计画名称九年一贯数学学习领域能力指标之诠释国小连结主题之

1、計畫名稱：九年一貫數學學習領域能力指標之詮釋：國小連結主題之教學實例的探究計畫編號：NSC-92-2522-S-415-002執行期限：92年5月01日至93年7月31日主持人：楊德清 執行機構及單位名稱：國立嘉義大學數學教育研究所參與人員：研究生李威進、江秉叡、施乃文，高雄中路國小徐俊仁老師，臺南鹽水國小何鳳珠老師、彰化暁陽國小張熙明老師，雲林台西國小黃志敘老師，嘉義竹崎國小李雲浩老師，嘉義民生國中姜淑珍老師等。摘要本研究之主要目的乃在依據九年一貫數學學習領域之連接主題的能力指標，發展相關之教學素材，設計配合教學活動之教學方式，以及配套之評量方法。經過本研究團隊的努力，本研究共開發28套以連

2、結主題為基礎之教學實例；其中22套連結教學活動皆已經過實際之教室教學歷程，亦產生許多寶貴之資訊。因此，這些活動皆已具實務的經驗，可以供教師未來教學之參考。關鍵詞：九年一貫數學領域課程綱要，能力指標，連結，數學，46年級。AbstractThe main purpose of this study was to develop the related teaching materials, teaching methods and evaluation tools according to the ability indicators of connection of the 9-year in

3、tegrated mathematics curriculum guidelines.The research team designed 28 mathematical connection related teaching activities. At the same time, 22 out of the 28 activities were practiced in the mathematics classrooms. Through the teaching experiences, this study collected a lot of valuable informati

4、on about teaching the activities of connection. Therefore, these experienced activities can be used by the teachers. Keywords: 9-year integrated mathematics curriculum Guidelines, ability indicators, connection, Grade 1 to 3, mathematics.壹、研究動機與目的九年一貫課程的推動是我國教育史上的一項重大變革，同時在數學學習領域這個範疇，特別重視的是學習者能力的開拓，

5、希望學生能夠靈活的運用所學得的知識與技能於實際的生活與工作職場中，進而得以應用數學語言與他人溝通並且有效的解決問題。九年一貫課程綱要所揭示的是課程的大綱、原則、以及希望學習者所能夠達到的目標，但是要讓這一些立意良善的課程理念，能夠真正落實並且獲得最大的成效，則需要靠第一線的專業教師，運用其專業的學科知識以及教學策略，從教學活動中實現。因此清楚的闡述各階段各年級之能力指標是必須的，以做為教師參考的準則。許多的研究顯示(楊德清，2000，2002；Cramer, Post, & delMas,2002；Kamii,1989,1991；Markovits,& Sowder, 1994

6、；Moss & Case,1999；Wearne, & Hiebert,1988；Schoenfeld，2002)由於傳統的數學教學，重視結果，為了讓學生獲得較高的成績，因此數學的教學，特別強調計算速度的快、狠、準，以及背誦、熟稔定理、公式的重要性。此種教師講述，學生練習的單向傳輸教學，雖然可以達到立竿見影之效果，但學生往往是知其然而不知其所以然。在如此的情境下，學生是否真正具備創新思維與順應世界潮流的能力是值得的懷疑的？隨著教改浪潮的瀰漫與呼籲，身為傳道、授業、與解惑之教師，更應思考如何改進教學方式與教學策略，以順應教學之所需。九年一貫課程之數學領域(教育部，2001)，其精

7、神強調數學教學應生活化，數學課程應著重於培養學生帶得走的能力，注重學生思考、合理判斷、解決問題，以及理性溝通等能力的發展。然而推行至今，學校教師與課程發展者對於應該如何依據課程綱要中所揭示之能力指標，以進行教材發展，教學，與評量皆無所適從。基於此，本研究之主要目的乃在依據九年一貫數學學習領之連結主題的能力指標，發展相關之教學素材，設計配合教學活動之教學方式，以以供學校教師參考。貳、文獻探討一、連結的重要性連結在九年一貫數學學習領域中扮演一個相當重要的角色；事實上，連結是九年一貫數學學習領域的特色之一，那麼何謂連結？誠如美國數學教師協會（National Council of Teachers

8、of Mathematics, 簡稱NCTM，2000）學校數學課程原則與標準（Principles and Standards for School Mathematics）認為數學連結就是：1.能夠理解數學概念並且具有連結這些數學概念的能力；2.能夠瞭解數學概念相互連結的關係並藉此建立一個連貫的數學體系；3.認知和能夠運用數學概念於數學之外的生活情境中。（p. 64）因此，所謂的數學連結不僅僅只是數學知識-數與量、圖形與空間、統計與機率和代數等四個主題的內部連結，它更應該與其他領域以及生活情境形成緊密的連結，以進行察覺、轉化、解題、溝通、評析等解決能力的培養(教育部，民90)。 為何數學連

9、結在數學學習中扮演一個很重要的角色？美國數學教師協會（NCTM，1989）之學校數學課程與評量標準（Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics）中即明白的揭示如果學生要具備強而有力的數學能力，那麼他們就必須能夠彈性地連結與運用各種不同的方法以解決生活情境中之問題。美國數學教師協會（NCTM，2000）之學校數學課程原則與標準更進一步的指出當學生學能夠將所學得的數學概念做相互的連結，那麼他們就能夠對數學知識做更深一層的理解，以及較長久的概念保留與應用。上述之陳述已經很清楚地說明了數學連結的重要性。二、連結相關之研究與發展

10、數學連結是一個相當新的研究主題，因此，目前國內外相關的研究報告與文獻並不多。美國數學教師協會（NCTM，1989）之學校數學課程與評量標準自1989年即強調數學連結的重要性，並認為各階段之學生首先必須建立清楚之數學概念，能夠連結各數學概念之間的關係，進一步能夠連結與應用這些數學概念於生活情境中。美國數學教師協會（NCTM，2000）之學校數學課程原則與標準更進一步的指出所有的學生應該能夠：1.認知和使用數學內部知識的連結；2.瞭解數學內部知識是如何的相連結而且能夠進一步的視這些數學知識是一個完整的個體；3.認知和應用數學知識於數學之外的生活情境 (p. 274)。NCTM的這些主張正與我國九年

11、一貫的數學學習領域之數學連結的看法相呼應。 一些相關的研究(National Research Council, 1996；Roche, 1996；Thomas & Santiago, 2002)亦從不同領域之觀點，生活情境的問題，以及數學內部知識的連繫分別探討了數學連結這個主題之發展的可行性。藉數學連結的發展，使得學生可以瞭解數學之重要性以及實用性。誠如Thomas & Santiago(2002)所說：藉由連結教學活動的豐富探究，可以幫助學生鑑賞數個數學內部知識之連結的成效，並進一步的提昇數學連結課程的可能性。 Lesh 和Lamon (1992)認為真正的數學活動(aut

12、hentic mathematical activities)應該兼容有意義的以及很重要的數學概念，更重要的是這些活動應該與學生的生活經驗相關或是生活情境中可能發生的情節。他們更進一步的指出真正的數學活動應該具備下列四項條件：1.真實的數學(real mathematics)：真實的數學代表對數與量、圖形與空間、代數、機率與統計四個主題所包含之數學概念的融會貫通，而不只是專精於熟背計算公式、熟稔計算技巧、與瞭解零碎、片刻的數學知識(Mathematical Science Education Board, 1990；NCTM, 1989, 2000)。(realistic situation)

13、s：真正發生於學生日常生活當中的故事或情節，包含了學校內、家庭、或社會。3.可能會發生於真實的生活情境中之問題或爭論之議題：探討的問題可能會發生於真實的生活情境中，但並不是所有的學生都可能會親身經歷這個過程，例如職業籃球或棒球比賽，學生並非真正的參與，但這些事情卻可能會發生於真實的生活情境中。4.真實的工具或資源(realistic tools and resources)：數學問題應允許學生使用日常生活中垂手可得之工具或資源，如電算器或電腦，以協助學生解決問題。 綜合上述的探討與分析，與配合九年一貫數學領域之連結主題，以發展適合國小連結主題之教學素材。因此，本研究之思考方向乃以可能發生於學生

14、日常生活當中的故事或情節為基礎(參考附件之圖1)，引導學生運用基本的數學概念與計算能力，讓學生能察覺生活中與數學相關的情境(C-R-1)，能把情境中與問題相關的數量形析(C-T-1)，進而能選擇使用合適的數學表徵(C-S-2)或能用電算器或電腦處理大數目或大量數字的計算(C-S-6)，最後能夠運用數學語言呈現解題的過程(C-C-5)。參、研究方法與實施程序研究設計 本研究之主要研究目的乃在於詮釋數學領域課程綱要中之連接主題的能力指標，進而發展相關之教學素材，設計配合教學活動之教學方式，以及配套之評量方法。因此，本研究之研究法將採用課程實驗法。亦即研究者與參與研究之教師針對連結主題相關之能力指標

15、進行詮釋，並讓參與研究之教師瞭解研究者對連結主題之教學理念與活動設計方向，經由不斷的溝通、協調、與分享中發展配合連結主題之教學活動，然後將活動實施於課室中。藉由實際的教學中，以檢討該活動是否能夠發展學生的連結能力，最後正式修訂完成符合連結主題可供參考之教學範例。教學活動之設計理念以下將從實際的教學案例中探討研究者欲發展之符合連結主題的相關教學活動、教學方式、與評量方式。(一)、教學實例一、主題：智慧七巧板(如附件二)適用階段與年級：可分別設計不同之教學活動於第一、第二、或第三階段之二、三、四、五或六年級。所須之先備知識(以六年級為例)：可以運用剪刀進行剪紙活動。教學目標：本部分之教學目標包括：

16、1.發展數學內部知識的連結：從製作七巧板的過程中協助兒童發展圖形與空間主題的基本圖形概念，如長方形、正方形、等腰(直角)三角形、(等腰)梯形、與平行四邊形的定義。亦可以藉由所裁剪之基本圖形探討全等與相似三角形之基本概念。同時能夠與數與量主題之周長、面積、與角度之概念相連結。2.與其他領域之連結：人文藝術領域(美勞課)以及語文領域進行外部知識的連結(李威進和楊德清，2002)。二、教學進行方式：採分組討論，小組合作之教學方式。三、評量方式：1.設計相關之題目以檢定學生是否具備數與量之概念，是否能夠將所習得數學概念應用於生活情境中。2.教師運用寫作數學日誌的方式，以進一步的瞭解學生是否真正的具備相

17、關之數學概念，並能運用於生活情境中。3.考驗學生之創造能力，如下之數學科教材教法課程學生之創作，雖然職前教師與國小學童層級不同，但國小學童亦可創造不同之作品。參與之研究成員 參與本研究之研究成員的背景與角色陳述如下：1.大學數學教育研究教師：本研究連結主題相關之教學活動的理論基礎與教學設計理念之設計者。同時參與教學設計、教學現場之觀察、教學成效之探討、與教學活動之修訂。2.現職之國小教師：若本計畫可執行，本研究預定邀請第一、第二、與第三階段之教師各二位參與本連結主題之詮釋與教學活動之開發。參與教師至少須具有多年之教學經驗(如五年以上)，且具有高度的興趣參與本研究之推動。資料收集：透過閱讀相關文

18、獻與報告，共同討論以發展適合使用之教學素材，教學方式，與評量方式。同時透過各種不同的方式，如參考相關之教學素材、教室觀察、文件紀錄、錄影與錄音、及其他輔助工具來蒐集資料。教學活動成效之檢討與分析：研究者於教學活動中所收集之資料，包括教室觀察、教學現場的錄影帶、錄音帶、研究者反省札記、學生的工作單、數學日誌等經由三角校正，來檢驗資料。並根據相關之資料以修訂教學素材、教學方式、與評量方法。最後研究者將根據檢討結果撰寫報告。肆、研究結果本研究之主要目的乃在依據九年一貫數學學習領連結主題之能力指標，發展相關之教學素材，並從實際的教學中探討教學活動之可行性。以下分別呈現本研究所發展之連結教學活動： 本研

19、究經研究團隊的努力，研究期間共開發28套連結相關之教學活動，其中22套連結教學活動並實際實踐於課室中，收集之資料包括教學錄影帶，學生之工作單，數學日誌以及教學心得等。這些活動主要針對的對象是4、5與6年級學生為主。以下列舉二個活動以深入探討連結活動開發、實踐與成果之過程：教學活動案例一：活動主題：我們學校的籃球場：指導與設計老師：楊德清活動實踐老師：徐俊仁活動實踐教師：徐俊仁適用對象：九年一貫第二階段四年級教學目標：1.能夠進行數學內部知識與技能的連結：例如能夠將數字、運算與數字大小之意義的理解，周長與面積之基本概念的認知，以及加、減與乘法技能之熟稔相結合。2.能夠將數學內部知識與技能連結與應

20、用於生活情境之問題。先備知識：瞭解數字、運算、數字之相對大小、與周長和面積的基本概念。數學名詞：數字的基本意義，數字大小，二位數乘以二位數，以及周長與面積。教學設計理念：以學生學校生活中實際的情境為發展基礎，希望藉由連結的教學活動，進行下列之探討：1.讓學生能察覺生活中與數學相關的情境 (C-R-1)：瞭解問題之涵義；2.能把情境中與問題相關的數量形析出(C-T-1)：知道與主題相關之單元；3.能選擇使用合適的數學表徵(C-S-2)：引導學生能夠知道應該運用先前所學得的長度、周長、與面積之概念，並彈性的運用數字與運算的關係，來深化數與量的數字常識能力；(C-C-5)：引導學生能夠運用語言或寫作

21、的方式陳述解題的過程。例如學生可以陳述籃球場的長與寬為何，並進行周長與面積之解法。5.能用解題的結果闡釋原來的情境問題(C-E-1)：知道解題的結果是合理的，例如，能夠說明籃筐與地面的距離為3公尺是合理的，籃筐與地面的距離不可能為10公尺或8公尺，太高了。教學方式：採分組討論，合作學習的方式，請學生陳述其解題過程、想法。活動：我們學校的籃球場請將框框內的數字依題意填入下列空格內104，12，640，20，32，3，10，8中路國小的籃球場長是 公尺，而且寬是 公尺。它的長比寬多 公尺，這個籃球場的周長是 公尺，而且面積是 平方公尺，籃框與地面的距離是 公尺。活動修正：建議將題目框框內所給的數字

22、加上一個數字，如600，以避免學生在選完前面四個空格之數字後，所可以選擇的數字有限，而無法真正的測出學生對乘法與面積之相關概念。教學反思：本活動實施於四上，根據教師的描述，在活動進行之當兒，學生所具備之乘法能力只達3位數乘以1位數，尚未進行2位數乘以2位數之教學。然而本活動之面積為32×20，以超過學生的解題能力。因此，教師在面對此問題時，並未進一步探討與要求學生思考如何求得32×20？雖然學生尚未學習此部份，但研究者認為，若學生乘法概念清楚，則教師於此時應適時的挑戰學生的解題與推理能力。教學活動案例二：活動主題：東方魔板與解題：指導老師：楊德清活動設計與實踐老師：黃志敘適

23、用對象：九年一貫第三階段六年級教學目標：1. 從解題活動中發現兒童常見之分數迷思概念與可能之解題策略；2. 進一步協助兒童澄清分數的基本意義與發展穩固的分數概念。活動內容：(1)準備活動拼圖遊戲小朋友請將這七塊板子重新組合為原來之正方形？ 本活動請小朋友將分散之七巧板子，重新重組成原來的正方形，研究者希望藉由熱身活動，以引發孩子的學習動機。(2)解題活動第一塊板子的故事 小朋友，下列正方形範圍內共可分割為七塊區域，請小朋友回答下列問題：編號 1 的板子的面積佔全部面積的多少？ 利用七巧板中第1號板子做為佈題的情境，讓學生根據他們的經驗發揮他們的想像力以進行解題活動。(3)評量課室討論後的成效小

24、朋友下列正方形範圍內共有分割七塊範圍，請小朋友回答下列問題：編號 4 的板子的面積佔全部面積的多少？ 透過老師再佈題以評量討論後的成效，同時也檢驗兒童是否有能力將先前活動中所習得的知識加以應用。活動發現：教學活動中我們學生常見之三種不同分數迷思概念：1.無法釐清部分全體關係；2.缺乏單位量概念；3.缺乏等分概念。同時亦發現學生之多元解題策略：1. 能夠善用參考點 以最小單位為單位量做基礎；2. 以小方格為單位進行解題；3. 選擇適當大的單位當作參考點；4. 使用實際測量方式解題。教學反思：活動完成後，研究者反思認為教師教學中的確應佈一些非例行性的問題，如此方能發現學生的迷思概念。如本活動之七巧

25、版中之七塊大小不等，不同於平常探討分數時常用等分之問題，活動中能發現學生之概念哪兒不清楚。此外，研究者除了驚訝學生能主動建構出不同於課室教學的方法外，經由課室討論與腦力激盪，兒童也能綜合各組的優點又創造另一種解題策略。同時亦發現了兒童與生俱來豐富想像力的潛能外，更了解適當課程設計也是老師引導學生學習成功與否的重要關鍵之一。伍、結論 目前我國正積極推行九年一貫數學課程之改革，對學生、老師與家長而言可以說是很重大的變革。連結主題是數學領域五大主題之一，而它更是數學內部知識和其他領域相結合之溝通橋樑，因此，其重要性是不言而喻。 本研究針對連結主題之精神所發展之教學素材共30套，其中多數之連結教學活動

26、皆已經過實際之教室教學經歷，亦產生許多之寶貴資訊。如上述之教學案例一與二，內含許多實務經驗與學生想法，研究者已完成文章之撰寫，並分別投稿至國內外之期刊。這些珍貴之資料，皆可提供未來教學之教師許多值得參考之教學經驗。有興趣參考之教師可與研究者聯絡以取得相關之資訊。參考文獻教育部 (2001)。九年一貫數學領域課程 綱要。台北：教育部。李威進和楊德清(2002)。從九年一貫數學領域的觀點談連結的重要性，九年一貫數學領域課程”基礎研習手冊。楊德清(2000)：國小六年級學生回答數字常識問題所使用之方法，科學教育 學刊，8(4),379-394。楊德清(2002)：從教學活動中幫助國小六年級學生發展數

27、字常識之研究。科學教育學刊，10(3)，233-260。Cramer, K. A., Post, T. R., & delMas R. C. (2002). Initial fraction learning by fourth-and fifth-grade students: A comparison of the effects of using commercial curricula with the effects of using the rational number project curriculum, Journal for Research in Mathema

28、tics Education, 33 (2), 111-144.Lesh, R. & Lamon, S. (1992). Assessing authentic mathematics performance. In R. Lesh & S. Lamon (Eds.), Assessments of Authentic Performance in School Mathematics (pp. 17-62). Washington, DC: American Association for the Advancement of Sciences Press.Mack, N.

29、K. (1993). Learning rational numbers with understanding: The case of informal knowledge. In T. Carpenter, T., E. Fennema, & T. Romberg (Eds.), Research on the teaching, learning, and assessing of rational number concepts (pp.327-362). Hillsdale NJ: Lawrence Erlbaum Associates.Markovits, Z., &

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31、5(1), 4-29Mathematical Sciences Education Board (1990). Reshaping School Mathematics: A Philosophy and Framework for Curriculum. National Research Council, Washington, D. C.: National Academy Press.Mayer, R. E. (1992). Thinking, problem solving, cognition. New York : W. H. Freeman and CompanyMoss, J

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