_cos_sin_sin_(C()sin()sin_cos_cos_sin_(S()sin()sin_cos_cos_sin_(S()tan()(T()tan()(T()2二倍角公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.3在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等如T(±)可变形为tan ±tan tan(±)(1tan_tan_)，tan

2、 tan 11.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(2)在锐角ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定(×)(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立(×)(4)存在实数，使tan 22tan .()(5)设sin 2sin ，(，)，则tan 2.()1(2013·浙江)已知R，sin 2cos ，则tan 2等于()A. B. C D答案C解析sin 2cos ，sin24sin cos 4c

3、os2.化简得：4sin 23cos 2，tan 2.故选C.2若，则tan 2等于()A B. C D.答案B解析由，等式左边分子、分母同除cos 得，解得tan 3，则tan 2.3(2013·课标全国)设为第二象限角，若tan，则sin cos _.答案解析tan，tan ，即且为第二象限角，解得sin ，cos .sin cos .4(2014·课标全国)函数f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为_答案1解析f(x)sin(x2)2sin cos(x)sin(x)2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin 2sin cos(x)si

4、n(x)cos cos(x)sin sin(x)sin x，f(x)的最大值为1.题型一三角函数公式的基本应用例1(1)设tan ，tan 是方程x23x20的两根，则tan()的值为()A3 B1C1 D3(2)若0<<，<<0，cos()，cos()，则cos()等于()A. BC. D答案(1)A(2)C解析(1)由根与系数的关系可知tan tan 3，tan tan 2.tan()3.故选A.(2)cos()cos()()cos()cos()sin()sin()0<<，则<<，sin().又<<0，则<<，则sin

5、().故cos()××.故选C.思维升华三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系(1)若(，)，tan()，则sin 等于()A. B.C D(2)计算：sin 10°(tan 5°)_.答案(1)A(2)解析(1)tan()，tan ，cos sin .又sin2cos21，sin2.又(，)，sin .(2)原式sin 10°·.题型二三角函数公式的灵活应用例2(1)sin(65°x)cos(x20°)cos(65°x)·cos(110&#

6、176;x)的值为()A. B.C. D.(2)化简：_.(3)求值：_.答案(1)B(2)cos 2x(3)解析(1)原式sin(65°x)·cos(x20°)cos(65°x)cos90°(x20°)sin(65°x)cos(x20°)cos(65°x)sin(x20°)sin(65°x)(x20°)sin 45°.故选B.(2)原式cos 2x.(3)原式tan(45°15°).思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且

7、要熟悉公式的逆用及变形，如tan tan tan()·(1tan tan )和二倍角的余弦公式的多种变形等公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力(1)已知(0，)，化简：_.(2)在ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tantantantan的值为_答案(1)cos (2)解析(1)原式.因为(0，)，所以cos>0，所以原式(cossin)·(cossin)cos2sin2cos .(2)因为三个内角A，B，C成等差数列，且ABC，所以AC，tan ，所以tan tan tan tan tantan tan tan tan .

8、题型三三角函数公式运用中角的变换例3(1)已知，均为锐角，且sin ，tan().则sin()_，cos _.(2)(2013·课标全国)已知sin 2，则cos2等于()A. B. C. D.答案(1)(2)A解析(1)，(0，)，从而<<.又tan()<0，<<0.sin()，cos().为锐角，sin ，cos .cos cos()cos cos()sin sin()××().(2)因为cos2，所以cos2，选A.思维升华1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表

9、示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”2常见的配角技巧：2()()，()，()()等(1)设、都是锐角，且cos ，sin()，则cos 等于()A. B.C.或 D.或(2)已知cos()sin ，则sin()的值是_答案(1)A(2)解析(1)依题意得sin ，cos()±±.又，均为锐角，所以0<<<，cos >cos()因为>>，所以cos().于是cos cos()cos()cos sin()sin ×&

10、#215;.(2)cos()sin ，cos sin ，(cos sin )，sin()，sin()，sin()sin().高考中的三角函数求值、化简问题典例：(1)若tan 22，<2<2，则_.(2)(2014·课标全国)设(0，)，(0，)，且tan ，则()A3 B2C3 D2(3)(2012·大纲全国)已知为第二象限角，sin cos ，则cos 2等于()A B C. D.(4)(2012·重庆)等于()A B C. D.思维点拨(1)注意和差公式的逆用及变形(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找，的关系(3)可以利用sin2cos21

11、寻求sin ±cos 与sin cos 的联系(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化解析(1)原式，又tan 22，即tan2tan 0，解得tan 或tan .<2<2，<<.tan ，故原式32.(2)由tan 得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin()(0，)，(0，)，(，)，(0，)，由sin()sin()，得，2.(3)方法一sin cos ，(sin cos )2，2sin cos ，即sin 2.又为第二象限角且sin cos >0，2k<<2k(kZ)，4k<2<4k(k

12、Z)，2为第三象限角，cos 2.方法二由sin cos 两边平方得12sin cos ，2sin cos .为第二象限角，sin >0，cos <0，sin cos .由得cos 22cos21.(4)原式sin 30°.答案(1)32(2)B(3)A(4)C温馨提醒(1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧方法与技巧1巧用公式变形：和差角公式变形：tan x±tan ytan(x±y)·(1tan x·tan y)；倍角公式变形：降幂公式cos2，sin2，配方

13、变形：1±sin 2，1cos 2cos2，1cos 2sin2.2重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形失误与防范1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通2在(0，)范围内，sin()所对应的角不是唯一的3在三角求值时，往往要估计角的范围后再

14、求值.A组专项基础训练(时间：30分钟)1已知tan()，tan，那么tan等于()A. B. C. D.答案C解析因为，所以()，所以tantan.2若，sin 2，则sin 等于()A. B. C. D.答案D解析由sin 2和sin2cos21得(sin cos )21()2，又，sin cos .同理，sin cos ，sin .3已知tan 4，则的值为()A4 B.C4 D.答案B解析，tan 4，cos 0，分子、分母都除以cos2得.4(2013·重庆)4cos 50°tan 40°等于()A. B. C. D21答案C解析4cos 50°

15、;tan 40°.5已知cos(x)，则cos xcos(x)的值是()A B±C1 D±1答案C解析cos xcos(x)cos xcos xsin xcos xsin x(cos xsin x)cos(x)1.6 _.答案解析.7已知、均为锐角，且cos()sin()，则tan _.答案1解析根据已知条件：cos cos sin sin sin cos cos sin ，cos (cos sin )sin (cos sin )0，即(cos sin )(cos sin )0.又、为锐角，则sin cos >0，cos sin 0，tan 1.8._.答案

16、4解析原式4.9已知 2tan ，试确定使等式成立的的取值集合解因为 ，所以2tan .所以sin 0或|cos |cos >0.故的取值集合为|k或2k<<2k或2k<<2k，kZ10已知，且sin cos .(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值解(1)因为sin cos ，两边同时平方，得sin .又<<，所以cos .(2)因为<<，<<，所以<<，故<<.又sin()，得cos().cos cos()cos cos()sin sin()××.B组专项能力提升

17、(时间：25分钟)11已知tan()，且<<0，则等于()A B C D.答案A解析由tan()，得tan .又<<0，所以sin .故2sin .12若，且sin2cos 2，则tan 的值等于()A. B. C. D.答案D解析，且sin2cos 2，sin2cos2sin2，cos2，cos 或(舍去)，tan .13若tan ，(0，)，则sin(2)_.答案解析因为sin 2，又由(0，)，得2(0，)，所以cos 2，所以sin(2)sin 2coscos 2sin××.14已知函数f(x)sincos，xR.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos()，cos()，0<<，求证：f()220.(1)解f(x)sincossinsin2sin，T2，f(x)的最小值为2.(2)证明由已知得cos cos sin sin ，cos cos sin sin ，两式相加得2cos cos 0，0<&