第八章多元函数微分法及其应用

1、第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。教学难点：计算多元函数的极限。教学内容：一、 区域1 邻域设是平面上的一个点，是某一正数。与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，即=，也就是= 。在几何上，就是平面上以点为中心、为半径的圆内部的点的全体。2 区域设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如果存在点的某一邻域，则称为的内点。显然，的内点属于。如果的点都是内点，则

2、称为开集。例如，集合中每个点都是1的内点，因此1为开集。如果点的任一邻域内既有属于的点，也有不属于的点（点本身可以属于，也可以不属于），则称为的边界点。的边界点的全体称为的边界。例如上例中，1的边界是圆周和 =4。设D是点集。如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D，则称点集D是连通的。连通的开集称为区域或开区域。例如，及都是区域。开区域连同它的边界一起所构成的点集，称为闭区域，例如0及14都是闭区域。对于平面点集,如果存在某一正数，使得，其中是原点坐标，则称为有界点集，否则称为无界点集。例如，14是有界闭区域，>0是无界开区域。二、多元函数概念在很多自然现象以及

3、实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：例1 圆柱体的体积V和它的底半径、高之间具有关系 。这里，当、在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定。例2 一定量的理想气体的压强、体积和绝对温度之间具有关系 =，其中为常数。这里，当、在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定。定义1 设是平面上的一个点集。称映射为定义在上的二元函数，通常记为 ，（或，）。其中点集称为该函数的定义域，称为自变量，称为因变量。数集称为该函数的值域。是的函数也可记为 ， 等等。类似地可以定义三元函数以及三元以上的函数。一般的，把定义1中的平面点集换成维空间内的点集，则可类似地可以定义元函数。元函数也可简记为，

4、这里点。当时，元函数就是一元函数。当时，元函数就统称为多元函数。关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数时，就以使这个算式有意义的变元的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。例如，函数的定义域为 （图8-1），就是一个无界开区域。又如，函数的定义域为（图8-2），这是一个有界闭区域。 图8-1-1 图8-1-2设函数的定义域为。对于任意取定的点，对应的函数值为。这样，以为横坐标、为纵坐标、为竖坐标在空间就确定一点 。当遍取上的一切点时，得到一个空间点集，这个点集称为二元函数的图形。通常我们也说二元函数的图形是一张曲面。三、多元函数的极限定义2 设

5、二元函数的定义域为，是的聚点。如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点时，都有 成立，则称常数为函数当时的极限，记作 ，或 （）。为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。我们必须注意，所谓二重极限存在，是指以任何方式趋于时，函数都无限接近于。因此，如果以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。但是反过来，如果当以不同方式趋于时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。下面用例子来说明这种情形。考察函数显然，当点沿轴趋于点时，；又当点沿轴趋于点时，。 虽然点以上述两种特殊方式(沿

6、轴或沿轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等,但是并不存在.这是因为当点沿着直线趋于点时,有 ， 显然它是随着的值的不同而改变的.例3 求 .解 这里的定义域为，为的聚点。由极限运算法则得。四、多元函数的连续性定义3 设函数在开区域（闭区域）内有定义，是聚点，且。如果,则称函数在点连续。如果函数在开区域（或闭区域）内的每一点连续，那么就称函数在内连续，或者称是内的连续函数。若函数在点不连续，则称为函数的间断点。这里顺便指出：如果在开区域（或闭区域）内某些孤立点，或者沿D内某些曲线，函数没有定义，但在内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数的不连续点，即间断点。前面已经讨论过的

7、函数当时的极限不存在，所以点是该函数的一个间断点。二元函数的间断点可以形成一条曲线，例如函数在圆周上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 上的多元连续函数，在上一定有最大值和最小值。这就是说，在上至少有一点及一点，使得为最大值而为最小值，即对于一切PD, 有.性质2（介值定理） 在有界闭区域上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。由多元初等函数的连续性，如果要求它在点处的极限

8、，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即.例4 求.解 函数 是初等函数，它的定义域为。因不是连通的，故不是区域。但是区域，且 ，所以是函数的一个定义区域。因, 故.如果这里不引进区域，也可用下述方法判定函数在点 处是连续的：因是的定义域的内点，故存在的某一邻域，而任何邻域都是区域，所以是的一个定义区域，又由于是初等函数，因此在点处连续。一般地，求，如果是初等函数，且是的定义域的内点，则 在点处连续，于是。例5 求。解 =小结：本节在一元函数的基础上，讨论多元函数的基本概念。讨论中我们以二元函数为主，针对二元函数的极限及连续予以重点介绍。从二元函数到二元以上的多元函数

9、则可以类推。作业：作业卡 p7-8第 二 节 偏导数教学目的：学习偏导数的定义，学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。教学重点：偏导数的定义，判断二元函数偏导数的存在性，计算二元、多元函数的偏导数。教学难点：判断二元函数偏导数的存在性，计算多元函数的偏导数。教学内容：一、 导数的定义及其计算法以二元函数为例，如果只有自变量变化，而自变量 固定（即看作常量），这时它就是 的一元函数，这函数对的导数，就称为二元函数对于的偏导数，即有如下定义：定义 设函数 =在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量,如果 (1)存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作, , 或 例如，极限

10、（1）可以表示为 . (2)类似地，函数在点处对的偏导数定义为 (3)记作, , 或如果函数在区域D内每一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是的函数，它就称为函数对自变量的偏导数，记作, , 或类似地，可以定义函数对自变量的偏导数，记作, , 或偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数。例如三元函数 =() 在点 () 处对的偏导数定义为其中 ()是函数 的定义域的内点。它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题。例1 求 在点(1, 2)处的偏导数。解 把看作常量，得把看作常量，得将 (1, 2)代入上面的结果，就得，例2 求的偏导数。解 , 例3 设,求证：+证 因为 , ,所以 +=+例4

11、 求 的偏导数。解 把 和都看作常量，得 =由于所给函数关于自变量的对称性，所以 = , =.二元函数在点的偏导数有下述几何意义。设为曲面上的一点，过作平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面上的方程为，则导数, 即偏导数,就是这曲线在点处的切线对轴的斜率。同样，偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率。我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续。但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点沿着平行于坐标轴的方向趋于时，函数值趋于,但不能保证点按任何方式趋于时，函数值都趋于 。例如，函数在点（0，0）

12、对的偏导数为 同样有但是我们在第一节中已经知道这函数在点（0，0）并不连续。二、 高阶偏导数设函数在区域内具有偏导数, ,那么在D内 、都是的函数。如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数： = , =, = , =其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。同样可得三阶、四阶、以及阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。例5 设，求、 及 。解 = , = ； = , = ； = , = ； = 6我们看到例5中两个二阶混合偏导数相等，即 = 这不是偶然的。事实上，我们有下述定理。定理 如果函数的两个二阶混合偏导数 及 在区域D

13、内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。例6 验证函数 满足方程 +=0 。 证 因为,所以 =, =, =, =因此 +=+=0.例7 证明函数，满足方程 +=0 ,其中.证 =·=, =+·=+.由于函数关于自变量的对称性，所以=+,=+.因此+ =+=+=0.例6和例7中两个方程都叫做拉普拉斯(Laplace)方程，它是数学物理方程中一种很重要的方程。小结：本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数（以二元函数为重点）偏导数的定义及存在条件和求法，这是多元函数微分学的基础。作业：作业卡p9-10第 三 节 全微分及其应用教学目的：学习和掌握多元函数（以二元函

14、数为主）全微分的定义，掌握二元函数可微与偏导数存在之间的关系，会求多元函数的全微分。教学重点：可微与偏导数存在之间的关系，多元函数的全微分。教学难点：计算多元函数的全微分。教学内容： 一、全微分的定义我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得，上面两式的左端分别叫做二元函数对和对的偏增量，而右端分别叫做二元函数对和对的偏微分.设函数在点的某一邻域内有定义，并设为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差为函数在点P对应于自变量增量、的全增量，记作，即 （1）一般说来，计算全增量比较复杂.与一元函数的

15、情形一样，我们希望用自变量的增量、的线性函数来近似的代替函数的全增量,从而引入如下定义定义 如果函数在点的全增量可表示为， （2）其中、不依赖于、而仅与有关，则称函数在点可微分，而称为函数在点的全微分，记作，即。在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，却不能保证函数在该点连续。但是，由上述定义可知，如果函数在点可微分，那末函数在该点必定连续。事实上，这时由（2）式可得 ，从而。因此函数在点处连续。下面讨论函数在点可微分的条件。定理1（必要条件） 如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必定存在，且函数在点的全微分为 =+。 （3）证 设函数在点可微分。于是，对于点的某个邻域的

16、任意一点，（2）式总成立。特别当 时（2）式也应成立，这时，所以（2）式成为 。上式两边各除以，再令而取极限，就得x0 lim=，从而偏导数存在，且等于。 同样可证=。所以（3）式成立。证毕。我们知道，一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件。但对于多元函数来说，情形就不同了。当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出 +，但它与之差并不一定是较高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分。换句话说，各偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。例如，函数=在点处有 及 ，所以=,如果考虑点沿着直线 趋于，则=,它不能随而趋于0，这表示时， 并不是较高阶的无穷小，因此函数在点处的全

17、微分并不存在，即函数在点处是不可微分的。由定理1及这个例子可知，偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件。但是，如果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的，即有下面定理。定理2（充分条件） 如果函数的偏导数、在点连续，则函数在该点可微分。证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此），所以假定偏导数在点连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思（以后凡说到偏导数在某一点连续均应如此理解）。设点为这邻域内任意一点，考察函数的全增量 。在第一个方括号内的表达式，由于不变，因而可以看作是 的一元函数 的增量。于是，应用拉格郎日中值定理，得到 = 又假设，在

18、点 连续，所以上式可写为 =， （4）其中为、的函数，且当， 时，。 同理可证第二个方括号内的表达式可写为 ， （5）其中为 的函数，且当时， 。 由（4）、（5）式可见，在偏导数连续的假定下，全增量可以表示为。 （6）容易看出 |，它是随着，即而趋于零。 这就证明了 在点是可微分的。以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似的推广到三元和三元以上的多元函数。习惯上，我们将自变量的增量、分别记作、，并分别称为自变量的微分。这样，函数的全微分就可以写为 =+. (7)如果三元函数可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和，即 =+例1 计算函数在点处的全微分解 因

19、为 =yexy, =xexyx=2y=1x=2y=1 | =, | =, 所以=例2 计算函数的全微分.解 因为 =, =+, =, 所以=(+ ) +小结：本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数（以二元函数为重点）全微分的定义及存在条件和求法，也可以简单介绍全微分在近似计算中的应用。作业：作业卡p11第 四 节 多元复合函数的求导法则 教学目的：掌握多元函数的求导法则，会求多元函数的导数，掌握全微分形式不变性。教学重点：针对多元函数的表达状态（参数方程、复合函数），能够求其导函数。教学难点：抽象复合函数的求导。教学内容： 定理 如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数

20、在点可导，且其导数可用下列公式计算： 证 设获得增量，这时的对应增量为、，由此，函数对应地获得增量根据假定，函数在点具有连续偏导数，于是由第三节公式有 这里，当，时， 将上式两边各除以，得 因为当时，所以 =+这就证明了复合函数在点可导，且其导数可用公式计算证毕用同样的方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形例如，设、，复合而得复合函数 则在与定理相类似的条件下，这复合函数在点可导，且其导数可用下列公式计算在公式及中的导数称为全导数上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形例如，设，复合而得复合函数 如果及都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算： =+, =+ 类似地，设、及都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：=+，=+如果具有连续偏导数，而具有偏导数，则复合函数可看作上述情形中当，的特殊情