第一章 有限差分法

1、123 4 ( )()( )f xf xhf x0( )( )limxdff xfxdxx ( )()( )( )f xf xhf xfxxh5 ( )()( )dff xf xhf xdxxh( )( )()dff xf xf xhdxxh( )()()2dff xf xhf xhdxxh6 200001()()()()2!f xhf xhfxh fx200001()()()()2!f xhf xhfxh fx300002()()2()()3!f xhf xhhfxh fx7 20()/2!h fx302()/3!h fx22211()( )( )()()2 ( )()xxxd fdfdfd

2、xxdxdxf xhf xf xf xhhhhf xhf xf xhh前向差分前向差分8 (, , )( , , )uu xh y zu x y zxh222(, , )2 ( , , )(, , )uu xh y zu x y zu xh y zxh922222( , )( , )x yF x yxy10 i-1ijj+1j-1i+1013421h2h3h4h012342100120303()()O hxhO hxh22231011122000112!3!hhhxxx11 222103013132001()()()()2!hhhhxx 22/ x222313210hhhh 221030310

3、1300131 313()()()()()hhxhhhh hh 2242024024240()()()hhyh h hh12 222103013132001()()()()2!hhhhxx 31hh21030310130222131 3130()()()()22()hhxhhhh hh 1321032202xh13hhh21,1,1,1,4ijiji ji ji ji jh F1,1,1,1,40ijiji ji ji j14 i-1ijj+1j-1i+1013421h2h3h4h01234abL2134204aaaaaah F1342040bbbbb1a3b (0,2,4)aibiii15

4、ababnn1313aaabbb2012341224 111baaKKh FKKK1a3b/abK12:()sBoundary n DD16 4a2134204aaaaaah F1342040bbbbb1a3b (0)aibiiii-1ijj+1j-1i+1013421h2h3h4h01234abLNM2b4a17 ababaaMaNbbMbNnni-1ijj+1j-1i+1013421abLNM142322aaaMbbbN231422aaaNbbbM18 1a3b2b4a201423122()()4 111bbaaaKKh FKKK/abK19n第一类边界条件的差分离散化第一类边界条件的差分

5、离散化 n应用应用多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式，结点结点1、3的位函数值和可通过的位函数值和可通过 表示为表示为以以h和和h1分别与以上两式分别与以上两式相乘且相加，削去一阶相乘且相加，削去一阶偏导项，然偏导项，然后截断与后截断与h的二次项，便得到关于结点的二次项，便得到关于结点0的二阶偏导数的差的二阶偏导数的差分格式分格式01342034 hD12 1h 2hL02223101112200022231022000112!3!112!3!hhhxxxhhhxxx20n同理，在同理，在0结点处关于结点处关于y方向的二阶偏导的差分格式方向的二阶偏导的差分格式n代入给定的泊松方程，得到通常代

6、入给定的泊松方程，得到通常第一类边界条件第一类边界条件的差分格的差分格式式 2111302110222hhhhxhhhh2222402220222hhhhyhhhh2123401111111(1)(1)112h F12/ ,/hhhh21n第三类边界条件第三类边界条件的差分离散化的差分离散化 n第一种情况，当结点第一种情况，当结点刚好着落刚好着落于边界线于边界线L上时，这还取决于边上时，这还取决于边界结点处的界结点处的外法线与网格线外法线与网格线重合，重合， 03 0 3 hDLnxy0301020( )( )f rfrh12( , )( , )Sf r tfr tn22n外法线与网格线不重合

7、情况，边界结点上的外向法向方向外法线与网格线不重合情况，边界结点上的外向法向方向与水平夹角为与水平夹角为，其法向导数显然是在，其法向导数显然是在x和和y方向的导数在方向的导数在法向的法向的投影组合投影组合， 03 0 hDLn2 xy000302cossincossinnxyhh 300201020( )cossin( )f rfrhh23n第二种情况，当结点不落于边界线第二种情况，当结点不落于边界线L上时，只需要上时，只需要引入引入于于结点结点0相关的边界结点相关的边界结点O，点的外方向，点的外方向n作为结点作为结点0处的处的“外方向外方向n”，且，且近似地认为近似地认为边界条件中给定的函数

8、和均在边界条件中给定的函数和均在O点上的取值。这样，此种情况下的点上的取值。这样，此种情况下的第三类边界条件第三类边界条件的离的离散格式于式相似，散格式于式相似， o3 0 hDLn2 xyo300201020( )cossin( )f rf rhh24n第二类边界条件第二类边界条件的差分离散化的差分离散化 n第二类齐次边界条件为第三类边界条件的特殊情况，即。第二类齐次边界条件为第三类边界条件的特殊情况，即。我们这里讨论最常见的一种情况我们这里讨论最常见的一种情况 n上面也是上面也是对称边界条件对称边界条件的离散公式的离散公式12( )( )0f rfr/0n 0134201234LhD201

9、24124h F132526离 散 化 场 域 （ 网 格 剖 分 ）电 磁 场 问 题离 散 化 方 程 （ 差 分 原 理 ）计 算 方 程 组 （ 迭 代 法 ）差 分 方 程 组 （ 代 数 方 程 组 ）离 散 解插 值 计 算 其 他 值 或 可 视 化 显 示 结 果前 处 理数 据 计 算后 处 理27 i-1ijj+1j-1i+1(i,j)(i,j-1)(i,j+1)(i+1,j)(i-1,j)(i-1,j-1)(i-1,j+1)(i+1,j-1)(i+1,j+1)i increasej increase ( , )i j2821,11,1,2,1,121,1,1,1,21,

10、11,1,2,1,1 44 i4 ijiji ji ji ji jijiji ji ji ji jijiji ji ji ji jh Fh Fjh F ncrease21,11,1,121,1,2,1,1,1,21,1112,1,1, 44 4i ji ji ji ji ji jijiji jijiji jii jijiji jji jh Fh Fh F increase j 29 . 0 1 0 0 0 . 0 1 -4 1 0 . . . 0 1 0 . . 0 1 0 0 . . 0 1 -4 1 0 . . 0 0 1 0 . . 0 1 0 . . . 0 1 -4 1 0 . 0

11、0 0 1 0 . 1,11,1,1,1,11,11,1,1 ijijiji ji ji jijijij= . . . . . . . . . . . .21,121,21,12,12,2,121,121,21,1 ijijiji ji ji jijijijh Fh Fh Fh Fh Fh Fh Fh Fh Fiincreasej increasei*Ny+j+1i*Ny+ji*Ny+j-1i*Ny+j(i+1)*Ny+j(i-1)*Ny+ji*Ny+j-1i*Ny+j+1(i+1)*Ny+j-1(i+1)*Ny+j+1(i-1)*Ny+j-1(i-1)*Ny+j+13031 21,1,1,1

12、,12,1,11,1,414ijiji ji ji ji jnnnnni jiji jiji ji jh Fh F321112,1,11,1,14nnnnni jiji jiji ji jh F33 1, nnni ji ji ji j 112,1,11,1,14nnnni jiji jiji ji jh F112,1,11,1,44nnnnnni jiji jiji ji ji jh F3421 sin()bL22122bLm35 134222xyxyxyhh Eeeee134222mmmmmmmxyxyxyhhHeeee134222zzxyxyAAAAAAyxhh BAeeee36SKd PS1( )naviiKPi S 1( )naviiKPi SPUU37 Dxy0 a b 1102038 222200000000 ( , )010 xyx ay bx ay byx ax yDxy 39 Dij0 a b11020hh1,1,1,1,40ijiji ji ji j40 111,1,11,1,44nnnnnnni ji jiji jiji ji j0,0,00 ,011,0 10qpqppqand41 42 设 定 边 值和 误