集合的势,可数集与不可数集

1、可数集集合的势、可数集与不第二节.集合元素的个数素个数本节主要研究集合的元.不就行了嘛还需要研究吗？数一数数的方法确定个数，但对于有限集，可以用数最简单的无限集对无限集，怎么数？以中的元素是无法数的，即的数是谁我们根本清楚) 1 , 0(后面紧挨着数对而言但对于无限集xx),1 , 0(,) 1 , 0(., 1还是可以数的即后面紧挨着的是数Nnn, 2 , 1 nN .精力也数不完为例，我们花上毕生的而且我们知道确定无限集由此看来用数数的方法是不可数的即.) 1 , 0(.的元素个数是完全行不通.的本质特性两个集合元素个数相等座位集之间的关系引出下面以教室中学生集与那么下面的无限集”就是无穷

2、“., 2 , 1 nN ?，还是不同的，是相同的它们的元素个数都是小？怎样区分？大，哪个哪个数本不用数，它的元素个也许你会说，无限集根)(题都可以解决这一节讲完后，这些问, 2 , 1 , 0 nA,Q) 1 , 0(之间可以与元素个数相等与两个集合BABA.建立一一对应集合的势. 1,:11BAf若存在，相等，记为基数势与对等，或称与则称BABABA)(.nAnABA，则为为有限集，且元素个数若或为二集，设定义BA,. 1 . 2 . 1., 5 , 4 , 3. 1NAnA则设例NAf:证明：令2)( nnfn . NA故的一一对应，到是则NAf这是身的某一真子集对等此例说明：无限集与自

3、.定义，也可以作为无限集的无限集的一个本质特征. 3, 3,的势为知集如：由cbacba.2)(的严格单调函数到值域定义域是此处NAxxf. 2例,2, 2 , 1NnnAnN设则, 2, 2 , 1, 1 , 0nnZ.AZN令先证证明：.).1 (ANANf:nnfn2)(的一一对应，到是则ANf. AN故.).2(ZN再证ZNf:令)(nfn 其中，)(12, 12,)(Nmmnmmnmnf.,ZNZNf故的一一对应到是则. 3例),() 1 , 0( :).1 (baf令证明：), 0(a), 1 ( boxy的一一对应，到是则),() 1 , 0(baf).,() 1 , 0(ba故

4、.到值域的一一对应严格单调函数是定义域).,(),() 1 , 0(ba证明：xabaxfx)()(作线性函的严格单调函数到值域是定义域分析：要.),() 1 , 0(baf由两点式：数即可.,010ababxay.)(xabay得，则令xxgtan)().,()2,2().2(再证).,()2,2( :11g).,()2,2(故是任意：设定理CBA,1 . 2 . 1. ABBA ，或记为，的势，记为的势小于，则称，且若BABABABA. AB 或;:).1 (AA反身性三集，则;:).2(ABBA则对称性,:).3(CBBA，传递性，有且对若对拼合原则,:).4(BAI，BBAA的势，的势

5、不超过则称BA,1 . 2 . 10BBA续：若定义; CA则AABB1111.BAII则;:).6(BABABA则，伯恩斯坦定理;:).5(CACBBA则，传递性.,:).7(其一三者必居其一，且仅居，是任意二集，则三歧性BABABABA.)6(BABABA ，：下面只证，有，分析：由BABA,:011BBAf,:011AABg则如图记,01AAABA0A0B3B2B1B3A2A1A,01AA 即),(11AfB ),(12BgA ),(22AfB ,011AAB由于，所以012)(ABgA,21AA 即,21BB 此时必有,)(211xyfx于是使得,)(,)(,212211yxfyxfA

6、xAx则否则，若,21BBy.21矛盾这与AAfffgg.,互不相交nnBA,:011BBAf,:011AABg),(),(1nnnnAfBBgA),(),(2212AfBBgA令),(,1101AfBAAA，所以，证明：由于BABA), 2 , 1(nABnn由.11nnnnAB及拼合原则得)()(11iiiiBBBB从而.A)()(101iiiiAAA 且),( ,mnBBAAmnmn则0ABnnA1nnB1g1A.无限集，即可数集下面研究一类最简单的可数集. 2;,2 , 4 , 2.2;, 2 , 1.1nAnN）（）（.,aNAANA为可数集，记为则称若，是任意集合，设定义, 2 ,

7、 1. 2 . 2 . 1 nNA.:2 . 2 . 1的元素可排成无穷序列为可数集定理AA., 2, 2 , 1, 1 , 0.3nnZ）（可数，知”由证明：“A.),(,),2(),1 (即是无穷序列形式于是nfffAANf11:)(nfn 下列集合皆为可数集：例 . 4)2(ZAN：由例地排成了无穷序列，一般上面三个集合的元素都.,.nan总有对任何正整数由此定义知.为可数集的一一对应，从而到是则ANAfnafann)(设的元素可排成无穷序列”由“.A令,21naaaANAf:.:3 . 2 . 1aAA为无限集定理.,00210aAAAAaaaAn，故，可数集，仍为无限集；且为无限集知

8、，由证明,:11aAAaA；仍为无限集，且于是,2112aaAaAa:.,121令，同理nnaaaAa.00aAAAA，则分析：若存在可数集.集是无限集中势最小者此定理告诉我们：可数.:4 . 2 . 10都是可数集的任何无限子集可数集定理AA.3 . 2 . 1:00aAA知为无限集，所以由定理由于证明.,000aAAAaAA故，所以又可数集.3 . 2 . 1数集为至多可数集：称空集、有限集、可定义即是有：性质，先下面研究可数集的运算.介绍希尔伯特旅馆可数集；有限个可数集的并集是是可数集；有限集与可数集的并集.可数集可数个可数集的并集是是可数集；可数集与可数集的并集.00aAaA ，则若能

9、证,0AAa分析：显然个集是可特别地，如果其中有一仍为至多可数集 .证明并的情形，分两种情况有：上面的情形综合起来即集的交、并、差：至多可数个至多可数定理5 . 2 . 1.,那么并集必然是可数集可数.，只需对并的情形证明对交、差运算显然成立可数集；有限个可数集的并集是).3(是可数集；有限集与可数集的并集).1 (.).4(可数集可数个可数集的并集是是可数集；可数集与可数集的并集).2(）（aan）（aaa）（ana ）（aaa 并的情况具体化就是：.,2121可数nmaaabbbBA.,2211可数nnbababaBA,.1BAo若,21naaaAA为无限集，且设,21时当mbbbB,21

10、时当nbbbB 可数，由至多可数，由于ABABAB00.10可数知，ABABo，且则令ABABB00,.,都为有限集，结论成立若BA.,.1至多可数集至多可数集）证明：（BABA,.2BAo若B0BAA.)(.21可数可数）（iiiANiA设，若),(.1NjijiAAjio,321333323132232221211312111nnnnnnnnnaaaaAaaaaAaaaaAaaaaA. ,3122132112111可数于是aaaaaaAii，设有若jioAAjiNji,.2,122AAB)6( ,11习题ininnAAB.11可数知iiiiBA ）（可数，且，则2),(1iBBNjijiB

11、Biji,11AB .10可数可数时，仍然有且有一个iiiAAo1至多可数，由）至多可数，（当注意：由上面证明知，NiAi. 5可数有理数集例Q.可数.1可数从而iiAQ ),(,3,2,1NiiniiiAi证明：设可数，则iA可数，即QQQ 0QQQ所以.的开区间之集至多可数证明：直线上互不相交记）存在有理数）且对.,(,(barAbaababrbafba）,(,(.至多可数于是A.),(,(）ba区间之集，则是直线上互不相交的开证明：设A,QB 则有）对,),( ,(Aba,(AbarrBabab）.至多可数即B的一一对应，到是则ABfBAf:令. 6例），结论记住（这是习题.101r2r

12、.的结果这是一个令人难以置信分布的整数一样多的有理数与数轴上稀疏这说明数轴上处处稠密.QZNQZN皆可数、，即注意：各自、所确定，且、两个相互独立的元素mnmn.取遍一个可数集的元素是由可数？集合ANmnmnA,),( .,可数一个可数集，则而每个记号独自地跑遍定A个记号所决中每一个元素均由：设定理nA6 . 2 . 1.,11111可数，结论成立时当aIIxaAnx，则证明：设, 2 , 1,21niaIIxaAiiixxxn可数；, 2 , 1,21kiaIIxaAiiixxxk即时结论成立设,kn ,1时当 kn.1可数可数，从而由归纳假设知，jjjAAA 记对每一个,1)1(kkjIx

13、,)1()1(2)1(11knkkkxxxI设, 2 , 1,)1(21kiaIIxaAiiixxxxjkjk.).1.(7点全体是可数集平面上坐标为有理数的例次整系数多项式全体，对任意正整数nn).2(.0,2102210nnnnnaZaaaaxaxaxaaA所决定，、由两个记号yx）中元素（则yxQ,2,).1.(2QyxyxQ）（设证明：.6 . 2 . 12可数知，由定理Q,Qyx各自跑遍可数集、且故跑遍可数集 ,Z所确定，个记号由naaaan,1210nnnxaxaxaaxP2210)(且每个记号各自.,)(210可数ZaaaaxPAnnn，对任意正整数n).2(.可数.).1.(8

14、1可数整系数多项式全体例nnAA .)2(的根）全体可数代数数（整系数多项式.16).1.(1可数可数，从而）知（由例证明：nnnAAA 个，所以每一个整系次方程的根至多由于nn).2(至多可数而代数数全体为可数个. aB 故, aNB所以又即至多可数从而代数数全体.aBB，nnBBNnnxxN1, 0知整系由是至多可数集数多项式的根所成之集) 1 (.数多项式全体可数，集的并集，.的全体是可数集. 9例为半为心，有理数平面上以有理点证明：ryx),(.知，则由定理径的园为6 . 2 . 1),(ryxO.可数,),(QryxryxOA有理数为半径的园平面上以有理点为心，集的性质：通过上面讨论

15、知道可数小的集；可数集是无限集中势最. 2;. 1列的集都是可数集凡是能排成一个无穷序可数集；可数集的无限子集仍是. 3. 6是可数集；可数集个可数集的并集而每个记个记号所决定集合的每个元素由,. 7n不可数集. 3.集，则此集可数号独自地跑遍一个可数？这中的无限集皆是可数集可数？即在全集从而RR.限集是存在的个结论不对，不可数无是否也可数？那么无理点集数轴上也处处稠密QR ,密稠密，而且无理点在有理点在数轴上处处稠可数集；有限个可数集的并集是. 5并集是可数集；可数集与至多可数集的. 4.) 1 , 0.(10是不可数无限集例.,) 1 , 0(21naaa可数，设若证明：用反证法) 1 ,

16、 0(.用十进制小数表示为，nnnnnnnaaaaaaaaaaaa21222212112111. 0. 0. 0),(1, 21, 1Nnaabnnnnn记.) 1 , 0() 1 , 0(不可数矛盾，故这与 b），（ 1 , 0,. 021nbbbb.,nabNn有则对.,21naaab即.,) 1 , 0() 1 , 0(acc则是不可数无限集，记.) 1 , 0(),1 , 0(cAcAA势集，有是则称若.11cR 证明：例)2tan()(xxfx ),() 1 , 0( : Rf证明：令内，是定义在则) 1 , 0(f的严格单调函数，值域为),(的一一对应，到是从而Rf) 1 , 0(

17、. cR 故.,(),),.() 1 (.12cbabababa证明：例),() 1 , 0( :).1 (baf令证明：xabaxfx)()(的一一对应，故到是则),() 1 , 0(baf.),(cba所以又),(,),(baba,),(,),(cbabac.,cba即.,(),cbaba同理可证).1 , 0(),(,),( ,).2(dcxbkxyyxLRbk对Ldcf),( :).2(令),()(bkxxxfx.),(),(cdcLLdcf的一一对应，故到是则.势集段、直线都是此例说明平面上任一线c.) 1 , 0() 1 , 0(.132cRRn证明：例,. 021nbbby ，n

18、nbababayxf2211. 0),(且则),1 , 0(A,) 1 , 0() 1 , 0( :11Af.) 1 , 0() 1 , 0() 1 , 0(cA设),1 , 0() 1 , 0(),(yx,. 021naaax 令),1 , 0() 1 , 0(),(),(yxyxfA记于是.) 1 , 0() 1 , 0(c故又,) 1 , 0() 1 , 0() 1 , 0(c所以),1 , 0() 1 , 0(5 . 0) 1 , 0() 1 , 0(.) 1 , 0() 1 , 0().1 (c先证证明：.) 1 , 0() 1 , 0() 1 , 0(的关系与尝试建立1015 .

19、0令再证：.).2(2cR ),2tan(),2(tan(),(yxyx. cRn同理可证.) 1 , 0() 1 , 0(2cR211) 1 , 0() 1 , 0( :Rg则：他当时写信给戴德金说三年后他证明了.211RR中的点多，但中的点比康托曾试图证明是一样多RR2.面上的点与空间中的点这说明直线上的点、平”直不能相信它“我看到了它，但我简.，21121121. 0),(aaaxxxfn);1 , 0(),1 , 0(),( ).1 (.1421NnxxxxBnn证例).1 , 0(),(),( ).2(21NnxxxxEnn令).1 (证明：只证，nnnnnnnaaaxaaaxaaa

20、x21222212112111. 0. 0. 0，) 1 , 0(:11ABf则又于是.) 1 , 0(cAB,)1 , 0(), 1 . 0 , 1 . 0 , 1 . 0 ,( 11cxxB. cB 故则记,),(),(2121BxxxxxxfAnn记,),(21Bxxxn)( ;).1 (7 . 2 . 1cnccc势集势集的并集为任意有限个：定理).().3()( ;).2(cccccccaccc势集势集的并集为势个势集势集的并集为可数个. cA故不相交的情形证明：证明：仅就任意二集互), 2 , 1().1 (nicAi设, 1iiAi（则于是, 0(, 111niiAAniini（

21、., 0(.21cBABii故）同理）（势集的运算性质：下面研究c) 1 , 0(:11If)(f，有于是对I从而. cAI),1 , 0() 1 , 0()1 , 0(),( yyfAII),1 , 0(),( yyfA则设),().3(cIIcA故101)(f,8 . 2 . 1个记号所决定中每一个元素均由：设定理nA.势集为势集，则一个而每个记号独自地跑遍cAc，则证明：设, 2 , 1,21nicAAxaAiiixxxn)(iiixfx),(:11iiAf)(,),(),(221121nnxxxxfxfxfannRAg11:令. cRAn则的两个运算性质：最后，我们给出无限集.11nRAnA个记号确定，尝试建立中元素由由于为无限集，证明：由于A，使且在可数子集AA 0由于即.)(00AABA，)()()(00ABAAAABABA.至多可数AB 而，)()(00ABAAA，00)(AAA.)()()(0000AAAAABAAABA.)0可数（ABA所以为至多可数集，则为无限集，：设定理BA9 . 2 .