随机变量极其分布知识点

1、概率论与数理统计期末复习重要知识点一维：1. 离散型随机变量： 设 X是一个随机变量， 如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称 X 为一个离散随机变量。2. 常用离散型分布：（ 1）两点分布（ 0-1 分布）：若一个随机变量X只有两个可能取值，且其分布为P X x1 p, P X x2 1 p(0 p 1) ，则称 X 服从 x1, x2 处参数为 p 的两点分布。两点分布的概率分布： P Xx1p, P X x21p(0 p1)（ 2）二项分布：若一个随机变量X的概率分布由式P x kCnk pk (1p) nk , k 0,1,., n.给出，则称 X 服从参数为 n,p的二项分

2、布。记为 Xb(n,p)( 或 B(n,p).两点分布的概率分布：P xkC nkpk (1p) n k , k0,1,., n.（ 3）泊松分布：kP Xke,0, k0,1,2,.若一个随机变量 X 的概率分布为k !，则称 X服从参数为的泊松分布，记为 XP ()kP Xke,0, k0,1,2,.泊松分布的概率分布：k!4. 连续型随机变量：如果对随机变量 X 的分布函数 F(x) ，存在非负可积函数f ( x) ，使得对于任意实数 x ，有F ( x) P Xxxf (t) dt，则称 X 为连续型随机变量，称f ( x) 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。5. 常用的连续型

3、分布：（ 1）均匀分布：1,a x b ，则称 X在区间（a,b ）若连续型随机变量 X的概率密度为 f (x )b a0,其它上服从均匀分布，记为XU(a,b)均匀分布的概率密度：f ( x)b1a, axb0,其它E(X )a bD(X)(ba) 2均匀分布的期望：212；均匀分布的方差：（ 2）指数分布：f ( x)exx000若连续型随机变量 X 的概率密度为，则称 X 服从参数为的指数分布，记为 Xe ()f (x)exx000指数分布的概率密度：E(X )1D( X)1指数分布的期望：；指数分布的方差：2（ 3）正态分布：1( x) 2f ( x)e 22x若连续型随机变量 X 的

4、概率密度为2则称 X 服从参数为和2,2的正态分布，记为 XN()1( x) 2f (x)e22x2正态分布的概率密度：正态分布的期望： E(X )；正态分布的方差： D ( X )21x21t 2x0,21 ，( x)e2( x)e 2 dt（ 4）标准正态分布：22标准正态分布表的使用：（ 1） x0( x)1(x)X N (0,1)P axbP axbP axb（ 2）P axb(b)( a)XN( ,2 ),YX N (0,1),F( x)P XxP Xx ( x)（ 3）故aYbb)(aP a X b P()2YX N (0,1)定理1：设XN(,),则6. 随机变量的分布函数：设

5、X 是一个随机变量，称F ( x)P Xx 为 X 的分布函数。分布函数的重要性质：0F ( x)1P x1Xx2 P Xx2 P Xx1F ( x2 )F (x1)x1x2F (x1 )F ( x2 )F ()1,F ()07. 求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布（ 1）由 X 的概率分布导出 Y 的概率分布步骤：根据 X 写出 Y 的所有可能取值；对 Y 的每一个可能取值yi 确定相应的概率取值；常用表格的形式把Y 的概率分布写出（ 2）由 X 的概率密度函数（分布函数）求 Y 的概率密度函数（分布函数）的步骤：由 X 的概率密度函数fX ( x) 随机变量函数 Y=g(X)

6、的分布函数 FY ( y)由 FY ( y) 求导可得Y 的概率密度函数（ 3）对单调函数，计算Y=g(X)的概率密度简单方法：定理 1 设随机变量 X 具有概率密度f X ( x)x ( ,) ，又设 y=g(x) 处处可导且恒有 g ( x)0 （或恒有 g ( x)0 ），则 Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为f h( y)| h ( y) |,yfY ( y)；其中 xh( y)是 y=g(x) 的反函数，且0min( g(), g(),max(g(), g()二维：1. 离散型二维随机变量 X 与 Y 的联合概率分布表：XYy jP X xi y1y2x1p11p12p1

7、 jp1 jjx2p21p22p2 jp2 jj.xipi1pi 2pijpijj.P Y y j pi1pi 2pij1iii（ 1）要会由 X 与 Y 的联合概率分布，求出 X与 Y各自概率分布或反过来；类似 P63 例 2（ 2）要会在 X 与 Y 独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据；类似P71 例3（ 3）要会根据联合概率分布表求形如P aXb, cYd 的概率；（ 4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。2. 二维连续型随机变量 X 与 Y 的联合概率密度 :设（ X,Y）为二维随机变量， F(x,y) 为其分布函数，若存在一个非

8、负可积的二元xyF (x, y)f (s, t )dsdt函数 f(x,y),使对任意实数（ x,y ），有，则称（X,Y）为二维连续型随机变量。(1) 要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；(2) 要会根据联合概率密度求出相应的分布函数 F(x,y) ，以及形如 P X Y 等联合概率值 ;P64 例 3(3)要会根据联合概率密度求出 x, y 的边缘密度 ; 类似 P64例 4(4) 要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。3. 联合概率分布以及联合密度函数的一些性质：pij1（ 1） i j；（2）f (x, y)dxdy14. 常用的连续型二维随机变量分

9、布二维均匀分布： 设 G是平面上的有界区域， 其面积为 A。若二维随机变量 （X,Y）具有概率密度函数分布。5. 独立性的判断：1 A(x, y)Gf ( x, y)0，则称（ X,Y）在 G 上服从均匀定义：设随机变量（X,Y）的联合分布函数为 F(x,y),边缘分布函数为FX (x)FY ( y)，若对任意实数 x,y ，有 P Xx,YyP XxPYy（ 1）离散型随机变量的独立性：由独立性的定义进行判断；(xi , yj )P( X xi ,Y yj ) P( Xxi )P(Y yj )pij pi . p. j所有可能取值，有，则 X与 Y相互独立。（ 2）连续型随机变量的独立性：由独立性的定义进行判断；联合概率密度f (x, y) ，边缘密度 fX ( x) ， fY ( y)x, y有f (x, y)f X ( x) fY ( y)几乎处处成立 ,则 X 与 Y