江苏专转本高等数学 第八章 第七节 方向导数与梯度

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1三、梯度的概念一、问题的提出二、方向导数的定义四、小结 思考题第七节 方向导数与梯度机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2一、问题的提出【回顾】【回顾】一元函数一元函数)(xfy 0 dxdy0 dxdy函数值在点函数值在点x0处沿处沿x轴方向增大轴方向增大二元函数二元函数),(yxfz 0 xz0 xz函数值在点函数值在点P(x0 , y0)处沿处沿x轴方向增大轴方向增大函数值在点函数值在点P(x0 , y0)处沿处沿x轴方向减小轴方向减小函数值在点函数值在点x0处沿处沿x轴方向减小轴方向减小机动机动 目录目录

2、 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束30 yz函数值在点函数值在点P(x0 , y0)处沿处沿y轴方向增大轴方向增大0 yz函数值在点函数值在点P(x0 , y0)处沿处沿y轴方向减小轴方向减小二元函数二元函数),(yxfz 【问题】【问题】二元函数二元函数 在点在点P(x0 , y0)处沿其处沿其它射线方向的变化率如何？它射线方向的变化率如何？),(yxfz ),(00yxP),(yxfz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束4 讨论函数讨论函数 在一点在一点P 沿某一方沿某一方向的变化率问题向的变化率问题),(yxfz 二、方向导数的定义（如图）（如图） l 的参

3、数方程的参数方程)0( coscos )cos,(cos),(00000 ttyytxxleyxPxoyll 且且同向的单位向量同向的单位向量是与是与点的一射线，点的一射线，为始为始面上以面上以是是设设机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束5)( , )cos,cos()( ),(),(0000000PUPltytxPPUyxPyxfz 上上另另一一点点为为内内有有定定义义，的的某某邻邻域域在在点点设设 ),()cos,cos(0000yxftytxfz tPP 0,),()cos,cos( 00000tyxftytxfPPz 考考虑虑时时的的极极限限是是否否存存在在？即即

4、趋趋于于沿沿当当)0(0 tPlP记为记为tyxftytxflftyx),()cos,cos(lim00000),(00 1.【定义】定义】.,|),()cos,cos(00000000的的方方向向导导数数点点沿沿方方向向在在则则称称这这极极限限为为函函数数若若此此比比的的极极限限存存在在时时趋趋于于沿沿着着当当之之比比值值间间的的距距离离到到与与函函数数增增量量lPPlPPPPPyxftytxf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束6 )0 , 1( ),(的的方方向向导导数数为为轴轴正正向向沿沿依依定定义义， iexyxfl的的偏偏导导数数存存在在在在点点若若0),(

5、 Pyxf)0cos, 1cos ( 此此时时tyxftytxflftyx),()cos,cos(lim00000),(00 ),(),(lim00000),(00yxfyyxxflfyx ) )()( (22yx (2)tyxfytxflfotyx),(),(lim0000),(00 ),(00yxfx 【说明】【说明】(1)对方向导数对方向导数, ,以下两种定义方式等价以下两种定义方式等价 )0 , 1( ),(的的方方向向导导数数为为轴轴负负向向沿沿 iexyxfl)0cos, 1cos( 此时此时tyxfytxflfotyx ),(),(lim0000),(00),(00yxfx 机动

6、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束7),(),( 00000yxfyxfyPyy 、分分别别为为数数轴轴正正向向、负负向向的的方方向向导导点点沿沿同同理理，在在（自己推导）（自己推导）综上综上可知：可知：若某点偏导数存在，能保证该点若某点偏导数存在，能保证该点沿沿x、y 轴的四个轴的四个射线方向射线方向的方向导数分别的方向导数分别存在存在. .其其它方向的方向导数是否存在它方向的方向导数是否存在不能保证不能保证. . )3(、而而偏偏导导数数未未必必存存在在在在但但反反之之，若若方方向向导导数数存存不不存存在在，而而偏偏导导数数方方向向导导数数方方向向的的沿沿在在顶顶点点圆

7、圆锥锥面面)0,0()0,0(22 1)0 , 0( xzlzilOyxz 【反例】【反例】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束82. 【方向导数的存在及计算方向导数的存在及计算】方向导数何时存在、以及与偏导数有何关系，有如下定理方向导数何时存在、以及与偏导数有何关系，有如下定理【证明】【证明】由假设由假设)()(),(),( ),(),(2200000000yxoyyxfxyxfyxfyyxxfzyx tyxtytx 22)()(,cos,cos 由由于于 cos),(cos),(),()cos,cos(lim000000000 yxfyxftyxftytxfyxt则则

8、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束9(2)【推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义】tzyxftztytxflft),()cos,cos,cos(lim0 或或 ),(),(lim0zyxfzzyyxxflf .coscoscos zfyfxflf 同理当函数在该点同理当函数在该点可微可微时，函数在该点沿任时，函数在该点沿任意方向意方向 的方向导数都的方向导数都存在且有：存在且有：)cos,cos,(cos le )()()(222zyx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束10【解】【解】; 1)0, 1(2)0, 1( y

9、exz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz22)21(2211)0, 1( lz)21,21( le机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束11. 1)2,2()(122222222方向导数方向导数在这点的内法线方向的在这点的内法线方向的处沿曲线处沿曲线在点在点求函数求函数 byaxbabyaxz)0, 0 ba（ ).2,2 )2,212222bababyax （方方向向向向量量为为处处的的内内法法线线（在在点点曲曲线线22222cosbaa .222cos,22bab 【例【例 2】教材习题】教材习题8-7 P51 第第3题题 【思考思考】取正号可否取正号可否?

10、 ?【解】【解】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束12,2222)2,2(aaxxzaxba 又又,2222)2,2(bbyyzbyba )2,2(balz cos)2,2( baxz cos)2,2( bayz.222baab 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束13【解】【解】 令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故),(zyxFFFn ),2, 6, 4( ,142264222 n方向余弦为方向余弦为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束14,142cos

11、 ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束15三、梯度的概念三、梯度的概念?最最快快沿沿哪哪一一方方向向增增加加的的速速度度函函数数在在点点 P【问题】【问题】实例实例一块长方形的金属板，四个顶点的坐标分别是一块长方形的金属板，四个顶点的坐标分别是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3) 在坐标原点处有一个火焰，它使金属在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点

12、处的温度与该点到原点的距离板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？行才能最快到达较凉快的地点？【问题的实质问题的实质】应沿由热变冷变化最骤烈的方向应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即（即梯度梯度方向）爬行方向）爬行xyo机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束16【注】【注】梯度是定义域所在空间（坐标系）内梯度是定义域所在空间（坐标系）内 的一个向量的一个向量. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束17 coscosy

13、fxflf leyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 可可微微在在点点若若0),(Pyxf)cos,(cos),( yfxf其中其中), ),(leyxgradf 1cos ，时时当当 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束18【结论】【结论】函数在某点的梯度是个向量，它的方向是函函数在某点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值的模等于方向导数的最大值梯度的模为梯度的模为22)()(),(yfxfyxgradf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结

14、束结束19在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面),(yxfz 曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等值线等值线),(yxgradf梯度为等值线上的法向量梯度为等值线上的法向量P2. 【梯度的几何意义梯度的几何意义】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束20事实上，若事实上，若yxff ,不同时为零，则等值线不同时为零，则等值线cyxf ),(：处的一个单位法向量为处的一个单位法向量为从而点从而点),(000yxP),(2200),(1yxyx

15、yxnffffe 可视为可视为0),(),( CyxfyxF则法向量为则法向量为),(),(yxyxffFFn 与梯度与梯度 方向相同方向相同jyfixfyxgradf ),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束21等值线的画法等值线的画法播放播放机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束22图图形形及及其其等等高高线线图图形形函函数数xyzsin 【例如】【例如】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束23【梯度与等值线的关系】【梯度与等值线的关系】 （即梯度的几何意义）（即梯度的几何意义）向向导导数数的的方方于于函函数数在在这这个个法

16、法线线方方向向模模等等高高的的等等值值线线，而而梯梯度度的的值值较较值值较较低低的的等等值值线线指指向向数数从从数数线线的的一一个个方方向向相相同同，且且在在这这点点的的法法值值线线的的等等的的梯梯度度的的方方向向与与点点在在点点函函数数cyxfPyxPyxfz ),(),(),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束24.),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向的方向导数取得最大值，其模为方向导其方向的方向导数取得最大值，其模为方向导数的最大值数的最大值. .梯度的概念可以推广到三元函数梯度的

17、概念可以推广到三元函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束25机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束26【解】【解】 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束271、方向导数的概念方向导数的概念2、梯度的概念梯度的概念3、方向导数与梯度的关系方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）

18、四、小结四、小结 . ),( 最最快快的的方方向向在在这这点点增增长长梯梯度度的的方方向向就就是是函函数数yxf 即该点方向导数取最大值的方向即该点方向导数取最大值的方向. .lyxeyxgradflf ),(00),(00),(00yxlf cos),(cos),(0000yxfyxfyx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束28【思考题】【思考题】xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 【思考题解答】【思考题解答】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束29 )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 的的方方向向导导数数沿沿任任意意方方向向),(yxl 返回返回机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束30等值线的画法等值线的画法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束31等值线的画法等值线的画法机动机动 目录目录