专项练习菱形的判定

1、菱形的判定、选择题1. 下列条件能判断四边形ABCD是菱形的条件是（）A 对角线互相平分B.对角线互相垂直C 邻边相等D 对角线互相垂直且平分2. 若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍，则该平行四边形一定 为（ ）A. 矩形.B .菱形.C.矩形和菱形.D .正方形.3. 满足下列（ ）的是菱形.A .两对角线相等B. 两对角线垂直C. 两条对角线垂直且互相平分D. 两条对角线相等且互相垂直4顺次连结四边形各边中点得到的四边形是一个菱形，则原来的四边形必是（ ）A. 等腰梯形B .矩形C.对角线相等D .菱形5. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到、两 部分

2、，将展开后得到的平面图形是（）A.矩形 B .三角形C.正方形D .菱形6. 已知四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形各边中点，得到的四边形是（）A.梯形B.矩形C.菱形D .正方形7. 用两根等宽的木条交叉重叠在一起，则重叠部分的图形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D .无法确定8. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）A. AB=CDB. AC=BDC. AC _ BD时，它是菱形D. 当.ABC =90时，它是矩形二、填空题9. 依次连结等腰梯形各边中点所成的四边形是 .10. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从(1) AB二CD ; (2

3、)AB/ CD ; (3) OA=OC ; (4) OB = OD ; (5) AC 丄 BD ; (6) AC 平分.BAD 这六个条件中，选取三个推出四边形 ABCD是菱形.如(1) (2) (5) = ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个： = A B C是菱形； =A B C是菱形.11. 延长等腰 ABC顶角平分线AD到E使DE二AD，连结BE，CE，则四边形ABEC是形.12. 对角线勺四边形是菱形.MNDC13. 将矩形ABCD绕对角线交点逆时针方向旋转一角度后，使 A与B重合，得矩形BFDE，BF交AD于M，DE交BC于N，贝U四边形BMDN是(填特殊四边形的名称).三、证明

4、题14. 已知，如图，从菱形ABCD对角线的交点O分别向各边引垂线，垂线分别是E，F，G，H .求证：四边形EFGH是矩形.15. 已知四边形ABCD的四边分别为a，b，c，d，且满足 a4 b4 c4 y4 =4abcd，求证：四边形ABCD是菱形.16. 已知口 ABCD是对角线AC、BD相交于0，如图，且AD -.13, AC = 6 ,BD=4，你能说明四边形ABCD是菱形吗？17. 如图所示，Rt ABC中，.ACB =90*，ABC的角平分线BD交AC于点D ,CH丄AB交BD于F ， DE丄AB于E，四边形CDEF是菱形吗？18. 如图，在五边形 ABCDE 中，AB 二 BC

5、二 CD 二 DE 二 EA, ABC = 2 DBE .请说明：四边形ACDE是菱形.19.如图，在 ABC中,AD是.BAC的平分线,EF垂直平分 AD交AB于E ,交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形.D20. 如图，矩形ABCD中，0是两对角线的交点，AF垂直平分线段0B，垂足 为E，CH垂直平分线段0D，垂足为G .求证：（1） AOB是等边三角形；（2）四边形AFCH是菱形.21. 如图，矩形ABCD中，0是AC与BD的交点，过0点的直线EF与AB，CD 的延长线分别交于E，F .(1)求证： B0E D0F ;（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形 AECF为菱形？并证明你的

6、结论.22. 如图所示，AD是Rt ABC斜边BC上的高，.B的平分线交AD于M，交AC 于E， DAE的平分线交CD于N .求证：四边形 AMNE为菱形.A亍MDN23. 如图所示，在四边形ABCD中，对边AB二CD , M , N , P , Q分别是AD ,BC , AC , BD的中点，求证：MN丄PQ .24. 如图，四边形 ABCD中，点E在AB上，且 ADE与厶BCE都是正三角形, 点P，Q，M，N分别为边AB，BC，CD，DA的中点求证：四边形PQMN为菱形.25. 如图，四边形ABCD中， ABC =/ADC =90，M为AC中点，且MN丄BD与MD的平行线BN交于N，求证：

7、四边形BNDM为菱形.D26. 如图 RtA ABC 中，BAC =90 , AD 丄 BC 于 D , CE 平分.ACB 交 AD 于 G , 交AB于E , EF丄BC于F ,求证：四边形AEFG为菱形.27. 0 ABCD的对角线的垂直平分线与边形AFCE是菱形.AD,:四边28. 已知：如图，过ABCD的对角线交点0作互相垂直的两条直线EG,FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E, F, G, H .求证：四边形EFGH是菱形.D29. 如图，在L ABCD中，0是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD,BC分别交于E, F.求证：四边形AFCE是菱形.四、应用题30. 如

8、图，在四边形 ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点, 请添加一个条件，使四边形 EFGH为菱形，并说明理由.参考答案、选择题1. D2. B3. C4. C5. D6. C7. B8. B二、填空题9. 菱形10. (5)或如(6)11. 菱12. 互相平分且垂直13. 菱形三、证明题14. 先证四边形HEFG为平行四边形，再证 HF二EG .15. 解：因为 a4 b4 c4 d4 二4abcd，所以 2a4 2b4 2c4 2d4 -8abcd = 0 ,所以(a4 -2a2b2 b4) (b4 -2a2c2 c4) (c4 -2c2d2 d4) (d4 -2a2d

9、2 a4)2(a2b2 -2abcd c2d2) 2(a2d2 -2abcd b2c2) =0所以(a2 -b2)2 (b2 -c2)2 (c2 -d2)2 (d2 -a2)2 2(ab-cd)2 2(ad -be)2 =0 由非负数性质得，a2-b2=0, b2-c2=0, c2-d2=0,d2-a2 =0 , ab-cd=0 , ad-bc = 0 .所以 a = b = c = d .所以四边形ABCD是菱形.16解：t四边形ABCD是平行四边形，AC =6, BD =4 .OA =OC =3, OB =OD =2 .又7 AD二帀.AD-OA2 OD2.AOD =90；,即：AC 丄

10、BD .C ABCD是菱形.17解：四边形CDEF是菱形.理由如下：:DE 丄 AB, CH 丄 AB,.DE / CH .即：DE / CF .又：BD是角平分线，DE 二 DC ,且 BDE BDC.:DE / CH ,BDE =/CFD.CDF = DFC.CD 二CF.CF 二 DE.四边形CDEF是平行四边形，又因DC = DE .四边形CDEF是菱形.18. 提示：只需证四边形EACD为平行四边形，只需证明 AE / CD，过B作BM / AE 经证 BM / CD 即可.19. v EF 垂直平分 AD ,二 AE 二 DE , AF 二 DF , AD 平分 BAC , AED

11、 AFD ,二 AE 二 AF ,二 AE 二 DE 二 AF = DF , 故四边形AEDF是菱形.1120. (1)可证 OA AC , OB BD , OA=OB .22v AF垂直平分OB ,二OA二AB=OB，故 AOB为等边三角形.(2)在等边 AOB 中,AF 丄 OB ,二 OAE - BAE = 30：,可证明 FCA = DAC , FCA = EAO , / AF =CF , 可证明四边形AFCH是平行四边形，而AF =CF，故四边形AFCH是菱形.21. (1) 在矩形 ABCD 中，AB / CD , a . E=. F, . EBO - FDO，又BO =0D， B

12、OE DOF .(2)当EF与AC垂直时，四边形AECF为菱形.证明： BOE DOF，a EO = FO .又AO=OC , a四边形AECF为平行四边形.又EF丄AC , a四边形AECF为菱形.22. 证明：设AN与ME交于点O，因为AD是RtA ABC斜边BC上的高， 所以.ABD - CAD .又BE，AN分别平分.ABD和.CAD，所以.EAN ABE .所以在RtA ABE中，.AOB = 90：， AME是等腰三角形，AN平分ME，又因为 / ABO =/NBO，OB =OB，所以RtA AOB也Rt NOB，AO =ON，即ME垂直平分 AN，四边形AMNE是 菱形.23.

13、证明四边形MQNP是菱形即可.24. 连结 AC，BD，: ADE 与厶 BCE 都是正三角形，.AE 二 DE，CE 二 BE，AED = BEC =60， AEC = 60DEC 二 DEB 证厶 AEC 也 DEB1(SAS) AC=DB，又 P，Q，M，N 分别为各边中点，得 PQ 二 MN AC，21QM 二 PN BD. PQ=QM = MN = NP .四边形 PQMN 为菱形.225. 设MN与BD交于O，易证MB = MD，再证 DOM也 BON，从而BN =DM，又由BN / DM，可证得四边形BNDM为菱形.26. 易证 AE 二 FE，而且 AD / EF， AEG “AGE AG 二 EA 二 EF 又AG / EF AEFG 为菱形.27. 证明：EF 垂