用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果写出它的概率函 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果写出它的概率函数和分布函

1、1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数.解: 假设=1对应于"正面朝上",=0对应于反面朝上. 则P(=0)=P(=1)=0.5 . 其分布函数为2. 如果服从0-1分布, 又知取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出的分布律和分布函数.解: 根据题意有P(=1)=2P(=0)(1)并由概率分布的性质知P(=0)+P(=1)=1(2)将(1)代入(2)得， 3P(=0)=1, 即P(=0)=1/3再由(1)式得，P(=1)=2/3因此分布律由下表所示01P1/32/3而分布函数为3. 如果的概率函数为P=a=1, 则称服从退化分布. 写出它的

2、分布函数F(x), 画出F(x)的图形.解: , 它的图形为4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数.解：设取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有P(=1)=2P(=2)(1)P(=3)=P(=2)/2(2)由概率论性质可知，P(=1)+P(=2)+P(=3)=1(3)(1),(2)代入(3)得: 2P(=2)+P(=2)+P(=2)/2=1解得P(=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得，P(=1)=4/7, P(=3)=1/7则概率函数为，

3、或列表如下:123P4/72/71/75. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个中的次品数的分布律.解: 基本事件总数为, 有利于事件=i(i=0,1,2,3,4)的基本事件数为, 则01234P0.28170.46960.21670.0310.0016. 一批产品包括10件正品, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数的概率函数.解: 每次抽到正品的概率相同, 均为p=10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率q=1-p=0.2308则服从相应的几何分布, 即有7. 上题中如果每次取出一

4、件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数的分布律.解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有3件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品已经全部代换为正品, 因此必然抽到正品, 这样的取值为1,2,3,4.不难算出,的分布律如下表所示:1234P0.76920.19530.03280.00278. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p, 当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间生产的合格品数的概率函数.解: 事件=i说明生产了i次正品后第i+1次出现废品, 这是i+1个独立事件的交(1次发生i次不发生, 因此有P(=i)=p(1-p)i,

5、(i=0,1,2,)9. 已知随机变量只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为, 确定常数c并计算P<1|0.解: 根据概率函数的性质有即， 得设事件A为<1, B为0, (注: 如果熟练也可以不这样设)，则10. 写出第4题及第9题中各随机变量的分布函数.解: 第4题:第9题:当x<-1时: F(x)=P(x)=0当-1x<0时: F(x)=P(x)=P(=-1)=当0x<1时: F(x)=P(x)=P(=-1)+P(=0)=当1x<2时: F(x)=P(x)=P(=-1)+P(=0)+P(=1)=当x2时: F(x)=P(x)=1综上所述, 最后得

6、:11. 已知, 求的分布函数F(x), 画出F(x)的图形.解: 当x<0时: F(x)=0;当0x<1时: 当x1时: F(x)=1综上所述, 最后得 图形为  12. 已知, 求P0.5; P(=0.5);F(x).解: ,因为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以P=0.5=0,求F(x): 当x<0时, F(x)=0当0x<1时, 当x1时, F(x)=1综上所述, 最后得:13. 某型号电子管, 其寿命(以小时计)为一随机变量, 概率密度, 某一个电子设备内配有3个这样的电子管, 求电子管使用150小时都不需要更换的概率.解: 先求一个

7、电子管使用150小时以上的概率P(150)为:则3个这样的电子管构成贝努里独立试验概型, 试验三次发生三次的概率为14. 设连续型随机变量的分布函数为: 求系数A; P(0.3<<0.7); 概率密度(x).解: 因是连续型随机变量, 因此F(x)也必是连续曲线, 则其在第二段(0,1)区间的曲线必能和第三段(1,+)的曲线接上, 则必有A×12=1, 即A=1. 则分布函数为P(0.3<<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4概率密度(x)为：15. 服从柯西分布的随机变量的分布函数是F(x)=A+B arctg

8、x, 求常数A,B;P|<1以及概率密度(x).解: 由F(-)=0, 得A+Barctg(-)=(1)再由F(+)=1, 得(2)综和(1),(2)两式解得 即16. 服从拉普拉斯分布的随机变量的概率密度, 求系数A及分布函数F(x).解: 这实际上是一个分段函数, (x)可重新写为 根据性质, 又因(x)为偶函数, 因此有, 则有A=1/2因此. 求分布函数F(x).当x<0时, 有当x0时, 有综上所述, 最后得，17. 已知, 计算P0.2|0.1<0.5解: 设事件A=0.2, B=0.1<0.5, 则要计算的是条件概率P(A|B), 而, 而事件AB=0.2

9、0.1<0.5=0.1<0.2因此有最后得，18. 已知, 确定常数c.解: 首先证明普阿松广义积分, 因为函数并不存在原函数, 因此需要一技巧. 令, 则作极坐标代换, 令, 则积分区间为全平面, 即从0积到2, r从0积到+, 且, 因此有, 所以。现确定常数c, 由性质,得19. 已知, 求常数c及Pa-1<a+1.解: 由性质得，解得 , 因此有 则20. 已知服从区间0,1上的均匀分布, 求的函数=3+1的概率分布.解: 根据题意知的概率密度(x)为 则的分布函数为对其求导得的概率密度与的概率密度间的关系为即服从在区间1,4上的均匀分布.21. 已知, , 求的概率

10、密度.解: 求的分布函数F(x)为因ex总大于0, 而当x大于0时F(x)为因此有 则的概率密度为其分布函数的求导:22. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中几炮.解: 设为射击10炮命中的炮数, 则B(10,0.7), 命中3炮的概率为0.0090至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为0.9984因np+p=10×0.7+0.7=7.7不是整数, 因此最可能命中7.7=7炮.23. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率.解: 设为10件产品中的废品数,

11、则B(10,0.01), 则废品数不超过2个的概率为0.999924. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率.解: 设每时刻机床开动的数目为, 则B(20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为个单位, 则=15, 因此 25. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不大于0.15的概率.解: 设这20个产品中的废品数为, 则B(20,0.1), 假设这20个产品中的废品率为, 则=/20. 因此=0.867

12、26. 生产某种产品的废品率为0.1, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2件废品, 问这20件中, 废品不少于3件的概率.解: 设为这20件产品中的废品数, 则B(20,0.1), 又通过检查已经知道定不少于2件的条件, 则要求的是条件概率 因事件, 因此 ， 因此 27. 抛掷4颗骰子, 为出现1点的骰子数目, 求的概率分布, 分布函数, 以及出现1点的骰子数目的最可能值.解: 因掷一次骰子出现一点的概率为1/6, 则B(4,1/6), 因此有或者算出具体的值如下所示：01234P0.48230.38580.11570.01540.0008从分布表可以看出最可能值为0, 或者np

13、+p=(4/6)+1/6=5/6小于1且不为整数, 因此最可能值为5/6=0.28. 某柜台上有4个售货员, 并预备了两个台秤, 若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤, 求一天10小时内, 平均有多少时间台秤不够用.解: 每个时刻构成一n=4的贝努里试验, 且p=15/60=0.25, 因此, 设为每个时刻要用秤的售货员数, 则B(4, 0.25), 当>2时, 台秤不够用. 因此每时刻台秤不够用的概率为0.0508因此10个小时内平均有0.0508×10=0.508个小时台秤不够用. 29. 已知试验的成功率为p, 进行4重贝努里试验, 计算在没有全部失

14、败的情况下, 试验成功不止一次的概率.解: 设为4次试验中的成功数, 则B(4,p), 事件"没有全部失败"即事件>0, 而事件"试验成功不止一次"即事件>1, 因此要求的是条件概率P>1|>0, 又因事件>1被事件>0包含, 因此这两个事件的交仍然是>1, 因此其中q=1-p 30. 服从参数为2,p的二项分布, 已知P(1)=5/9, 那么成功率为p的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少?解: 因B(2,p), 则必有, 解得则假设为成功率为1/3的4重贝努里试验的成功次数, B(4,1/3)

15、, 则 31. 一批产品20个中有5个废品, 任意抽取4个, 求废品数不多于2个的概率解: 设为抽取4个中的废品数, 则服从超几何分布, 且有0.96832. 如果产品是大批的, 从中抽取的数目不大时, 则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算. 试将下例用两个公式计算, 并比较其结果. 产品的废品率为0.1, 从1000个产品中任意抽取3个, 求废品数为1的概率.解: 设任抽3个中的废品数为, 则服从超几何分布, 废品数为0.1×1000=1000.2435，而如果用二项分布近似计算, n=3, p=0.1, B(3,0.1)0.2430，近似误差为0.0005, 是非常

16、准确的.33. 从一副朴克牌(52张)中发出5张, 求其中黑桃张数的概率分布.解: 设为发出的5张中黑桃的张数, 则服从超几何分布, 则则按上式计算出概率分布如下表所示:012345P0.22150.41140.27430.08150.01070.0005 34. 从大批发芽率为0.8的种子中, 任取10粒, 求发芽粒数不小于8粒的概率.解: 设为10粒种子中发芽的粒数, 则服从超几何分布, 但可以用二项分布近似, 其中p=0.8, n=10, 则=0.677835. 一批产品的废品率为0.001, 用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率, 以及不超过2件的概率.解: 设为

17、800件产品中的废品数, 则服从超几何分布, 可以用二项分布近似, 则B(800, 0.001), 而因为试验次数很大废品率则很小, 可以用普阿松分布近似, 参数为=np=800×0.001=0.8  36. 某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布, 平均一件上有0.8个疵点, 若规定疵点数不超过1个为一等品, 价值10元, 疵点数大于1不多于4为二等品, 价值8元, 4个以上为废品, 求产品为废品的概率以及产品的平均价值.解: 设为产品表面上的疵点数, 则服从普哇松分布, =0.8, 设为产品的价值, 是的函数. 则产品为废品的概率为0.80880.1898则产品的平均价值

18、为E = 10×P=10+8×P=8=10×0.8088+8×0.1898=9.6064(元)37. 一个合订本共100页, 平均每页上有两个印刷错误, 假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布, 计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率.解: 设为每页上的印刷错误数目, 则服从普哇松分布, =2, 则1页印刷错误都不超过4个的概率为0.9473而100页上的印刷错误都不超过4个的概率为0.00445438. N(0,1), 0(x)是它的分布函数, 0(x)是它的概率密度, 0(0), 0(0), P(=0)各是什么值?解: 因有, , 因此0(x

19、)为偶函数, 由对称性可知0(0)=0.5, 并有, 因为连续型随机变量, 取任何值的概率都为0, 即P(=0)=0. 39. 求出19题中的电子管在使用500小时没坏的条件下, 还可以继续使用100小时而不坏的概率?解: 要求的概率为P(>600|>500), 因此40. 若服从具有n个自由度的2-分布, 证明的概率密度为 称此分为为具有n个自由度的-分布证: 设, 则因的概率密度函数为的分布函数为对两边求导得41. N(0,1), 求P0, P|<3, P0<5, P>3, P-1<<3解: 根据的对称性质及查表得:P0=1-0(0)=0