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文档简介

1、精选优质文档-倾情为你奉上3 线性方程组3.1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式)3.1.1 基本概念 1、方程组 称为含n个未知量m个方程的线性方程组, i)倘若不全为零,则该线性方程组称为非齐次线性方程组; ii)若,则该线性方程组就是齐次线性方程组, 这时,我们也把该方程组称为的导出组, (其中不全为零)2、记 则线性方程组(*)又可以表示为矩阵形式 3、又若记 则上述方程游客一写成向量形式 。同时,为了方便,我们记,称为线性方程组(*)的增广矩阵。3.1.2 线性方程组解的判断1、齐次线性方程组,(n=线性方程组中未知量的个数 对于齐次线性方程组,它是一定有解的(至少零就是它

2、的解), i)那么,当时,有唯一零解;ii)当时,又非零解,且线性无关解向量的个数为n-r.2、非齐次线性方程组 3.1.3 线性方程组的解空间1、齐次线性方程组的解空间 (作为线性方程组的一个特殊情形,在根据其次线性方程与非齐次线性方程组解的关系,我们这里首先讨论齐次线性方程组的解空间) 定理:对于数域K上的n元齐次线性方程组的解空间W的维数为 , 其中A是方程组的系数矩阵。那么,当齐次线性方程组 有非零解时,它的每个基础解系所含解向量的数目都等于。2、 非齐次线性方程组的解空间 我们已知线性方程组的解与非齐次线性方程组的解的关系,那么我们可首先求出非齐次线性方程组的一个解(称其为方程组特解

3、);然后在求对应的导出组的解空间(设该解空间的基础解系为),则(*)解空间的维数为n-r,且非齐次线性方程组的每一个解都可以表示为: 我们称其为该非齐次线性方程组(*)的通解.3.2 经典题型解析1、已知方程组无解,试求的取值 解:方程组的增广矩阵(初等行变换不影响线性方程组的解) 由于方程组无解或i)当时,方程组又无穷多解;ii)当时,方程组无解综上可得,易错提示:对方程组有解、无解时的条件把握不牢固;在把增广矩阵化为解提醒矩阵的过程中不仔细导致错误。所以,我们在做题的过程中,一定要善于总结,通过练习找到自己的不足点。对于关于线性方程组解的判定、性质以及解的结构失无必要进行总结的,已做到深刻

4、的理解与领悟。2、设A为n阶方阵,且是的三个线性无关的解向量,则下面哪个是的基础解系 ( ) 解:由的基础解系个数为 又因为是的解,所以四个选项中的向量都是方程组的解,而我们只要验证看其是否线性无关即可,现在我们利用矩阵这里工具来进行求解: 因为:所以,向量组线性无关,而其余三个都是线性相关的,故选A。评析:本题解法颇多,只要验证选项中的向量组线性无关即可,但上述方法是较为简单的方法,且不易出错;同时,我们可以看到,在解决一些有关向量组和线性方程组问题时,有时把矩阵这一数学工具拿来运用也未尝不是一种简便!3、设是齐次线性方程组的一个基础解系。而,其中t1,t2是实数,问当t1,t2满足什么关系

5、时,也是方程组的基础解系?解:显然,为的解,下证在线性无关时,t1,t2应满足的关系。设由线性无关知由于线性无关,此方程组只有零解,即故当时,即s为偶数时,s为奇数时,这时为的一个基础解系。4、设齐次线性方程组,试问a为何值时,该方程组有非零解,并求其解。解:方法一对系数矩阵进行初等行变换(1)若,方程组有非零解,其同解方程为故其基础解系为,所以方程组的通解为(为任意常数)(2)若,对矩阵B继续作初等行变换,有当时,方程组有非零解,其同解方程为得基础解系为所以通解为 (k为任意常数)方法二 由于系数行列式故当或时,方程组有非零解。(1)当时,有故方程组的同解方程为由此行基础解系为,通解为(为任

6、意常数)(2) 当时,对系数矩阵进行初等行变换,有故方程组的同解方程为可得基础解系为,故通解为(k为任意常数)5、求下述数域K上的非齐次线性方程组的解空间 解:第一步,求解方程组的特解。为此,先求出它的一般解公式,所以,方程组的一般解为 (其中都是自由变量)由式可以推出方程组的一特解: 第二步,求导出组的一个基础解系。 由于原 非齐次线性方程组的系数矩阵与其导出组的系数矩阵相同,因此,我们只要把原方程组一般解公式的常数项去掉,就可得到导出组的一般解。 (其中都是自由变量)从而得到导出组的一个基础解系 第三步,写出非齐次线性方程组的解空间 评析:本题写出了求解一般非齐次线性方程组的最一般的解法及

7、其步骤,作为线性方程组的最一般解法,我们是必须掌握的。6、已知向量, 是方程组的三个解,求该方程组的解。解:即方程组的系数矩阵为A,则i) 由已知条件知:时相应的齐次线性方程组的两个线性无关的解向量 由 又系数矩阵A有二阶子式 系数矩阵A的秩r(A)因此,由*)与*)ii)由i) 齐次线性方程组基础解系由个解向量构成,即是齐次线性方程组的一基础解系所以,该线性方程组得通解为:易错提示:按常规思路,如果把三个解代入方程组先求其参数,再求通解,则计算是非常繁琐的,在限定时间内是很难达到很好的效果,有时这种方法也是行不通的;而倘若我们对方程组的性质与其解的结构都能够很好的理解,那么当遇到相关类型的题

8、目时也就不至于困惑了。7、问k为何值时,线性方程组,有唯一解,无解,无穷多解?并且,当有解时求出其所有解。解:记线性方程组的系数矩阵为A,即,则 ,i) 当,即且时,方程组有唯一解,我们用克莱姆法则求之,。ii) 当时,方程组的增广矩阵,因此,方程组无解;iii) 当时,方程组的增广矩阵 ,可知方程组有无穷多解,于是 ,令,则通解为,亦即。点评:本题属于含有参数变量的线性方程组问题,这类问题一直都是本章的一个重要考察点,务必要好好把握。8、设有两个4元齐次线性方程组(I);(II)(1)求线性方程(I)的基础解系;(2)试问方程组(I)和(II)是否有非零的公共解?若有,则求出所有的非零公共解;若没有,则说明理由。解:(1)(I)的基础解系为,(2)关于共公解有下列方法:方法一 把(I)(II)联立起来直接求解,令 由,基础解系为,从而(I),(II)的全部公共解为,(k为任意实数)方法二 通过(I)与(II)各自的通解,寻找公共解。可求得(II)的基础解系为,则,分别为(I),(II)的通解。令其相等,即有 由此得 比较得故公共解为 方法三 把(I)的通解代入(II)中,在

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