运动学的两类基本问题(习题课)

1、 人们公认伽利略时代是现代物理的诞生的时期。他留给我们一些重要的发现，但是如果你想一下，虽然这些发现很重要，但它们并不是最重要的遗产，更重要的是他教给我们应当怎样去研究物理学。 杨振宁杨振宁?宇称不守恒宇称不守恒杨米场论（规范场杨米场论（规范场) )杨巴克斯特方程（统计力学）杨巴克斯特方程（统计力学）二二. .已知加速度（或速度）及初始条件，求质点任一已知加速度（或速度）及初始条件，求质点任一时刻的速度和运动方程时刻的速度和运动方程( (积分法）积分法）。)(, )(),0( , )()(, )(),0( , )(0000tttttrtvvrtta 时时时时一一. .已知质点运动方程，求任一时

2、刻的速度、加速度已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度（微分法）（微分法）； ,)t(a,v)t(r;3.4 3.4 运动学的两类基本问题运动学的两类基本问题( (习题课习题课) )（续）（续） 例例4一质点沿半径为一质点沿半径为R的圆周运动，位置与时间的关的圆周运动，位置与时间的关系为系为 。求：。求： SI2120bttvs 解解：（1）由位置与时间的关系式可得由位置与时间的关系式可得;dd0btvtsv （1）任意时刻）任意时刻 t，质点加速度的大小和方向；，质点加速度的大小和方向； （2）什么时刻质点加速度的大小等于）什么时刻质点加速度的大小等于b，这时质点已，这时质点已转了几圈？

3、转了几圈？速率？速率？速度？速度？ btvaRbtvRvandd202 第一类问题第一类问题 22402240221RbbtvRbRbtvaaan na aa Rbbtvaan 20arctgarctg 总加速度与切向加速度之间的夹角：总加速度与切向加速度之间的夹角： bRbbtvRa 22201（2）令）令bvt0 由位置与时间的关系式可得由位置与时间的关系式可得:bvbvtbs2020)(21 可见可见t=v0/b时质点还没有反向转动。转过的圈数为：时质点还没有反向转动。转过的圈数为：2024vsnRRb 第二类问题第二类问题例例5. 5. 已知：已知：质点沿直线运动，质点沿直线运动，00

4、0vvxx:t;)t (aa 求：求：)t (x,)t (v解：解：*tavvtavvtavtavtvatttvvdddddddd000000 *tvxxtvxxtvxtvxtxvtttxx 00000dddddddd0 xxxxvv*xavvxavvxvvtxxvtva000d2dddddddddd202思考思考: :若加速度若加速度 a = =恒量，三个恒量，三个* *式成为什么形式？式成为什么形式？*tavvtd00 *tvxxt 00d xx*xavv0d2202)xx(avvattvxxatvv02022000221 xaa 若：若：用类比方法写出用角量表示的圆周运动公式用类比方法写

5、出用角量表示的圆周运动公式和和 = = 恒量恒量 时的形式时的形式思考:ttd00 tt00d 0d2202 ttvxx00d xxxavv0d2202tavvtd00 )xx(avvattvxxatvv02022000221 )(ttt02022000221 例例6. 火箭竖直向上发射，加速度随时间变化规律如图。火箭竖直向上发射，加速度随时间变化规律如图。求火箭在求火箭在 t=50 s 时燃料用完瞬间的速度和高度。时燃料用完瞬间的速度和高度。20205050101015150 0)sm(-2 a)( t s解：解：写出写出 a (t) 表达式表达式 a)t()t ()t(t502020611

6、020021 -150202000sm475d206110d21 t)t(ttvv或曲线下的面积或曲线下的面积 ttavv00d;h;v0000 初初始始条条件件：高度分两段算：高度分两段算：m7666sm100:s20-1.hvt 0021:s200001 h;vta初初始始条条件件： tttttttvhhtttvv00321010201121d41d41d2120205050101015150 0)(a-2ms)( t sm78916d3200320127666d50205020222.t)tt(.tvhh m7666sm1003206206110:s5020-12.h;vt)t (a 初

7、始条件：初始条件：320032012d3206100d2202022 tttttavvtt例例7. 教材教材56页页3-6已知：已知：x-t 曲线为如图所示抛物线曲线为如图所示抛物线求：求： a-t，v-t 图，运动方程图，运动方程?a) 2解：解：1）质点作何种运动？）质点作何种运动？100tg1145tg0cc tvvav:tv:tbb x-t 曲线为抛物线（二次曲线）曲线为抛物线（二次曲线）常常数数 22ddtxa匀变速直线运动匀变速直线运动 mx stocb451322.5?v) 3tatvv 1c -2sm a sto1 -1sm v sto11?x;ttattvxx 022c022

8、1由由62500520.xx.t 得得：时时 SI21852ttx 4) 4) 运动方程运动方程 mx stocb45132 2.5例例8. 8. 一艘快艇在速率为一艘快艇在速率为 时关闭发动机，其时关闭发动机，其加速度加速度 ，式中，式中 为常数，试证明关闭为常数，试证明关闭发动机后又行驶发动机后又行驶 x 距离时，快艇速率为：距离时，快艇速率为： 0v2kva kkxevv 0证明证明kxvvxevvkxvvxkvvxkvvkvxvvtxxvtva 0002lndddddddddddd0证毕证毕教材教材5757页页3-143-14一一. .运动的绝对性和描述运动的相对性运动的绝对性和描述运

9、动的相对性只有相对确定的参考系才能具体描述物体的运动，只有相对确定的参考系才能具体描述物体的运动，选择的参考系不同，对同一物体运动的描述不相同。选择的参考系不同，对同一物体运动的描述不相同。一个坐标系一个坐标系中的描述中的描述另一个坐标另一个坐标系中的描述系中的描述变换变换二二. .低速低速 下的变换下的变换)cv(分别从分别从 系和系和 系描述系描述质点质点 的运动的运动)xyzo(S )zyxo(S P3.5 3.5 相对运动相对运动COBCABPAPOrrrrr 推广推广COBCABPAPOvvvvv OOOPPOOOOPPOvvv:rrr: 速速度度矢矢量量位位移移矢矢量量 POO x

10、yy x vSS OOOPPOaaa)o,o( 间间只只有有相相对对平平动动时时当当加加速速度度矢矢量量OOOPPOrrr 位位置置矢矢量量OPr POr设设 系相对于系相对于 系沿系沿 方向以速率方向以速率 运动，以运动，以 和和 重合时为计时起点重合时为计时起点SS xuoo zz yy /伽利略伽利略 坐标变换坐标变换ttzzyyutxx zzyyxxvvvvuvv 伽利略伽利略 速度变换速度变换xyzx y z uutSS oo 三三. .变换参考系的运动学意义变换参考系的运动学意义: : 处理问题简便处理问题简便解解1.以岸为参考系，分别写出船和艇的运动方程，以岸为参考系，分别写出船

11、和艇的运动方程，令其坐标相等，得相遇条件。令其坐标相等，得相遇条件。建立如图坐标系建立如图坐标系例一例一.一条船平行于平直海岸航行，离岸距离为一条船平行于平直海岸航行，离岸距离为D，速率为速率为V。一艘快艇从港口出发去拦截这条船，快。一艘快艇从港口出发去拦截这条船，快艇速率艇速率 v V，试证明快艇必须在船驶过海岸线上某，试证明快艇必须在船驶过海岸线上某点以前出发才行，该点离港口的距离为点以前出发才行，该点离港口的距离为:22vVvDx oxxDvV y船船DyVtx 11艇艇 sincos22vtyvtxx 相遇：相遇：2121yyxx sincosvtDvtxVt 即即消去消去 t 得：得

12、： *vDvVx sincos oxxDvV y令令0dd x解出解出 代入代入 * 得得 minx求极值：求极值：AAvBvB思考：思考：以船为参考系，相遇条件是什么？以船为参考系，相遇条件是什么？若若 的延长线过的延长线过 ，则，则 、 相撞。相撞。 BAvAAB解解2.2.以船为参考系，设艇对船的速度为以船为参考系，设艇对船的速度为v Vvv Av BAv ABAwBwABwBAvvvvvvv Vvv 艇出发时：艇出发时：22DDsinx 证证毕毕。得得：由由：22min22vVvDxVvxDD oxDVxvVv 相遇条件相遇条件, 最最小小最最大大时时当当x 有有最最大大值值： ,Vv

13、 Vv msim m oxDxvVv例二例二. .皮球皮球“超常超常”弹跳（演示）弹跳（演示）hmM甲：甲：实验室观察者实验室观察者乙：乙： 上观察者上观察者M已知：皮球从离地面一定高度处自由落下，完全已知：皮球从离地面一定高度处自由落下，完全弹性碰撞，弹性碰撞，跳起的高度之比。跳起的高度之比。求：求：M,m,Mm 地面参考系，以向上为正，由动量、能量守恒：地面参考系，以向上为正，由动量、能量守恒：21mvMvmvMv 22212212121mvMvv )mM( 解解1 1：Mmv vMm2v1v甲甲甲甲+ + +vvmMmMv 31vvmMmMv332 解得：解得：弹跳高度：弹跳高度： 为为

14、 ； 为为9 9mhMh碰撞前碰撞前碰撞后碰撞后弹跳高度：弹跳高度： 为为 ； 为为9 9mhMhMmvv甲甲Mmv3v甲甲mMv2乙乙mMv2乙乙解解2 2：例三例三. .河水自西向东流动，速度为河水自西向东流动，速度为 。一轮船在。一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西水中航行，船相对于河水的航向为北偏西 ，相对于，相对于河水的航速为河水的航速为 。此时风向为由东向西，风。此时风向为由东向西，风速为速为 。试求在船上观察到的烟囱冒出的烟。试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向（设烟离开烟囱后很快就获得与风相同的速缕的飘向（设烟离开烟囱后很快就获得与风相同的速度）。度）。1hkm20

15、1hkm10 301hkm10 解析法：解析法：建立如图所示坐标系，建立如图所示坐标系，由题意可知由题意可知风风地地v船船水水v水地水地v30北北 y x东东o教材教材5757页页3-183-18)(jiv)(iv)(iv111hkm30cos2030sin20hkm10hkm10 船船水水风风地地水水地地根据相对速度公式根据相对速度公式)(j.i)ji(ii )(vvvvvvvv1hkm3171030cos2030sin201010 船船水水水水地地风风地地水水船船地地水水风风地地风风船船烟烟船船风风地地v船船水水v水水地地v30北北 y x东东o.飘飘去去向向南南偏偏西西的的速速率率烟烟以

16、以即即在在船船上上观观察察，30hkm201 北北 yx东东风风船船v-10-17.3o)h(km317101 j.iv烟烟船船3031710arctg)h(km2031710122 .).()v （烟烟船船图解法：图解法：根据相对速度公式，根据相对速度公式，)v()v(vvvvvv船船水水水水地地风风地地水水船船地地水水风风地地风风船船烟烟船船 30hkm201 )(v烟烟船船.飘飘去去的的速速率率向向南南偏偏西西即即在在船船上上观观察察，烟烟以以30hkm201 风风地地v船船水水v水水地地v30北北 东东o风风地地v水水地地v 船船水水v 风风船船v 30 xy练习：练习：一飞机以速度一飞机以速度v0 水平飞行，并相对飞机以水水平飞行，并相对飞机以水平速度平速度v 向前发射炮弹，不计空气阻力和发射对飞机向前发射炮弹，不计空气阻力和发射对飞机速度的影响。则对站在地面上的观察者，