数学高二(上)沪教版(数学归纳法及其应用(一))教师版(共7页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：3课 题数学归纳法及其应用教学目的1、 掌握数学归纳法的一般步骤；2、 会用数学归纳法解决整除问题及郑明明某些与正整数有关的等式；3、 领会“归纳猜想证明”的思想方法。教学内容【知识梳理】知识点1 归纳法的定义及分类1.什么是归纳法？由特殊的事例推出一般结论的推理方法叫做归纳法。2.归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法逐部考察某个事例的所有可能的情况下，得出一般结论的推理方法叫做完全归纳法考察某个事例的所有可能的情况下，得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法【注意】（1）归纳法属特殊到一般的数学思想方法，用它推断出的结论有时正确有

2、时不一定正确（除完全归纳法推出的结论是正确外）。这种推理虽然不严谨，有时会推测错误的结论，但它却是探索新问题、学习新知识、发现新规律的重要途径。（2）归纳法的推理过程也可以理解为：列举若干个事实，并对列举出的结论进行概括后，进一步对问题的一般性结论做猜测。知识点2 数学归纳法的步骤有哪几步？数学归纳法是证明与自然数n有关的数学命题的一种有效推理方法，它的步骤是：（1）证明当n取第一个值时，结论正确，这是奠基步骤。（很多学生会认为是n=1时）（2）假设当时结论正确，证明当时结论也正确，这是递推步骤。（3）根据（1）（2）结论可得对于一切大于等于的自然数结论都成立。【注意】（1）数学归纳法研究的对

3、象仅限于于自然数有关的的数学命题，如等式的证明，整出性问题等，这些有关的命题都能用数学归纳法。（2）运用数学归纳法证明时，两个步骤缺一不可，缺少第一步则缺少了递推的基础，但仅靠第一步不能说明结论的普遍性；证明了第二步就获得了递推的根据，只有两步结论结合在一起才能得出命题正确的普遍性结论。（3）在第一步中，n取第一值，不一定，而是使命题成立的自然数中最小的那个值.(4)在由归纳假设推证，命题成立过程中目标是“拼凑”出适合归纳假设的结构形式。知识点3 数学归纳法的应用1. 数学归纳法证明恒等式的问题2. 用数学归纳法证明某些整除问题 两个整数（或两个整式）相除，当余数（或余式）为零时，这就是整除问

4、题，如果它和正整数有关的问题，也可以用数学归纳法来解决。例 用数学归纳法证明：能被13整除。3. 用数学归纳法证明等差、比数列问题知识点4 归纳猜想论证许多问题的结论往往不是现成给出的，而是需要通过探索、猜想、归纳得出的。为了说明结论的正确性，还应当对所得的结论作严格的论证。【典型例题分析】例1、用数学归纳法证明“”(1)则从k到k+1时，左式要添的项是 （ ） （A） （B）（C） （D） （2）则从k到k+1时，右式要添的项是 （A） （B）（C） (D）【答案】D C变式练习：1、用数学归纳法证明,在验证成立时,左边所得的项为( C )A. 1 B. 1+ C. D. 2、数列中,则数列

5、的前5项为 , 猜想它的通项公式是 () 例2、用数学归纳法证明：【解析】用数学归纳法证明时等式成立时，必须用归纳假设时的结论，同时证明时的等式时成立的，只要将原式中的n换成即得，因此咋证明过程中，证明步骤必须完整，不能跳步骤。 对于本例在证明时正确，需用的恒等式变形有一定难度，此时我们通过左右两边的多项式乘法来完成证明。例3、用数学归纳法证明：解析： 时,原式=能被133整除; 设时, 能被133整除 时,原式= =能被133整除. 变式练习：用数学归纳法证明：能被13整除。证明：（略）例4、（1）数列满足，证明数列是等比数列（2）时数列的前n项和，对于，满足。求证数列是等比数列。【解析】先

6、确定数列的通项公式，然后再证明等差、等比数列；用数学归纳法证明通项公式时，要充分利用已知等式变形为形式，完成递推证明。例5、再数列中，已知成等比数列，而成等差数列，且（1）求（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明【答案】（1） （2）猜想：【课堂小练】 1、 用数学归纳法证明,则从k到k+1时,左边所要添加的项是( D ) A. B. C. D. 2、用数学归纳法证明“当为正奇数时,能被整除”第二步的归纳假设应写成( B )A. 假设正确,再推正确;B. 假设正确,再推正确;C. 假设正确,再推正确;D. 假设正确,再推正确.3、猜想1=1, 1-4=-(1+2), 1-4+9=1+2+3,的

7、第n个式子4、用数学归纳法证明“当是31的倍数”时,时的原式是 ,从到时需添加的项是 。5、数列满足,先计算前4项后,猜想的表达式,并用数学归纳法证明解析：计算得: .猜想 时,计算得,结论成立; 设时, , 则时, .【课堂总结】1、数学归纳法的步骤？2、用数学归纳法证明最难的是哪个步骤？我们应该怎么做？【课后练习】1、 （1）计算： _ _（2）猜想：_(3)用数学归纳法证明你的猜想。【解析】本题综合了完全归纳法、不完全归纳法以及数学归纳法的计算，（2）的猜想属于一个不完全归纳过程，（3）题主要考察数学归纳法的证明。【答案】（1） （2） 2、用数学归纳法证明：时， 【解析】时，正确理解左

8、式表达式的形式，以及推导过程要一步一步交代清楚。3、再的正方形棋盘中。共有多少个大小、位置不同的正方形？【解析】把棋盘看做是边长为19个单位的正方形，按边长1，2，3个单位先列出的所有正方形的个数的式子，再猜证一般式子的计算公式。【答案】设棋盘正方形的边长为19个单位，则边长的有1个单位的正方形有个，边长的有2个单位的正方形有个，边长的有19个单位的正方形有个，不同的正方形有：，以下先猜证计算公式：注意到之间有联系，故和结合起来用表帮助思考。12345136101515143055？比较发现猜想：，以下用数学归纳法证明：（1）当时，显然成立（2）假设当，成立，则当时，也成立。综上所诉，猜想成立。所以，的正方形棋盘中，共有个不同的正方形4、求证:对于整数时,能被133整除.解析： 时,原式=能被133整除; 设时, 能被133整除 时,原式= =能被133整除.5、若,求证:.解析： 时,左=, 右=,左=右 设时, 时, =6、若,且,求证:.解析： 时,左= 设时, 时, 左=