理想和商环定义的教学内容设计

1、文章编号：X080011理想和商环定义的教学内容设计黑龙省新世纪教育教学改革工程项目资助; 黑龙江大学新世纪教育教学改革工程项目资助(07CB079)。 张显 生玉秋 曹重光 摘要：给出了理想和商环定义的教学内容设计, 这不同于目前流行的近世代数教材. 关键词： 理想 商环 环 商群 近世代数(又名抽象代数)是数学与应用数学及相关专业的一门重要的专业课程， 是代数学方向的一门基础课程。近世代数是现代数学的重要基础，在计算机科学、信息科学、近代物理与近代化学等方面有广泛的应用，是从事现代科学技术人员所必需的数学基础3。然而，近世代数是一门比较抽象的学科，不少人特别是初学者在解题时常感困难5。究其

2、原因，主要是对 近世代数的概念理解的不够深刻，甚至只是背下来了， 对不同概念间的本质区别和联系并不是很清楚，因而 做好课前的准备、精心设计教学内容的重要性是不言而喻的。在教学中， 阐明教材中的概念、公式和定理的提出和发展过程，使学生对基本理论的历史和现状有较清楚的认识，无论对于他们学习积极性的调动，还是对他们理解程度的提高都有重要作用。本文给出理想和商环定义的教学内容设计，这不同于目前流行的近世代数教材，例如 1-3，6，7。从1920年德国数学家诺特引入“左模"、“右模"的概念, 到1926年诺特建立了一整套现代数学中的“环"和“理想"的系统理论, 从

3、此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布, 进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构, 完成了古典代数到抽象代数的本质的转变4。设是环的子环, 能被看作是的加法子群, 并且是不变子群。则由商群理论我们可以说(加法)群。 一个自然的问题是：问题 1 能否补充定义上“乘法" 使得成为环? 由商群理论知上的加法是被定义为 (1)这启发我们能否尝试定义上“乘法" 如下: (2)为了展示(2)中的定义是否能肯定地回答上面的问题, 首先看下面的命题。 命题 1 设是环的子环, 若式(2)定义了上的一个二元运算, 则关于式(1)和 式(2)定义的两种运算构成环。

4、证明 对于任意的, 易见 又由于关于式(1)定义的加法构成加群, 故关于式(1)和 式(2)定义的两种运算构成环。 这个命题表明上面的问题可以简化为问题 2 式(2)是否定义了上的一个二元运算, 即是否下面的蕴含关系成立? (3)然而下面的两个例子告诉我们有时式(2)定义了上的一个二元运算, 有时(2) 不能定义上的二元运算。 例 1 设是偶数环, 则是整数环的子环。 易见, 并且 式(2)定义了上的一个二元运算。 例 2 设是数域, , 则是的子环。 取中的元素 则商群中的元素满足, 于是 从而式(3)不成立。故式(2)不能定义上的一个二元运算。因而, 研究式(2)定义了上的一个二元运算的充

5、要条件是必要的。 命题 2 设是环的子环, 则式(2)定义了上的一个二元运算(即(3)成立)的充要条件是 (4)证明 (必要性) 同理。 (充分性) 注: 7介绍了命题2的充分性。 定义 1 设是环的子环, 若(4)成立, 则称是的理想。 例 3 设是环, 则是的理想(称为零理想), 也是的理想(称为单位理想)。 统称这两个理想为平凡理想。 例 4 设是任意的整数, 则是的理想。 例 5 设是域, 则是的理想。推论 1 除环只有平凡理想(称只有平凡理想的环为单环)。证明 设是除环的一个非零理想, 则至少含中的一个非零元, 由理想的定义知, 故只有平凡理想。推论 2 (1)设是环的子环, 则商群

6、是环的充要条件是(4)成立。 定义 2 设是环的理想, 称本节中定义的环为环模的商环(剩余类环)。 若定义映射如下: 则易见是环满同态映射, 称其为自然同态。参考文献：1 冯克勤, 李尚志, 查建国, 章璞. 近世代数导论M. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2002.2 韩士安, 林磊. 近世代数M. 北京: 科学出版社, 2004.。3 胡冠章.应用近世代数(第2版)M. 北京: 清华大学出版社, 2002.5 杨子胥, 宋宝和. 近世代数习题解M. 山东: 山东科学技术出版社, 2005.6 张禾瑞.近世代数基础(修订本)M.北京: 高等教育出版社, 1978.7 朱平天, 李伯葓. 近世代数M. 北京: 科学出版社, 2001. (作者单位：黑龙江大学数学科学学院)作者简介: 张显(1